2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專(zhuān)用)專(zhuān)題37空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系(原卷版+解析)

專(zhuān)題37空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 4【考點(diǎn)突破】 6【考點(diǎn)1】基本事實(shí)的應(yīng)用 6【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷 8【考點(diǎn)3】異面直線(xiàn)所成的角 9【分層檢測(cè)】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 14【培優(yōu)篇】 15考試要求：1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系直線(xiàn)與直線(xiàn)直線(xiàn)與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線(xiàn)a?α3.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1.證明點(diǎn)共線(xiàn)與線(xiàn)共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線(xiàn)所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線(xiàn)所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線(xiàn)，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線(xiàn)，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線(xiàn)與所成的角為 B．直線(xiàn)與所成的角為C．直線(xiàn)與平面所成的角為 D．直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為6．（2021·全國(guó)·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（

）A． B．C． D．三、解答題7．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】基本事實(shí)的應(yīng)用一、單選題1．（2002·全國(guó)·高考真題）已知，為異面直線(xiàn)，平面，平面，，則（

）A．與，都相交 B．與，中至少一條相交C．與，都不相交 D．至多與，中的一條相交2．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線(xiàn)垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④二、多選題3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（

）A．三點(diǎn)共線(xiàn) B．異面直線(xiàn)BD與所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．，，三條直線(xiàn)不可能交于一點(diǎn)，平面平面B．，，三條直線(xiàn)一定交于一點(diǎn)，平面平面C．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，平面平面D．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，平面平面三、填空題5．（2024·山東濟(jì)南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則平面截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為．6．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為，分如中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線(xiàn)的長(zhǎng)為．反思提升：共面、共線(xiàn)、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)證明共線(xiàn)的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上.(3)證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn).【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷一、單選題1．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿(mǎn)足平面，過(guò)作與平行的平面，與交于點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是三條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則二、多選題3．（2024·浙江·三模）已知平面，，直線(xiàn)，若，，與所成的角為，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．內(nèi)垂直a的直線(xiàn)必垂直于B．內(nèi)的任意直線(xiàn)必垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)C．b與所成的角為D．b與內(nèi)的任意一條直線(xiàn)所成的角大于等于4．（23-24高二上·湖北恩施·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A．異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為C．過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為三、填空題5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是平面外兩條不同的直線(xiàn)，給出四個(gè)條件：①；②；③；④，以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填寫(xiě)正確推理與證明的序號(hào)）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立6．（2022·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體，是中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①存在；②存在平面；③存在無(wú)數(shù)個(gè)等腰三角形；④三棱錐的體積的取值范圍是.則所有結(jié)論正確的序號(hào)是.反思提升：空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線(xiàn)的判定可采用直接法或反證法；平行直線(xiàn)的判定可利用三角形(梯形)中位線(xiàn)的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線(xiàn)面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線(xiàn)面垂直或面面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.【考點(diǎn)3】異面直線(xiàn)所成的角一、單選題1．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，是異面直線(xiàn)， B．，是相交直線(xiàn)，C．，是異面直線(xiàn)，與不垂直 D．，是相交直線(xiàn)，與不垂直2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為．若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)分別位于兩側(cè)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）

A．多面體存在外接球 B．C．平面 D．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的最短軌跡長(zhǎng)大于4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則（）A．平面平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題5．（2024·上海崇明·二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線(xiàn)．若直線(xiàn)與所成角的大小為，則．6．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，是相互垂直的兩條異面直線(xiàn)，直線(xiàn)與，均相互垂直，且，動(dòng)點(diǎn)，分別位于直線(xiàn)，上，若直線(xiàn)與所成的角，三棱錐的體積的最大值為.反思提升：1.綜合法求異面直線(xiàn)所成角的步驟：(1)作：通過(guò)作平行線(xiàn)得到相交直線(xiàn).(2)證：證明所作角為異面直線(xiàn)所成的角(或其補(bǔ)角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．正方體各面所在平面將空間分成27個(gè)部分B．過(guò)平面外一點(diǎn)，有且僅有一條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行C．若空間中四條不同的直線(xiàn)滿(mǎn)足，則D．若為異面直線(xiàn)，平面平面，且與相交，若直線(xiàn)滿(mǎn)足，則必平行于和的交線(xiàn)2．（2024·上?！と＃┤鐖D，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段EB的中點(diǎn)，則（

