《反對稱矩陣在代數(shù)特征值反問題上的應(yīng)用》2600字

反對稱矩陣在代數(shù)特征值反問題上的應(yīng)用綜述在討論問題之前先引進一些記號，同文,記為全體的階實矩陣;為全體的階正交矩陣;為的廣義逆;為全體的對稱正交矩陣;為階的單位矩陣;為全體的階實對稱矩陣;為全體的階實反對稱矩陣,表示矩陣的Frobenius范數(shù).由文給出如下4個定義:定義2.1如果，且，那么就是的對稱正交反對稱矩陣.記為階對稱正交反對稱矩陣全體.定義2.2如果，且，那么就是的反對稱正交對稱矩陣.記為階反對稱正交對稱矩陣全體.定義2.3如果，且，那么就是的對稱正交對稱矩陣.記為階對稱正交對稱矩陣全體.定義2.4如果，且，那么就是的反對稱正交反對稱矩陣.記為階反對稱正交反對稱矩陣全體.引理2.1矩陣方程可解的充要條件為且它的通解形式為為任意的矩陣.引理2.2對于給定的矩陣,,如果矩陣有一個奇異值分解,其中，，.不妨設(shè),,那么存在矩陣,可以使得矩陣方程可解的充要條件為和.當矩陣和均滿足方程可解的條件時，解的一般表達式為,其中.由此我們可以給出以下最佳逼近問題的解：設(shè)所求集合,對于給定的,求,使之滿足.在滿足凹凸集的條件的情況下，根據(jù)最佳逼近定理,是存在唯一的解,可以使得.此時,由可以知道,解的一般表達式是.引理2.3對于給定的矩陣,，如果矩陣有奇異值分解,，，.不妨設(shè),,則存在矩陣，可以令矩陣方程有解的充要條件為且,當所給矩陣和均滿足有解的條件下，解的一般表達式是,.由此我們可以給出以下最佳逼近問題的解：設(shè)所求集合,對于給定的,求,使之滿足.在滿足凹凸集的條件的情況下,根據(jù)最佳逼近定理,是存在唯一的解,可以使得.此時,由可以知道,解的一般表達式為.對下面矩陣特征特征值反問題以及其解的最佳逼近進行探究:首先,對于矩陣,根據(jù)相關(guān)性質(zhì)我們給出的一個特征分解（譜分解）:,其中,記.所以,再設(shè),,從而,,故,.后面如果沒有特殊說明,矩陣所代表的意義不變.討論以下幾個譜約束問題:問題1.1已知,求,使得.問題1.2設(shè)為問題1.1所求的解的集合,,給定矩陣,求,使得.問題1.3已知,求,使得.問題2.1已知,求,使得.問題2.2設(shè)為問題2.1所求的解的集合,給定矩陣,求,使得.問題2.3已知,求,使得.定理2.1.1的充要條件是證明根據(jù)定義知所以充分必要條件都可得證.定理2.1.2的充要條件是存在矩陣,使得.證明必要性:由,那么所以.充分性：因為，由定理2.1.1得所以..所以有.再令,顯然有,所以均為對稱矩陣（），那么,定理得證.對于問題1.1中的矩陣和,設(shè),作矩陣與的奇異值分解,分別為和，,，，，，，，，其中和分別為矩陣與奇異值后所對應(yīng)的非零奇異值個數(shù),和均為相適應(yīng)的對稱矩陣.定理2.1.3給定矩陣，問題1.1有解的充要條件是和，和,滿足有解的情況下,它的一般表達式為.證明：由定理2.1.2知，是問題1.1的通解形式，那么設(shè),則有.那么,此時作矩陣與的奇異值分解,分別為和，，，，，，，，，其中和分別為矩陣與奇異值后所對應(yīng)的非零奇異值個數(shù),和均為相適應(yīng)的對稱矩陣.根據(jù)引理2.2知,那么解存在的充分必要條件為和，和，其中，，和均為相適應(yīng)的對稱矩陣.所以問題1.1的解的一般表達式為.定理得證.問題1.2的解根據(jù)定理2.1.2知問題1.1的通解為,,均為相適應(yīng)的對稱矩陣.