考研數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二模擬試卷21（共202題）

考研數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二模擬試卷21（共9套）

（共202題）

考研數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共8題，每題7.0分，共8分。）

1、

已知人外在（-3,3）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且1而安=1,/"（幻＞0,則（＞.

（A）在（一6,0）內(nèi)/（工）〉卻在（0,6〉內(nèi)/（x）＜x

（B）在（-6,0＞內(nèi)/《》〈工,在（0滓）內(nèi)/（x?x

（C）在（一8③）內(nèi)fGr）Vz

（D）在（一內(nèi)/（J-?X

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】條件lim這=1相當(dāng)于/（0）=0,尸（0）=1,然后用單調(diào)性或極值與最值即可

X—0X

導(dǎo)出不等式.

由題設(shè)=】知J（O）=OJ'（O）=1.

令尸（N）=/（Z）-N,則尸'（/=尸（］）-1.尸"（“）=/"（幻＞0.于是尸'（］）在（一64）內(nèi)單

調(diào)增加，且尸'（0）=0.當(dāng)T€（一8,加時(shí),「GOV尸'（0）=0;當(dāng)工。（0⑻時(shí),rtr）＞r（o）

=0.可見FGr）在點(diǎn)x=Q處取極小值?也即最小值，從而有FQ）＞/0）=0,即/（x）＞x,

nW（-6,8）,故應(yīng)選（D）?

本題也可由泰勒公式，有f（N）=f（O）+f'（O）z+豕"⑶"，再由/w（.r）＞0知,

x€（一③時(shí)，有/（x）＞/（0）+/z（0）x=x.

已知函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且四借占尹=1,則().

(A)點(diǎn)(0,0)不是人工~)的極值點(diǎn)(B)點(diǎn)(0,0)是人工少)的極大值點(diǎn)

(C)點(diǎn)(0,0)是〃工力)的極小值點(diǎn)(D)以上都不對(duì)

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】由極限與無窮小的關(guān)系，在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)有

Q+(1+a-y)2,

其中l(wèi)ima=0.即，Cr,y)=j!y+Cr2+y2，+a(N?+y2)2所以在點(diǎn)(0,0)的足夠小的鄰域

P*O

4r*o

內(nèi)，在到＞0處在qVO處fCr,y)VO,故/(0,0)不是極值.

3、

設(shè)gCx)=[”“兄“，其中

4-34-1),若oV^Vl,

/(x)={

，a-D,若1&Na2,

則陵工)在區(qū)間(0,2)內(nèi)().

(A)無界(B)遞減(C)不連續(xù)(D)連續(xù)

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】本題有兩種方法：一種把屋工）的表達(dá)式求出來后再研究它的有界性?另一種是

直接利用已有結(jié)論.

1+Ddu,OWxVl,

解法1gGr)="

鼻之+DM+*y(w-Ddu,l<x<2

4

O&NVI,

4■佶?一工)+告，1<<2,

于是gG）分別在［0,1）與［1,2］上連續(xù),又

啄ga"上.（#+N）?§,g⑴■圖

即g（z）在閉區(qū)間［0,2］上連續(xù).故應(yīng)選（D）.

解法2可直接用已有結(jié)論「若/（力在［。,刃上可積，于是g（z）=是0,6］上

的連續(xù)函數(shù)”，本題中f（工）在［0,2］上可積，于是gM=”在（0,2）上連續(xù)，故應(yīng)

選（D）.

4、

微分方程2?”一（y>的通解為（）.

（A）y=（.x—c）z（B）>=Ci（x—I）2

（C）y=ci+Gr—c>（D）y=Ci（x—f,）2

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】因?yàn)榇朔匠虨橐浑A微分方程，故其通解中應(yīng)含有2個(gè)自由常數(shù)，故可排除（A）,

<B）.又y=c-c>不是方程的解，故排除（C）.

5、

曲線尸/arctan仔盤為的漸近線有（X

（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：

zi

【解析】由于limJy=limearctan晨需營方=/.故產(chǎn)千為該曲線的一條水平漸

近線.一一8

00

又limy=lime"'arctan7

4-0(z:+l士)Cr尹—2)=,

故x=0為該曲線的一條垂直漸近線，所以該曲線的漸近線有兩條.故應(yīng)選(B).