）A．DM≠EN，且直線(xiàn)DM、EN是異面直線(xiàn)B．DM＝EN，且直線(xiàn)DM、EN是異面直線(xiàn)C．DM≠EN，且直線(xiàn)DM、EN是相交直線(xiàn)D．DM＝EN，且直線(xiàn)DM、EN是相交直線(xiàn)3．（2020·四川眉山·二模）給出以下四個(gè)命題：①依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面；②過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；④垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，為平面，，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線(xiàn)B．若，則l與m可能垂直C．若，且，則l與m可能平行D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直二、多選題5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中（

）A． B．C．與成60°角 D．與是異面直線(xiàn)6．（2024·山西運(yùn)城·一模）設(shè)a、b是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2024·廣東深圳·二模）已知m，n是異面直線(xiàn)，，，那么（

）A．當(dāng)，或時(shí)，B．當(dāng)，且時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，，或D．當(dāng)，不平行時(shí)，m與不平行，且n與不平行三、填空題8．（20-21高二上·山西太原·階段練習(xí)）下列命題中正確的命題為.①若在平面外，它的三條邊所在的直線(xiàn)分別交于，則三點(diǎn)共線(xiàn)；②若三條直線(xiàn)互相平行且分別交直線(xiàn)于三點(diǎn)，則這四條直線(xiàn)共面；③若直線(xiàn)異面，異面，則異面；④若，則.9．（2024·江蘇南通·二模）已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為.10．（2005·山東·高考真題）已知m、n是不同的直線(xiàn)，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線(xiàn)，若，則．上面的命題中，真命題的序號(hào)是．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）四、解答題11．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四面體A-BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且，．(1)求證：直線(xiàn)EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線(xiàn)BD上；(2)若，求點(diǎn)B到平面EFGH的距離．12．（2023·廣東汕頭·二模）如圖，正方體中，直線(xiàn)平面，，.(1)設(shè)，，試在所給圖中作出直線(xiàn)，使得，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)點(diǎn)A與（1）中所作直線(xiàn)確定平面.①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；②請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中作出平面截正方體所得的截面，并寫(xiě)出作法.【能力篇】一、單選題1．（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿(mǎn)足，點(diǎn)為底面的中心，過(guò)點(diǎn)，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則（

）A．若，則 B．若，則與為異面直線(xiàn)C．若，則 D．若，則三、填空題3．（2006·四川·高考真題），是空間兩條不同的直線(xiàn)，，是空間兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：①，，；②，，③，，；④，，．其中真命題的編號(hào)是．四、解答題4．（2024·浙江·三模）在四棱錐中，，，，，、分別為直線(xiàn)，上的動(dòng)點(diǎn).(1)若異面直線(xiàn)與所成的角為，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)若，，求直線(xiàn)與平面所成角的最大值.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（

）①異面直線(xiàn)與所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；③若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④若點(diǎn)為四邊形的中心，點(diǎn)為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)都相等，，，，，且點(diǎn)E，F(xiàn)滿(mǎn)足，，平面α過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)，則（

）A．B．的面積是C．平面α與平面的交線(xiàn)長(zhǎng)為D．點(diǎn)C到平面α的距離是點(diǎn)到平面α的距離的5倍三、填空題3．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，記平面與平面的交線(xiàn)為，平面與平面的交線(xiàn)為，若直線(xiàn)分別與所成的角為，則，.專(zhuān)題37空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 4【考點(diǎn)突破】 13【考點(diǎn)1】基本事實(shí)的應(yīng)用 13【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷 21【考點(diǎn)3】異面直線(xiàn)所成的角 28【分層檢測(cè)】 35【基礎(chǔ)篇】 35【能力篇】 47【培優(yōu)篇】 52考試要求：1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系直線(xiàn)與直線(xiàn)直線(xiàn)與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線(xiàn)a?α3.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1.證明點(diǎn)共線(xiàn)與線(xiàn)共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線(xiàn)所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線(xiàn)所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線(xiàn)，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線(xiàn)，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線(xiàn)與所成的角為 B．直線(xiàn)與所成的角為C．直線(xiàn)與平面所成的角為 D．直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為6．（2021·全國(guó)·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（

