《反對(duì)稱矩陣的基本概念》1600字

反對(duì)稱矩陣的基本概念綜述1.1反對(duì)稱矩陣的定義設(shè)矩陣為一個(gè)方陣,如果滿足，那么為反對(duì)稱矩陣.如果反對(duì)稱矩陣的元素均在實(shí)數(shù)域上，那么為實(shí)反對(duì)稱矩陣.1.2反對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)設(shè)和都為實(shí)反對(duì)稱矩陣，那么滿足以下性質(zhì):性質(zhì)1的主對(duì)角線上的元素全都為零.性質(zhì)2與的和或差,的數(shù)乘以及轉(zhuǎn)置都是反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)3如果是非奇異的矩陣，那么也是反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)4也為反對(duì)稱矩陣.矩陣與之乘是對(duì)稱矩陣的等價(jià)條件為與的乘法可交換.如果設(shè)為正整數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，即為偶數(shù)時(shí),是反對(duì)稱矩陣.當(dāng)時(shí)，即為奇數(shù)時(shí),是對(duì)稱矩陣.性質(zhì)5的特征值只為零或者純虛數(shù).性質(zhì)6如果數(shù)是的其中一個(gè)特征值，那么的相反數(shù)同樣也是的一個(gè)特征值.性質(zhì)7與同樣階數(shù)的單位矩陣之和是非奇異的矩陣.性質(zhì)8的合同矩陣依然是實(shí)反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)9假設(shè)是任意給定的一個(gè)方陣，那么可知一定是反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)10奇數(shù)階的的行列式全部都為零，偶數(shù)階的的行列式大于或等于零,所以的行列式全部都為非負(fù)的實(shí)數(shù)，不可能存在奇數(shù)階的是非奇異的矩陣.性質(zhì)11的兩個(gè)不互為相反數(shù)的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量兩兩正交.證明不妨設(shè)的其中兩個(gè)特征值分別為、，、分別是的對(duì)應(yīng)于特征值、的特征向量，則，.用表示、的內(nèi)積,那么有.所以.由于實(shí)反對(duì)稱特征值除零以外都是以互反的純虛數(shù)對(duì)(由性質(zhì)6)出現(xiàn)，如果，取相反的純虛數(shù)，此時(shí)，顯然無法說明，的正交性.當(dāng)，取相反的純虛數(shù)時(shí)，，此時(shí),所以，正交.結(jié)論得證.性質(zhì)12的特征值全部都為零的充要條件為是零矩陣.性質(zhì)13與矩陣合同.(法1)因?yàn)榈碾A數(shù)為，不妨設(shè)，（1）當(dāng)時(shí)，是零矩陣,命題顯然成立.（2）當(dāng)時(shí)，如果，那么為零矩陣，命題成立.如果，取可逆矩陣，可以使得,即與合同，命題成立.（3）假設(shè)對(duì)于階數(shù)小于的,命題成立.同樣證明階的命也成立.如果的第一行全部都為零，不妨設(shè)，為階的反對(duì)稱矩陣.根據(jù)歸納假設(shè)可以知道，必定存在一個(gè)階的非奇異矩陣,可以使得與矩陣的形式相同,即:.設(shè),則有.設(shè)，其中為階單位矩陣，則有.設(shè),則有,所以與的形式為合同矩陣.如果的第一行不全為零，設(shè)，不妨設(shè)，進(jìn)而對(duì)實(shí)施下面的初等變換：再取，則可以得到，因?yàn)樗鲎儞Q是對(duì)稱式的，所以是一個(gè)階的實(shí)反對(duì)稱矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，一定存在一個(gè)階的非奇異矩陣,可以使得與矩陣的形式相同,即:,不妨設(shè)且,則,所以與矩陣的結(jié)構(gòu)合同.性質(zhì)得證.性質(zhì)14對(duì)于任意給定的維列向量,都是成立的.性質(zhì)15設(shè)的階數(shù)為,并且有.性質(zhì)16如果中有一個(gè)階的主子式，并且全部的含有主子式的階的主子式和階的主子式都為零，則有.性質(zhì)17如果的全部階的主子式和階的主子式都為零，則.性質(zhì)18設(shè)的秩為，階數(shù)為,那么至少存在一個(gè)階的主子式不等于零.性質(zhì)19設(shè)的元素是在實(shí)數(shù)域上，則的純虛數(shù)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的實(shí)部與虛部向量的模長相等且相互正交.性質(zhì)20的秩為偶數(shù)，且它的秩的個(gè)數(shù)等于它的非零特征根的個(gè)數(shù).證明由性質(zhì)13可以得到:(1)與矩陣合同.顯然的秩必定為偶數(shù)，又因?yàn)楹贤仃嚨闹认嗤?，所以的秩也為偶?shù).(2)由文可知，對(duì)于任意給定的，都可以找到一個(gè)酉矩陣,可以使得酉相似對(duì)角化,即是對(duì)角矩陣.所以,不妨設(shè)與對(duì)角矩陣相似，根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)（相似矩陣的特征值、行列式、秩都是相同的.另外結(jié)合性質(zhì)5也可證得的秩為偶數(shù).設(shè)的結(jié)構(gòu)為:，為的全部純虛數(shù)特征根.對(duì)角元素的次序不產(chǎn)生影響.（事實(shí)上，如果對(duì)角矩陣的排列順序與所給出不同，也可以找到正交矩陣，然后利用正交矩陣可以使對(duì)角矩陣上的其中兩個(gè)對(duì)角元素位置互換：,所以可以經(jīng)過有限次的正交相似對(duì)角化調(diào)整特征根的排列順序，不影響相似條件）.由相似矩陣的特殊性質(zhì)可以看出，的秩由純虛數(shù)特征值的個(gè)數(shù)決定,或者說它們的個(gè)數(shù)是相同的,性質(zhì)得證.性質(zhì)21的奇異值個(gè)數(shù)和純虛數(shù)特征值的個(gè)數(shù)相同，并且奇異值就等于純虛數(shù)特征值的模.性質(zhì)22的奇異值