6、

下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的是(

smx?xCO

(A)/(r)=lnx4-sin.r

cosx,x>0

x+1,x<0lWo

(C)/(x)='0,x=0(D)/(x)=

x—1,x>0由.r=0

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】由基本初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則知fG)=lnz+sinz在

其定義域0VzV+8內(nèi)連續(xù)，故應(yīng)選(A).

【評(píng)注】3),(0,(口)中函數(shù)的定義域都是一8〈力〈+8,但6)和(0中的函數(shù)在

1=0處的左、右極限存在但不相等，故％=0是它們的第一類間斷點(diǎn)：(D)中的函數(shù)

“G有啊f(z)=+8,從而z=0是其第二類間斷點(diǎn).

本題主贏■森初等函數(shù)連續(xù)性的基本結(jié)論和函數(shù)連續(xù)性的概念.

7、

A是”階矩陣,且川=。，則().

(A)A不可逆,￡一A也不可逆(B)A可逆,E+A也可逆

(C)/一A+E與川+4+￡均可逆⑴)A不可逆，且川必為0

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】由|4|3=|不|=0知4不可逆，而由

(E-A)(E+A+A2)=E-A3=￡,(E+A)(E—A+屋)E-hA3=E

知，上一浦河+4后+4+笳肖一人+/均可逆.

roio'

當(dāng)A，=。時(shí),*是否為o是不能確定的，例如：4=oo1,A2=000，有A：=

.00OJLo00.

。，但屬工。,用=。.且4：=0,故選(C).

8、

設(shè)A為三階方陣,4*2,A表示A中三個(gè)列向量，則|A|=().

(A)出,A|(B)|I

(C)|—AI,A?,A31(D)\A\MI+AJMI+TIZ+XJI

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】由行列式性質(zhì)，用排除法.

設(shè)A=(A,A?，A)，則IAI=IAi9At9AiI，由彳丁列式性質(zhì)IA3,4，AI=—IA，A?，A|,故

(A)不對(duì).

I—A，—Aj,—Aj|=-?

故(C)不對(duì).|41+42，4+43途3+4|=2|41，4"3],故8)不對(duì).

所以，此題正確答案應(yīng)為(D).

二、填空題(本題共5題，每題上0分，共5分。)

標(biāo)準(zhǔn)答案：2(sinxsiny+cosysiny)

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】言npysior+cosjX-siny).

將l=0,“=sin2y代入已知函數(shù)得：sin21y=9>(cosy)=l—cos。.

設(shè)0=cosy,故出=，(”)=-2。則

(p'(sinx+cosy)=-2(sinx+cosy).

=(-2sinx-2cosy)(—sin?)=2(sinxsinj+cosysiny).

10>

微分方程y'+3+”A+為奴尸oa】聲”且為實(shí)數(shù))，滿足)(o)=o,y(o)=i的特

解為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：兇

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】這是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次方程的求解問題，容易犯的錯(cuò)誤是將非齊次方

程的特解設(shè)為y*=x4cos2x.注意，形如_y"+4_y=/>cos2R,或1y"+41y=gsin2x,或y"+4y

=pcos2z+qsin2z(其中p,g是不等于零的常數(shù))的二階常系數(shù)線性非齊次方程，其特解

都應(yīng)設(shè)為>'=x(/lcos2x+Bsin2x).

_y"+4y=cos2z對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是7+4-0,它的兩個(gè)特征根為r1.z=±2i,因

此對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為^=C.cos2x+C2sin2x.

又因?yàn)椤?=±2i是特征方程的根，所以，應(yīng)設(shè)非齊次方程的解為

y*=x(/lcos2x+Bsin2x)y

則

(,y*V=x(_2A3\n2x+2Bcos2x)+Acos22+Bsin2x,

(>>)W=X(4ACOS2X+4Bsin2x)—4Xsin2x+48cos2m

將兩式代入方程>y"+4y=cos2］得

—4Asin2z+4Bcos2x=cos2x.

比較系數(shù)得4=0,8=1/4.

11、

設(shè)曲線/(x)=x34-ax與gG)=6J+c都通過點(diǎn)(一］,0),且在點(diǎn)(一1,0)有公切線，

則a=,b=,c=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：a=-kb=-I,c=l

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】由于曲線/G)和gG)都通過(一1,0),故

0=—1—a,0=64-c,即a=一】，6+c=0.

又曲線/GO和在點(diǎn)(一1,0)有公切線，故

2

f(,-1)=(3x+a)|z._)=3+a=g?-1)=2^x|*.-i=-2A,

即3+a=-%.