）A． B．C． D．三、解答題7．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.參考答案：1．A【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)，因?yàn)椋?，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，故①正確；對(duì)②，若，則與不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，過(guò)直線(xiàn)分別作兩平面與分別相交于直線(xiàn)和直線(xiàn)，因?yàn)?，過(guò)直線(xiàn)的平面與平面的交線(xiàn)為直線(xiàn)，則根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)椋瑒t，故③正確；對(duì)④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確，故選：A.2．C【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若，則平行或異面或相交，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，過(guò)作平面，使得，因?yàn)?，故，而，故，故，故C正確.對(duì)于D，若，則與相交或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．4．D【分析】平移直線(xiàn)至，將直線(xiàn)與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D5．ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成的角即為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線(xiàn)與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線(xiàn)與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD6．BC【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線(xiàn)構(gòu)造所考慮的線(xiàn)線(xiàn)角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.7．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線(xiàn)的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線(xiàn)面關(guān)系和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.8．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋裕≈悬c(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線(xiàn)較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式即可計(jì)算得出．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】基本事實(shí)的應(yīng)用一、單選題1．（2002·全國(guó)·高考真題）已知，為異面直線(xiàn)，平面，平面，，則（

）A．與，都相交 B．與，中至少一條相交C．與，都不相交 D．至多與，中的一條相交2．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線(xiàn)垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④二、多選題3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（

）A．三點(diǎn)共線(xiàn) B．異面直線(xiàn)BD與所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．，，三條直線(xiàn)不可能交于一點(diǎn)，平面平面B．，，三條直線(xiàn)一定交于一點(diǎn)，平面平面C．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，平面平面D．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，平面平面三、填空題5．（2024·山東濟(jì)南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則平面截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為．6．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為，分如中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線(xiàn)的長(zhǎng)為．參考答案：1．B【分析】由題意畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖象，結(jié)合圖象得到正確選項(xiàng).【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線(xiàn)矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，

