《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案 第10章

回歸分析參考答案習(xí)題10.1某醫(yī)院用光色比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得到尿汞含量(單位：mg/L)與消光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如表10-1所示.表10-1尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)畫出尿汞含量x與消光系數(shù)y的散點(diǎn)圖；(2)估計(jì)尿汞含量x與消光系數(shù)y的函數(shù)關(guān)系.【解】(1)從上面散點(diǎn)圖可以看出，消光系數(shù)y與尿汞含量x之間具備線性關(guān)系，可以得出:y=-11.3000+36.9500xMATLAB程序代碼X=[246810];Y=[64138205285360];plot(X,Y,'*')X1=[ones(5,1)X'];Y1=Y';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1)隨機(jī)抽取12個(gè)城市居民家庭關(guān)于收入與支出的樣本，數(shù)據(jù)記錄如下表10-2.表10-2收入x8293105130144150160180200270300400支出y758592105120120130145156200200240（1）畫出收入x與支出y的散點(diǎn)圖；（2）估計(jì)收入x與支出y的函數(shù)關(guān)系.【解】（1）（2）從上面散點(diǎn)圖可以看出，支出y與收入x之間基本具備線性關(guān)系，可以估計(jì)得出:y=40.1802+0.5356xMATLAB程序代碼：X=[8293105130144150160180200270300400];Y=[758592105120120130145156200200240];plot(X,Y,'*')X1=[ones(12,1)X'];Y1=Y';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1)習(xí)題10.2在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗(yàn)中，測得在不同溫度x(℃)下，溶解于100克水中的硝酸鈉份數(shù)y的數(shù)據(jù)如表10-6所示，試求y關(guān)于x的線性回歸方程.表10-6xi0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1【解】故回歸方程：=65.5078+0.8706x.一種合金在某種添加劑的不同濃度之下，各做3次試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如表10-12所示：濃度x10.015.020.025.030.0抗壓強(qiáng)度y25.229.831.231.729.427.331.132.630.130.828.727.829.732.332.8以模型,，擬合數(shù)據(jù)，其中b0,b1,b2,與x無關(guān)，求回歸方程=+x+x2.【解】由(10.13)式，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得正規(guī)方程組解之得：b0=19.0333,b1=1.0086，b2=-0.0204.于是所求回歸方程為：=19.0333+1.0086x-0.0204x2.設(shè)y為樹干的體積，x1為離地面一定高度的樹干直徑，x2為樹干高度，一共測量了31棵樹，數(shù)據(jù)列于表10-7，作出y對(duì)x1，x2的二元線性回歸方程，以便能用簡單分法從x1和x2估計(jì)一棵樹的體積，進(jìn)而估計(jì)一片森林的木材儲(chǔ)量.表10-7x1(直徑)x2(高)y(體積)x1(直徑)x2(高)y(體積)8.37010.312.98533.88.66510.313.38627.48.86310.213.77125.710.57210.413.86424.910.78116.814.07834.510.88318.814.28031.711.06619.715.57436.311.07515.616.07238.311.18018.216.37742.611.27522.617.38155.411.37919.917.58255.711.47624.217.98058.311.47621.018.08051.511.76921.418.08051.012.07521.320.68777.012.97419.1【解】由(10.13)式，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得正規(guī)方程組解之得：b0=-54.7662,b1=4.8338，b2=0.2680.于是所求回歸方程為：=-54.7662+4.8338x1+0.2680x2.一家從事市場研究的公司，希望能預(yù)測每日出版的報(bào)紙?jiān)诟鞣N不同居民區(qū)內(nèi)的周末發(fā)行量，兩個(gè)獨(dú)立變量，即總零售額和人口密度被選作自變量.由n=25個(gè)居民區(qū)組成的隨機(jī)樣本所給出的結(jié)果列于表10-8中，求日?qǐng)?bào)周末發(fā)行量y關(guān)于總零售額x1和人口密度x2的線性回歸方程.表10-8居民區(qū)日?qǐng)?bào)周末發(fā)行量yi(×104份)總零售額xi1(105元)人口密度xi2(×0.001m2)13.021.747.823.324.151.334.737.476.843.929.466.253.222.651.964.132.065.373.626.457.484.331.666.894.735.576.4103.525.153.0114.030.866.9123.525.855.9134.030.366.5143.022.245.3154.535.773.6164.130.965.1174.835.575.2183.424.254.6194.333.468.7204.030.064.8214.635.174.7223.929.462.7234.332.567.6243.124.051.3254.433.970.8X=[121.747.8;124.151.3;137.476.8;129.466.2;122.651.9;132.065.3;126.457.4;131.666.8;135.576.4;125.153.0;130.866.9;125.855.9;130.366.5;122.245.3;135.773.6;130.965.1;135.575.2;124.254.6;133.468.7;130.064.8;135.174.7;129.462.7;132.567.6;124.051.3;133.970.8;];Y=[3.03.34.73.93.24.13.64.34.73.54.03.54.03.04.54.14.83.44.34.04.63.94.33.14.4];inv(X'*X)X'*Y'【解】由(10.13)式，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得正規(guī)方程組解之得：b0=0.3822,b1=0.0678，b2=0.0244.于是所求回歸方程為：=0.3822+0.0678x1+0.0244x2.習(xí)題10.3測量了9對(duì)父子的身高，所得數(shù)據(jù)如表10-10所示（單位：英寸）.