備戰(zhàn)2023年高考數學一輪復習-第1講-第1課時-空間幾何體及其表面積、體積

第七章立體幾何第1講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積考向預測核心素養(yǎng)對空間幾何體的認識、立體圖形的直觀圖和幾何體的表面積、體積是考查重點，以選擇、填空題為主，中等難度．

直觀想象、數學抽象、數學運算01基礎知識回顧一、知識梳理1．空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相______且______多邊形互相______且______平行全等平行相似名稱棱柱棱錐棱臺側棱____________相交于______，但不一定相等延長線交于______側面形狀__________________________平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，______于底面相交于一點延長線交于一點

垂直名稱圓柱圓錐圓臺球軸截面________________________________側面展開圖__________________

矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用____________．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為__________________，z′軸與x′和y′軸所在平面______．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍__________________，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度______，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳_____．斜二測畫法45°或135°垂直分別平行于坐標軸不變一半3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝__________S圓錐側＝________S圓臺側＝__________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積4πR2

常用結論二、教材衍化1．(人A必修第二冊P105習題8.1T4改編)下列幾何體是棱臺的是(

)解析：AC不是由棱錐截成的，不符合棱臺的定義，故AC不滿足題意．B中的截面不平行于底面，不符合棱臺的定義，故B不滿足題意．D符合棱臺的定義．√2.(人A必修第二冊P106習題8.1T8改編)如圖，長方體ABCD

-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，剩下的幾何體是(

)A．棱臺 B.四棱柱C．五棱柱

D.六棱柱√3．(人A必修第二冊P120習題8.3T5改編)一個長方體的頂點都在球面上，且長方體的棱長分別為1，2，3，則球的表面積為________．答案：14π一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(

)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(

)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(

)(4)菱形的直觀圖仍是菱形．(

)(5)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線．(

)×××××二、易錯糾偏1．(弄混幾何體概念、特征致誤)下列結論中錯誤的是(

)A．由五個面圍成的多面體只能是三棱柱B．棱臺各側棱的延長線交于一點C．圓柱側面上的直線段都是圓柱的母線D．各個面都是正方形的四棱柱一定是正方體解析：由五個面圍成的多面體也可以是四棱錐，所以A選項錯誤．B，C，D說法均正確．√√2．(斜二測畫法規(guī)則不清致誤)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是(

)3．(忽略對圓柱形狀的討論致誤)將一個鄰邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個圓柱，則這個圓柱的表面積是________．解析：當底面周長為4π時，底面圓的半徑為2，兩個底面的面積之和是8π；當底面周長為8π時，底面圓的半徑為4，兩個底面的面積之和為32π.無論哪種方式，側面積都是矩形的面積32π2，故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π第1課時空間幾何體及其表面積、體積02核心考點共研考點一基本立體圖形(多維探究)復習指導：利用實物模型認識基本立體圖形，體會直觀圖、展開圖的含義和作用．角度1結構特征

(1)下列命題正確的是(

)A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓面和矩形面√【解析】(1)如圖所示，可排除A，B選項．對于D選項只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分，故選C.(2)(多選)下列說法正確的是(

)A．以直角三角形的一條邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B．以等腰三角形底邊上的中線所在的直線為軸，將三角形旋轉形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形D．圓錐側面的母線長有可能大于圓錐底面圓的直徑√√√【解析】(2)A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉得到的旋轉體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因為圓錐的母線長都相等，所以經過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側面的母線長l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍(即直徑)．故選BCD.角度2直觀圖

(1)對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是(

)A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形B．90°的角的直觀圖一定會變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同√【解析】(1)對于A，根據斜二測畫法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于B，90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯誤；C，D顯然正確．(2)如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(