也可以與兩條都相交，但不交于同一點(diǎn)，如圖

綜上：與中的至少一條相交.故選：B2．C【分析】通過(guò)幾何性質(zhì)得出四邊形的形狀，由線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直即可得出直線(xiàn)和平面與平面的關(guān)系.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槠矫媾c棱交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，在正方體中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確對(duì)于②，在正方體中，面，因?yàn)槊?，所以，若是正方形，有，，若不重合，則與矛盾，若重合，則不成立，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)槠矫妫?，若直線(xiàn)與平面垂直，則直線(xiàn)，顯然矛盾，所以平面與直線(xiàn)不可能垂直，故③錯(cuò)誤對(duì)于④，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，故④正確.綜上所述，正確的有①④.故選：C.3．ACD【分析】由題意可證得三點(diǎn)都在平面與平面的交線(xiàn)上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，求解可判斷C；取的中點(diǎn)，因?yàn)椋缘妊菪尉褪沁^(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榈酌鍭BCD的中心，所以為BD和AC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線(xiàn)上，即三點(diǎn)共線(xiàn)，故A正確；因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線(xiàn)BD與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因?yàn)槠矫妫云矫?，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正三角形的邊長(zhǎng)為，所以，又，所以,即點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；取的中點(diǎn)，連，因?yàn)椋缘妊菪尉褪沁^(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，如圖：因?yàn)椋缘妊菪蔚母邽?，所以等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ACD．4．BC【分析】證明出面面，判斷出多面體為三棱臺(tái)，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征得到，，三條直線(xiàn)一定交于一點(diǎn).判斷A，B；先證明出平面平面，由平面與平面不平行，得到平面與平面不垂直，判斷C，D.【詳解】在正方體中，平面，則.又，，所以平面，又平面，所以平面平面.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，，，所以多面體為三棱臺(tái)，所以，，三條直線(xiàn)一定交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確；由題意知與相交，所以與異面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，又平面與平面不平行，所以平面與平面不垂直，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.5．【分析】作出輔助線(xiàn)，得到平面截該四棱柱所得截面為五邊形，求出各邊邊長(zhǎng)，相加得到答案.【詳解】延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)檎睦庵校?，，M，N分別是，的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)椤祝?，故，，在上取點(diǎn)，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點(diǎn)共面，則平面截該四棱柱所得的截面為五邊形，，，同理，故截面周長(zhǎng)為.故答案為：6．【分析】首先根據(jù)平行線(xiàn)將平面進(jìn)行擴(kuò)展得到過(guò)點(diǎn)A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線(xiàn)為，確定點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)靠近的點(diǎn)，最后在直角三角形中求得線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可.【詳解】由題意將直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱,取中點(diǎn)，連接,顯然，取中點(diǎn)，連接，則，所以A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共平面，連接與的交點(diǎn)為，連接所以過(guò)點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線(xiàn)為，因?yàn)?，?所以點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)靠近的點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又D為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查截面問(wèn)題，如需要將平面進(jìn)行擴(kuò)展，一般有兩種方法，一是通過(guò)做平行線(xiàn)進(jìn)行擴(kuò)展，一種是找相交直線(xiàn)確定交線(xiàn)上的點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展，在備考中注意多總結(jié).反思提升：共面、共線(xiàn)、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)證明共線(xiàn)的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上.(3)證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn).【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷一、單選題1．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿(mǎn)足平面，過(guò)作與平行的平面，與交于點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是三條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則二、多選題3．（2024·浙江·三模）已知平面，，直線(xiàn)，若，，與所成的角為，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．內(nèi)垂直a的直線(xiàn)必垂直于B．內(nèi)的任意直線(xiàn)必垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)C．b與所成的角為D．b與內(nèi)的任意一條直線(xiàn)所成的角大于等于4．（23-24高二上·湖北恩施·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A．異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為C．過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為三、填空題5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是平面外兩條不同的直線(xiàn)，給出四個(gè)條件：①；②；③；④，以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填寫(xiě)正確推理與證明的序號(hào)）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立6．（2022·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體，是中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①存在；②存在平面；③存在無(wú)數(shù)個(gè)等腰三角形；④三棱錐的體積的取值范圍是.則所有結(jié)論正確的序號(hào)是.