表10-10父親身高xi606264666768707274兒子身高yi63.665.26666.967.167.468.370.170求（1）兒子身高y關(guān)于父親身高x的線性回歸方程.取=0.05，檢驗(yàn)兒子的身高y與父親身高x之間的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著.【解】（1）故回歸方程：=36.5891+0.4565x.（2）Q回=Sxy2/Sxx=35.0172，Q剩=Q總-Q回=35.9956-35.0172=0.9784,F==250.5349>F0.05(1,7)=5.59.故拒絕H0，即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.2.隨機(jī)抽取了10個(gè)家庭，調(diào)查了他們的家庭月收入x（單位：百元）和月支出y(單位：百元)，記錄于下表10-11中：表10-11x20152025162018192216y18141720141917182013求：（1）在直角坐標(biāo)系下作x與y的散點(diǎn)圖，判斷y與x是否存在線性關(guān)系.（2）求y與x的一元線性回歸方程.（3）對(duì)所得的回歸方程作顯著性檢驗(yàn).（=0.025）【解】（1）由下圖可以看出，y與x存在線性關(guān)系.（2）故回歸方程：=2.4849+0.76x.（3）Q回=Sxy2/Sxx=47.877，Q剩=Q總-Q回=58-47.877=10.123,F==37.836>F0.025(1,8)=7.57.故拒絕H0，即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.習(xí)題10.4某醫(yī)院用光色比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得到尿汞含量(單位：mg/L)與消光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如表10-12所示.表10-12尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360求（1）消光系數(shù)y關(guān)于尿汞含量x的線性回歸方程.（2）取=0.05，檢驗(yàn)消光系數(shù)y與尿汞含量x之間的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著.（3）若尿汞含量為11時(shí)，求消光系數(shù)的置信度為95%的預(yù)測區(qū)間.【解】（1）故回歸方程：=65.5078+0.8706x.（2）Q回=Sxy2/Sxx=54612，Q剩=Q總-Q回=54649-54612=37,F==4428>F0.05(1,3)=10.1.故拒絕H0，即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.（3）當(dāng)x0=11，y0的預(yù)測值為：=65.5078+0.8706×11=395.15.給定=0.05，t0.025(3)=3.1824，，故=3.1824×0.1114×1.3509=0.4789.即y0將以95%的概率落在(395.15±0.4789)區(qū)間，即兒子的身高的置信度為95%的預(yù)測區(qū)間為（394.6711,395.6289）.隨機(jī)抽取12個(gè)城市居民家庭關(guān)于收入與支出的樣本，數(shù)據(jù)記錄如下表10-13.表10-13收入x8293105130144150160180200270300400支出y758592105120120130145156200200240求（1）支出y關(guān)于收入x的線性回歸方程.（2）取=0.05，檢驗(yàn)支出y與收入x之間的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著.（3）若收入為420時(shí)，求支出y的置信度為95%的預(yù)測區(qū)間.【解】（1）故回歸方程：=40.1802+0.5356x.（2）Q回=Sxy2/Sxx=28387，Q剩=Q總-Q回=29148-28387=761,F==373>F0.05(1,10)=4.96.故拒絕H0，即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.（3）當(dāng)x0=420，y0的預(yù)測值為：=40.1802+0.5356×420=265.1358.給定=0.05，t0.025(10)=2.2281，，故=2.2281×8.7252×1.2821=24.9248.即y0將以95%的概率落在(265.1358±24.9248)區(qū)間，即兒子的身高的置信度為95%的預(yù)測區(qū)間為（240.2110,290.0606）.習(xí)題10.5設(shè)曲線函數(shù)形式為，試給出一個(gè)變換將之化為一元線性回歸的形式.【解】設(shè)，則即為一元線性回歸.設(shè)曲線函數(shù)形式為，試給出一個(gè)變換將之化為一元線性回歸的形式.【解】設(shè)，則可化為.設(shè)曲線函數(shù)形式為，試給出一個(gè)變換將之化為一元線性回歸的形式.【解】設(shè)，則可化為.設(shè)曲線函數(shù)形式為，能否找到一個(gè)變換將之化為一元回歸的形式，若能，試給出；若不能，請(qǐng)說明理由.【解】設(shè)，則可化為.習(xí)題10.6下表10-11記錄了男子身高x（單位：cm）與體重y(單位：kg)的一組數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件完成下列問題：畫出改組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；建立y關(guān)于x的線性回歸方程；檢驗(yàn)回歸方程的顯著性；預(yù)測男性身高為153cm時(shí)，體重為多少？表10-11身高147150152155157160163165168170173175178180183體重525354555758596163646668697274【解】輸入程序X=[147150152155157160163165168170173175178180183];Y=[525354555758596163646668697274];plot(X,Y,'.')xlabel('身高')ylabel('體重')title('身高與體重的散點(diǎn)圖')X1=[ones(15,1)X'];Y1=Y';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1)rcoplot(r,rint)Y0=b(1)+b(2)*153運(yùn)行結(jié)果：（1）(2)線性回歸方程：y=-39.2864+0.6116x(3)stats=0.9856889.78280.00000.7680,表明回歸方程是顯著的.(4)當(dāng)身高為153cm時(shí)，體重的預(yù)測值為Y0=54.2868.2.下表10-13數(shù)據(jù)是某建筑材料公司去年20個(gè)地區(qū)的銷售量（Y，千方），推銷開支、實(shí)際帳目數(shù)、同類商品競爭數(shù)和地區(qū)銷售潛力分別是影響建筑材料銷售量的因素。利用MATLAB軟件建立線性回歸方程.推銷開支X15.52.58.03.03.02.98.09.04.06.55.55.06.05.03.58.06.04.07.57.0實(shí)際賬目數(shù)X23155675038713056427360445039557040506259同類商品競爭數(shù)X3108127812125851112610106111199地區(qū)銷售潛力X4869161517810