由此不難得出a=—1tb=—l,c=l.

標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】本題的被積函數(shù)是年函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘，應(yīng)該用分部枳分

法.

解法1因?yàn)?/p>

\(1+p(r^]=TT^-fT+

=-f號(hào)板=前一ln(l+/)+c?

所以r譚自我=如[岳-ln(l+刃】+In2.

而則【備TM]+e<)]=現(xiàn)｛圣-MP+e-刈

=如[圣-Ind+e：))

lim,,,

is]+e*-0=0,

故原式=ln2.

解法2

?！啡藦V缶赧=一（7（出）

+8dz

1+e'l0+01+e*

=「急7：

=-ln(l+e-*)|：8=ln2.

【評(píng)注】本題主要考查廣義積分計(jì)算，顯然解法2比解法1好.

13、

若線性方程組

"1+12=-，

Xi+X3=%?

<

工3+工4=-。3,

工4十耳=。4

有解，則常數(shù)的,。2，%，4應(yīng)滿足條件.

□

標(biāo)準(zhǔn)答案:

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】方程組有解=>r(A)=r(給.對(duì)不作初等行變換，有

1100-aJ」100—Ui'

010020110

0011一為0011—/

.100104-.0-101+。4-

'1100\—?1■■1100：—4,■

0\

0110;%11az

一>

00111-411：一。3

.0011"1十。2十a(chǎn)，-0!aj-F?2+?3+?4-

所以ai4-a:4-aj+a<=0.

三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

14、

(I)設(shè)/(“)在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且lim/(z)=證明

z-O*LE

存在一點(diǎn)(〉0使/($)-0.

(U)設(shè)/(X)在(0.+8)可導(dǎo),且對(duì)z>0皆有04/(x)《廣鼻,證明存在c>0?使

八°)=(；+卻

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解(I)記lim/(x)=limf(I)==B.令

I+

B.c=0及c=￡?

FCt)=-

f(tant).0<i<-y

則FQ)在[0,至|上連續(xù)?在(0,9)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F號(hào))=8.由羅爾定理，"W(0號(hào))

使/(府=0,即/(tanip?sec'i;=。，記G=tam；>O.sec'H0,故/(￡)=0.

(fl)記F(x)=/(x)一晨G=f(H)-洋子則

limF(x)==0,(0&/(工)4.f,)

X-0LO1十彳1"TJT

limF(x)=lim[/(x)--1….1=0.

一??31?81十a(chǎn)r

F(x)滿足(I)中已證明的條件，故存在c>0,使F'(c)=0.

而r(x)=r(x)-(iL，即+c)=cTTTy-

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

設(shè)A為mX〃實(shí)矩陣為sX〃矩陣.

(1)證明：若Ax-0的解均為班—0的解，則

(2)利用上述結(jié)果證明r(ATA)=r(A).

標(biāo)準(zhǔn)答案：

證(D由題設(shè)知獨(dú)=0的解空間是取=0的解空間的子空間，由于前者的維數(shù)

是抑一NA),后者的維數(shù)是v-NB),所以〃-NA)(〃一MB),從而r(A)2ZB).

(2)顯然Ax=0的解為Ar=0的解?所以ZA)2ZA“).

另一方面，設(shè)《是A7x=0的任一解,即父=0,則有

景/必=0.||7V=0

于是替=0,即1是Ax=0的解，從而r(ArA)>r(A).

綜合上述兩方面的結(jié)果得rGVA)=r(A).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

16、

已知〃維向盤組or,-(aa????,?,,a^),:=1.2,…，〃線性無關(guān)，試

說明是否存在不全為零的數(shù)的決2,…，耳使

kia\+A?。？++k.a.=(c,(),???,0),c#0

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解存在不全為零的數(shù)吊也，…，k.使

鬲。1+月。2+…+瓦。?=(c,0"",0),c*0.

事實(shí)上，設(shè)A=(〃，a,3,…，6)，i=1，2,…E,則它們?yōu)?個(gè)"-1維的向量，必線性相

關(guān)，即存在不全為零的數(shù)用/2?…，3使

鬲優(yōu)+―+=(0,…?0).

對(duì)這n個(gè)數(shù)k\,???.E,必有

k}a}+…+k=a.=(c,0,….0),c*0.