參考答案：1．D【分析】由題意知平面平面，可先令為中點(diǎn)，再證明當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足平面平面，即可輕易得出的值.【詳解】因?yàn)闉榭臻g內(nèi)一點(diǎn)且滿(mǎn)足平面，過(guò)作與平行的平面，與交于點(diǎn)，所以∥平面,而平面，故平面平面.在正方體中，如圖所示，取中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，假設(shè)為中點(diǎn)，則為等腰三角形，中點(diǎn)為,所以;又因?yàn)?,所以，中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,所以,而,所以，，平面，所以平面，平面,所以；因?yàn)?，?平面，所以平面，平面，所以平面平面，符合題意，故為中點(diǎn)，.故選：D.2．D【分析】根據(jù)空間中的線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面關(guān)系一一分析即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，需要加上與相交才符合線(xiàn)面垂直的判定定理，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，有可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，與沒(méi)有關(guān)系，斜交?垂直平行都有可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，，則，而，故，故D正確.故選：D.3．ABD【分析】由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷AB；線(xiàn)面位置關(guān)系可判斷C；由最小角定理可判斷D．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，內(nèi)垂直a的直線(xiàn)必垂直于β，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，在內(nèi)作的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于，自然也就垂直內(nèi)的任意直線(xiàn)，這種垂線(xiàn)可以作無(wú)數(shù)條，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，b與所成的角為，但b與的位置關(guān)系不確定，不能確定b與β所成的角，特殊情況下可以是，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由最小角定理可知，線(xiàn)面角是線(xiàn)與面內(nèi)的任意直線(xiàn)所成角中的最小的角，故D正確．故選：ABD．4．ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線(xiàn)與所成的角，即可判定；對(duì)于B：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線(xiàn)段，則過(guò)作，此時(shí)取得最小值，即可判定；對(duì)于C：過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長(zhǎng)，即過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)，即可判定；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，則，過(guò)作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計(jì)算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，在中即為異面直線(xiàn)與所成的角，，異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為．故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，面，面面，又面，面，軌跡為線(xiàn)段，在中，過(guò)作，此時(shí)取得最小值，在中，，，，在中，，，，在中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體，平面平面，則過(guò)點(diǎn)的平面必與與交于兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面必與與分別交于、，過(guò)點(diǎn)的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，解得，，，，，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過(guò)作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故D項(xiàng)正確，故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過(guò)證明面面平行得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用空間向量法確定點(diǎn)的位置是B、C的關(guān)鍵.5．（1）（3）【分析】由線(xiàn)面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的判定，性質(zhì)定理判斷即可，不正確的舉出一個(gè)反例即可.【詳解】（1）若，，所以，因?yàn)?，所以，?）正確；（2）若，，且是平面外的直線(xiàn)，則，又因?yàn)?，所以與平行或相交，（2）錯(cuò)誤；（3）因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，是平面外的直線(xiàn)，所以，（3）正確；（4）若，，且是平面外的直線(xiàn)，則，又因?yàn)?，則與平行或相交，（4）錯(cuò)誤.故答案為：（1）（3）6．③④【分析】結(jié)合正方體的性質(zhì)，利用棱錐的體積公式以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①：取中點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)N在上移動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)平面，同時(shí)當(dāng)點(diǎn)M在直線(xiàn)AB上移動(dòng)時(shí)平面，因?yàn)椋逝c不可能平行，①錯(cuò)誤.對(duì)于②：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，,設(shè)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令得，所以，所以，故與平面不垂直，②錯(cuò)誤.對(duì)于③：令即，化簡(jiǎn)得，即，，，因?yàn)椋栽撌皆诘姆秶写嬖跓o(wú)數(shù)組解，故說(shuō)明有無(wú)數(shù)組可使，故③正確.對(duì)于④：根據(jù)等體積性質(zhì)可知，所以該三棱錐高可以看作，所以體積的取值范圍即底面積的取值范圍，根據(jù)點(diǎn)M位置的變化可知，當(dāng)點(diǎn)M在A點(diǎn)時(shí)最小，當(dāng)點(diǎn)M在B點(diǎn)時(shí)最大，計(jì)算得，，所以，故④正確.故答案為：③④反思提升：空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線(xiàn)的判定可采用直接法或反證法；平行直線(xiàn)的判定可利用三角形(梯形)中位線(xiàn)的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線(xiàn)面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線(xiàn)面垂直或面面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.【考點(diǎn)3】異面直線(xiàn)所成的角一、單選題1．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，是異面直線(xiàn)， B．，是相交直線(xiàn)，C．，是異面直線(xiàn)，與不垂直 D．，是相交直線(xiàn)，與不垂直2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為．若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)分別位于兩側(cè)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）