對于問題1.2中給定的矩陣,不妨設(shè),又因為Frobenius范數(shù)的正交不變性，那么有.所以由上式我們可以推出:.因此必須滿足和的條件.根據(jù)定理2.1.3,我們知道的在滿足問題2.1的解時所對應(yīng)的表達形式為.對應(yīng)的解的表達形式為:.因此,有從而,當時,滿足要求,又因為為對稱實矩陣,不妨構(gòu)造矩陣,顯然,容易驗證為對稱實矩陣，且為滿足條件的解,所以得出的逼近解:,進而的逼近解.同理得從而,當時,滿足要求,又因為為對稱實矩陣,不妨構(gòu)造矩陣.顯然,容易驗證為對稱實矩陣,且為滿足條件的解,所以得出的逼近解:,進而的逼近解.所以問題1.2存在唯一的逼近解,其表達形式為.問題1.3的解：根據(jù)定理2.1.2，是問題1.3的通解形式，則把代入，可以得到此時，我們可以設(shè)，那么有另外設(shè),則,那么.即.此時設(shè)與的奇異值分解分別為和，，，，，，，，，其中和分別為矩陣與奇異值后所對應(yīng)的非零奇異值個數(shù),和均為相適應(yīng)的對稱矩陣.再根據(jù)引理2.2,那么問題1.3的解存在的充分必要條件為且，且，其中，，所以問題1.3的解的一般表達式是.問題2.1的解定理2.2.1的充要條件是證明根據(jù)定義知所以充分必要條件都可得證.定理2.2.2的充要條件是存在矩陣,使得.證明必要性由,那么所以.充分性：因為，由定理2.2.1得所以..所以有.再令,顯然有,所以均為反對稱矩陣（），那么,定理得證.對于問題2.1中的和,記,與的奇異值分解分別為和，,，，，，，，，和均為相適應(yīng)的反對稱矩陣.定理2.2.3對于給定的，問題2.1有解的充要條件是且，且,它的一般表達式為.證明：由定理2.2.2知，是問題2.1的通解形式，那么又,則有.此時設(shè)與的奇異值分解分別為和，，，，，，，，，和均為相適應(yīng)的反對稱矩陣,由引理2.3可知,解存在的充分必要條件為且，且，其中，，和均為相適應(yīng)的反對稱矩陣,所以問題2.1的解的一般表達式為.定理得證.問題2.2的解根據(jù)定理2.2.2知問題2.1的通解為,矩陣和均為相適應(yīng)的反對稱矩陣.對于問題2.2中給定的矩陣,不妨設(shè),又因為Frobenius范數(shù)的正交不變性,那么有.所以由上式我們可以推出:.因此必須滿足和的條件.根據(jù)定理2.1.3,我們知道的在滿足問題2.1的解時所對應(yīng)的表達形式為.對應(yīng)的解的表達形式為:.因此,有從而,當時,滿足要求,又因為為反對稱實矩陣,不妨構(gòu)造矩陣,顯然,容易驗證為反對稱實矩陣，且為滿足條件的解,所以得出的逼近解:,進而的逼近解.同理得從而,當時,滿足要求,又因為為反對稱實矩陣,不妨構(gòu)造矩陣.顯然,容易驗證為反對稱實矩陣,且為滿足條件的解,所以得出的逼近解:,進而的逼近解.所以問題2.2存在唯一的逼近解,其表達形式為.問題2.3的解：根據(jù)定理2.2.2，是問題2.3的通解形式，則把通解代入，可以得到此時，我們可以設(shè)，那么有另外設(shè),則那么有.即.此時設(shè)與的奇異值分解分別為和，，，，，，，，,和均為相適應(yīng)的反對稱矩陣.再根據(jù)引理2.3知，那么問題2.3的解存在的充分必要條件為且，且，其中，，,.所以解的一般表達式是.小結(jié)以上給出了兩類解在矩陣方程反問題有解的充要條件（利用廣義逆）以及解的表達式構(gòu)造,在確定解集合的情況下求譜