)√√(2)長方體ABCD

-A1B1C1D1的長、寬、高分別為3，2，1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為________．基本立體圖形的有關問題(1)空間幾何體的結構特征是以后研究線面關系的基礎，要牢記．(2)斜二測畫法的關鍵在于“三變”，“三不變”．(3)利用空間幾何體的表面展開圖可求幾何體的表面積及表面上兩點間的距離問題．|跟蹤訓練|1．(多選)下列命題正確的是(

)A．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體為棱臺B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺C．棱錐是由底面為多邊形，其余各面為具有一個公共頂點的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉180°所形成的曲面√√解析：對于A，有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺，因為不能保證各側棱的延長線交于一點，所以A錯誤；對于B，用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺，因為不能保證截面與底面平行，所以B錯誤；對于C，由棱錐的定義知由底面為多邊形，其余各面為具有一個公共頂點的三角形圍成的幾何體是棱錐，所以C正確；對于D，球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉180°所形成的曲面，正確．故選CD.2.如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀四邊形ABCD為(

)A．平行四邊形

B.梯形C．菱形

D.矩形解析：由斜二測畫法可知在原四邊形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四邊形ABCD為矩形．√3．圓臺的上、下底面半徑分別為10cm，20cm，它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺的表面積為________cm2.(結果中保留π)解析：如圖所示，設圓臺的上底面周長為ccm，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以S表＝S側＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.答案：1100π考點二空間幾何體的表面積(自主練透)復習指導：了解球、柱、錐、臺的表面積的計算公式．1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(

)√2．已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為(

)A．81πB.100π

C.168πD.169π√所以r＝2，R＝8.故S側＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.3.如圖，設正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，則此正三棱錐的表面積為________．解析：如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.因為S側＝2S底，求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積考點三空間幾何體的體積(多維探究)復習指導：了解球、柱、錐、臺的體積的計算公式．角度1直接利用公式求體積

(1)(2022·江蘇南通聯考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為________．【解析】(2)如圖，由正方體棱長為2，M，N分別為棱BB1，AB的中點，(2)(2020·新高考卷Ⅱ)棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1

-D1MN的體積為________．√幾何體的體積計算要點|跟蹤訓練|1．(2021·新高考卷Ⅱ)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為(

)√解析：連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，2.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．03課后達標檢測

[A

基礎達標]1．(多選)下列說法正確的是(

)A．棱柱的側棱長都相等B．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱臺的側面是等腰梯形D．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面解析：A正確；B不正確，例如六棱柱的相對側面也互相平行；C不正確，棱臺的側棱長可能不相等；D正確．√√√√√4.(2022·太原市高三模擬)如圖是水平放置的某個三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點且A′D′∥y′軸，A′B′，A′D′，A′C′三條線段對應原圖形中的線段AB，AD，AC，那么(

)A．最長的是AB，最短的是ACB．最長的是AC，最短的是ABC．最長的是AB，最短的是ADD．最長的是AD，最短的是AC√解析：由題中的直觀圖可知，A′D′∥y′軸，B′C′∥x′軸，根據斜二測畫法的規(guī)則可知，在原圖形中AD∥y軸，BC∥x軸，又因為D′為B′C′的中點，所以△ABC為等腰三角形，且AD為底邊BC上的高，則有AB＝AC>AD成立．√6.(2020·高考全國卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為(

)√7．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為________cm.解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．答案：138．(2021·高考全國卷甲)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積為________．答案：39π9.現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.10.如圖所示，底面半徑為1，高為1的圓柱OO1中有一內接長方體A1B1C1D1-ABCD.設矩形ABCD的面積為S，長方體A1B1C1D1-ABCD的體積為V，AB＝x.(1)將S表示為x的函數；解：(1)連接AC(圖略)，因為矩形ABCD內接于⊙O，所以AC為⊙O的直徑．因為AC＝2，AB＝x，(2)求V的最大值．解：(2)因為長方體的高AA1＝1，[B綜合應用]11．(2021·新高考卷Ⅱ)北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離)．將地球看作是一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2(1－cosα)(單位：km2)，則S占地球表面積的百分比約為(

)A．26%B.