A．多面體存在外接球 B．C．平面 D．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的最短軌跡長(zhǎng)大于4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則（）A．平面平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題5．（2024·上海崇明·二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線(xiàn)．若直線(xiàn)與所成角的大小為，則．6．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，是相互垂直的兩條異面直線(xiàn)，直線(xiàn)與，均相互垂直，且，動(dòng)點(diǎn)，分別位于直線(xiàn)，上，若直線(xiàn)與所成的角，三棱錐的體積的最大值為.參考答案：1．A【分析】先用定理判斷，是異面直線(xiàn)，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點(diǎn)，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．【詳解】顯然根據(jù)異面直線(xiàn)判定方法：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．下面證明與垂直：證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．故選：A．2．A【分析】將正方體的展開(kāi)圖重新組合成正方體，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，判斷易得只有A選項(xiàng)正確.【詳解】如圖所示，將展開(kāi)圖重新組合成正方體.顯然.因此A選項(xiàng)正確.

由圖易得，顯然與所成角非直角，因此異面直線(xiàn)與所成角也非直角，所以不成立.因此B、C選項(xiàng)不正確.由圖易得，顯然與相交，因此不成立.因此D選項(xiàng)不正確.故選：A3．BCD【分析】若多面體存在外接球，則球心必為的外心，由即可判斷A；正三棱錐中側(cè)棱互相垂直且相等，正三棱錐中側(cè)棱互相垂直且相等，將正三棱錐放到正方體中，即可判斷BCD．【詳解】若多面體存在外接球，則球心必為的外心，連接，，則，平面，又平面，所以，所以，因?yàn)?，所以多面體不存在外接球，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)檎忮F和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為，則正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，所以正三棱錐可以放到正方體中，當(dāng)點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)分別位于兩側(cè)時(shí)，如圖所示，易知四邊形為平行四邊形，則，又平面，且平面，所以平面，故C正確；因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以，故B正確；

設(shè)交于點(diǎn)，則互相平分，，，在中，，同理可得，在中，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的最短軌跡長(zhǎng)大于．故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題BC選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面平行的判定得到平面，D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧.4．ABD【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式,異面直線(xiàn)的夾角和外接球的表面積公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于，由正方體的性質(zhì)，在、上的射影分別為、，而，，則，，，又平面ACD所以面，平面，所以平面平面，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積不變，所以三棱錐的體積為定值，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)槭堑冗吶切?，?dāng)與線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)與所成的角最小為，當(dāng)與線(xiàn)段的中點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)與所成的角最大為，所以所求角的范圍是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，該正四面體的外接球即為正方體外接球，，故所求球的表面積為，故正確.故選：.5．【分析】因?yàn)?，且，得到直線(xiàn)與所成角即為直線(xiàn)與所成角在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，且則直線(xiàn)與所成角即為直線(xiàn)與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故答案為：.6．/【分析】根據(jù)直線(xiàn)三條直線(xiàn)兩兩垂直，將圖形還原為長(zhǎng)方體，再根據(jù)，可得即為直線(xiàn)與所成的角的平面角，由此可求得，從而可得，再根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)三條直線(xiàn)兩兩垂直，如圖，將圖形還原為長(zhǎng)方體，因?yàn)?，所以即為直線(xiàn)與所成的角的平面角，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，由，得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線(xiàn)三條直線(xiàn)兩兩垂直，將圖形還原為長(zhǎng)方體，從特殊幾何體入手是解決本題的關(guān)鍵.反思提升：1.綜合法求異面直線(xiàn)所成角的步驟：(1)作：通過(guò)作平行線(xiàn)得到相交直線(xiàn).(2)證：證明所作角為異面直線(xiàn)所成的角(或其補(bǔ)角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．正方體各面所在平面將空間分成27個(gè)部分B．過(guò)平面外一點(diǎn)，有且僅有一條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行C．若空間中四條不同的直線(xiàn)滿(mǎn)足，則D．若為異面直線(xiàn)，平面平面，且與相交，若直線(xiàn)滿(mǎn)足，則必平行于和的交線(xiàn)2．（2024·上?！と＃┤鐖D，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段EB的中點(diǎn)，則（

）A．DM≠EN，且直線(xiàn)DM、EN是異面直線(xiàn)B．DM＝EN，且直線(xiàn)DM、EN是異面直線(xiàn)C．DM≠EN，且直線(xiàn)DM、EN是相交直線(xiàn)D．DM＝EN，且直線(xiàn)DM、EN是相交直線(xiàn)3．（2020·四川眉山·二模）給出以下四個(gè)命題：①依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面；②過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；④垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，為平面，，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線(xiàn)B．若，則l與m可能垂直C．若，且，則l與m可能平行D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直二、多選題5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中（

）A． B．C．與成60°角 D．與是異面直線(xiàn)6．（2024·山西運(yùn)城·一模）設(shè)a、b是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2024·廣東深圳·二模）已知m，n是異面直線(xiàn)，，，那么（

）A．當(dāng)，或時(shí)，B．當(dāng)，且時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，，或D．當(dāng)，不平行時(shí)，m與不平行，且n與不平行三、填空題8．（20-21高二上·山西太原·階段練習(xí)）下列命題中正確的命題為.①若在平面外，它的三條邊所在的直線(xiàn)分別交于，則三點(diǎn)共線(xiàn)；②若三條直線(xiàn)互相平行且分別交直線(xiàn)于三點(diǎn)，則這四條直線(xiàn)共面；③若直線(xiàn)異面，異面，則異面；④若，則.9．（2024·江蘇南通·二模）已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為.10．（2005·山東·高考真題）已知m、n是不同的直線(xiàn)，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線(xiàn)，若，則．上面的命題中，真命題的序號(hào)是．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）四、解答題11．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四面體A-BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且，．(1)求證：直線(xiàn)EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線(xiàn)BD上；(2)若，求點(diǎn)B到平面EFGH的距離．12．（2023·廣東汕頭·二模）如圖，正方體中，直線(xiàn)平面，，.(1)設(shè)，，試在所給圖中作出直線(xiàn)，使得，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)點(diǎn)A與（1）中所作直線(xiàn)確定平面.①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；②請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中作出平面截正方體所得的截面，并寫(xiě)出作法.參考答案：1．A【分析】利用空間關(guān)系，可以判斷AB，對(duì)于C可用正方體模型來(lái)舉反例，對(duì)于D也是舉反例.【詳解】對(duì)于A，利用四個(gè)側(cè)面將空間分成九個(gè)部分，再由上下底面又將空間分成上中下三層，所以可以將空間分成27個(gè)部分，故A是正確的；對(duì)于B，因?yàn)檫^(guò)平面外一點(diǎn)可以作一個(gè)平面與該平面平行，在這個(gè)平行平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)都與已知平面平行，故B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，在正方體中，把看成，把看成，把看成，把看成，它們滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故C是錯(cuò)誤的；對(duì)于D，由平面平面，且與相交于，則，即滿(mǎn)足條件，但此時(shí)與重合，它們不平行，故D是錯(cuò)誤的；故選：A.2．D【分析】連接，可得是的中點(diǎn)，可得與相交，進(jìn)而可證，從而可得，從而可得.【詳解】連接，因?yàn)辄c(diǎn)N為正方形ABCD的中心，所以是的中點(diǎn)，所以平面，所以與相交，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：D.3．B【解析】用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線(xiàn)位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線(xiàn)段不共面，故①錯(cuò)誤.②中，由公理2知道，過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.④中，空間中，垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)可相交，可平行，可異面，故④錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn)，線(xiàn)，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.4．B【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)、面位置關(guān)系分析逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若l與不平行，則l與的位置關(guān)系有：相交或直線(xiàn)在平面內(nèi)，且，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則l與m可能垂直，如圖所示：，可知：，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若，且，，則l與m異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取為平面，，

符合題意，但，故D錯(cuò)誤；故選：B.5．BCD【分析】由展開(kāi)圖翻折成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷直線(xiàn)間的位置關(guān)系．【詳解】展開(kāi)圖翻折成的正方體如圖所示，因?yàn)椋?，因此，所以A錯(cuò)誤；同理，，所以，B正確；或其補(bǔ)角是與所成的角，又△是等邊三角形，所以，所以與所成的角是，C正確.又平面，且與不平行，故與是異面直線(xiàn)，D正確.故選：BCD.6．BCD【分析】利用空間中線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系，線(xiàn)面關(guān)系，面面關(guān)系，分別判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以或與相交或與異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，根?jù)垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋耘c內(nèi)的某條直線(xiàn)平行，又，所以，又，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以與內(nèi)的某條直線(xiàn)平行，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與內(nèi)的某條直線(xiàn)平行，所以，因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.7．AB【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】A：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，故A正確；B：當(dāng)，時(shí)，又為異面直線(xiàn)，所以，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，由，得或與相交；當(dāng)時(shí)，由，得或與相交，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)不平行時(shí)，可能或與相交，或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：AB8．①②【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)和共面的性質(zhì)、異面直線(xiàn)的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，設(shè)平面平面，因?yàn)?，所以平面，所以，同理，，故三點(diǎn)共線(xiàn)，①正確；對(duì)于②，因?yàn)椋钥梢源_定一個(gè)平面，因?yàn)樗?，所以，又，所以，因?yàn)椋曰?，又，所以不成立，所以，即這四條直線(xiàn)共面，所以②正確；對(duì)于③，直線(xiàn)異面，異面，但是平行，所以③錯(cuò)誤，如下右圖；對(duì)于④，，但，所以④錯(cuò)誤，如下左圖.故正確的命題為①②.故答案為：①②9．/【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線(xiàn)線(xiàn)角即可.【詳解】如圖，，則兩兩垂直.作，垂足分別為，連接，則，所以為與的所成角，為與的所成角，即，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得，，所以，取，則，又，所以，即與所成的角為.故答案為：10．③④【分析】利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)可判斷各命題的真假．【詳解】若，則m與n平行或異面，故①錯(cuò)誤；，但m與n不一定相交，不一定成立，故②錯(cuò)誤；若，則，又由，則，故③正確；m，n是兩條異面直線(xiàn)，若，則過(guò)m的平面與平面相交于直線(xiàn)，有，過(guò)n的平面與平面相交于直線(xiàn)，有，m，n異面，一定相交，，如圖所示，由面面平行的判定可知，故④正確；故答案為：③④11．(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)公理2的推論可知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，再根據(jù)公理3即可證出；（2）根據(jù)等積法即可求出．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又，所以，故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，且直線(xiàn)EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)椋矫鍭BD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直線(xiàn)EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線(xiàn)BD上．（2）連結(jié)EG，BG，點(diǎn)B到平面EFGH的距離為d，正四面體的棱長(zhǎng)為2易知該正四面體的高為，所以E到平面BFG的距離為，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距離為，而G到BF的距離也為，則．由可得：，故點(diǎn)B到平面EFGH的距離為．12．(1)答案見(jiàn)解析；(2)①；②答案見(jiàn)解析.【分析】（1）取和中點(diǎn)分別為P、Q，利用正方體的性質(zhì)結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得；設(shè)直線(xiàn)交于，連接分別交于，進(jìn)而可得截面.【詳解】（1）由題意，P、Q分別為和的中點(diǎn)時(shí)，有，證明過(guò)程如下：連接，取和中點(diǎn)分別為P、Q，連接，∵，∴一定過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,∴PQ即為所求作的l.∵P、Q分別為和的中點(diǎn)，∴P、Q為的中位線(xiàn)，∴，且PQ過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，∵正方體的的上底面為正方形.∴，∵，∴，又∵正方體的側(cè)棱垂直底面，，∴，又∵，平面，.∴平面，∵平面，∴，即；（2）①連接AP，AQ，∵正方體中，有AD，DC，DD兩兩垂直，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，則有，，，，，所以，，∵正方體的側(cè)棱垂直底面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.設(shè)平面，即平面APQ的法向量，則，.∴，，即令，則，.∴平面APQ的一個(gè)法向量.，，，設(shè)平面與平面ABCD的夾角的平面角為，則；②設(shè)直線(xiàn)交于，連接分別交于，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面，如圖所示.【能力篇】一、單選題1．（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿(mǎn)足，點(diǎn)為底面的中心，過(guò)點(diǎn)，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則（

）A．若，則 B．若，則與為異面直線(xiàn)C．若，則 D．若，則三、填空題3．（2006·四川·高考真題），是空間兩條不同的直線(xiàn)，，是空間兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：①，，；②，，③，，；④，，．其中真命題的編號(hào)是．四、解答題4．（2024·浙江·三模）在四棱錐中，，，，，、分別為直線(xiàn)，上的動(dòng)點(diǎn).(1)若異面直線(xiàn)與所成的角為，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)若，，求直線(xiàn)與平面所成角的最大值.參考答案：1．A【分析】由于上下底平行，則可得平面與上下底面的交線(xiàn)平行，則可得為平面與上底面的交線(xiàn)，為平面與下底面的交線(xiàn)，則梯形為平面截正方體的截面，可證得梯形為等腰梯形，根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系求解即可.【詳解】連接，，與交點(diǎn)即為，因?yàn)?，所以‖，因?yàn)椤?，所以‖，所以共面，所以平面截正方體所得的截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為6，且，所以，在中，，則，在中，，則，在，，則，過(guò)作于，則，所以,所以等腰梯形的面積為,故選：A

2．AD【分析】運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理可推理A項(xiàng)正確，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可推理D項(xiàng)正確，B,C兩項(xiàng)可以通過(guò)舉反例說(shuō)明其錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)可作平面，使，則，因，則，又，故得，即A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若，則與可能相交、平行或異面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，則或，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)可作平面，使，則，又，，則，