因若c=0,則與q線性無關(guān)矛盾.因此,結(jié)論成立.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

17、

求高為M底面半徑為r的正圓錐體的形心.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解設(shè)形體密度為1.如圖，以對(duì)稱軸為工軸，則在

[x.xJ-dr]中?

*端■豺九

dM=dv=7r7Tldz.M

h'

對(duì)原點(diǎn)靜矩A=k"Jx3dx=yr2A1.

形心7=M=

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

設(shè)八公為連續(xù)函數(shù),D是由y=1~=］'1=一1所圍成的平面

區(qū)域.計(jì)算1=/口+方(/+/)］上.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解1用y—一工，將D分成兩部分：D］由y—=-］，，、=1囪成，￡>2由3="，

y=-x3,x=-1圍成.

由于A關(guān)于)軸對(duì)稱?所以gr口+”(/+32>的=0

由于5關(guān)于工軸對(duì)稱,所以JJ.r?"J+^)do=0

因此，=卜必=［產(chǎn)匚

解2設(shè)F(u)是/(?)的一個(gè)原函數(shù)

戶+Q/G+/孫

=Jx(l—x3)dx+|-y[F(x:+1)—F(.x:4-x*)]dT

知識(shí)點(diǎn)T解.)’暫3無解T析

19、

求拋物線+/=1的所有切線中與此拋物線及二坐標(biāo)軸所圍

成面積的最小值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解如圖.設(shè)(“),%)是拋物線上任一點(diǎn)?過此點(diǎn)所作切

線方程是

要求陰影部分的面積最小,只要求△OAB面枳的最大值.

而令(*)式中y0。得4A0{IQYQ+M)=v/x7.

令(*)式中a，=0得ya=N/XOYO+%=x/5T-

從而只要求/47y/yo的最大值,但\/x7+=1.故當(dāng)

-To=yr>~"時(shí)有鍛大值為1/8.

而拋物線與二坐標(biāo)軸所圍曲邊三角形的面積為

S=f(l+r-2xT)dx=4-

Jo0

故所求圾小面積值為4-V=T7.

6324

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

設(shè)y(x)在［0,2］上連續(xù)?在(0,2)內(nèi)三階可導(dǎo)，且lim這=2.

X-0**

/(1)=1./(2)=6?證明存在￡6(0,2),使U⑷=9.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解lim2出=2.故有/(0)=0,/(0)=2.

z—C*工

作P(x)=M+Hr，+Cr+。使。(0)=0,P'(0)=2,P(1)=1,P(2)=6,得A二卷,

B=--1,C=2.D=0.

令伊(N)=/(X)—(-yX3-+2l)

則y>(x)在［0,2］連續(xù).在(0,2)可導(dǎo).且9?(0)=3⑴=42)=0?因此,在［0,1］和［1.2］上

中(X)均滿足羅爾定理?xiàng)l件,故存在&，&有0V&VIV&V2使夕(&)=/(&)=0.又因

/(0)=。.于是對(duì)，(工)分別在［0,8］和［&?&］上用羅爾定理知?存在7>€(0.&),生(&,

&)?使“(仍)=,(少)=0,最后由“(G在［次，力］上用羅爾定理知，存在WW(小，電)U(0.

2),使<($)=0,而/(a)=/*(x)-9,故/*($)=9.

知識(shí)點(diǎn)解析：哲無解析

21、

設(shè)曲線,v=y(jr)滿足方理3,+2_y=2e",且與拋物線y=

工2一工+1相切于(0,1)點(diǎn),試作出此曲線的圖形.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解先求非齊次方程的特解歹=are，代人方程

求得a=-2?于是微分方程的通解為

又由題設(shè)知乂0)=1，4(0)=-1.由此得G=0，G=L一^

從而曲線方程為y=(l-2x)ex1±O1

~2~22

這時(shí)y=—(1+2工)€*\%=一&?是極大點(diǎn).

y=-(3+2公-_r=一?是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).

lim.v=0,.v=0是漸近線

X—OO

列表

3(1(-I.4-00)

X《-8.-y)31)

2(2，22

/

y++—

y十——

yJ4e-r2c",?

曲線如圖所示：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二模擬試卷第2套

一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

1、

-/T77-I,孑

設(shè)a(x)=[ln(I+f)dr,/3(x)=[arcsin仙，則當(dāng)4-?()時(shí),a(x)是0(*)的()無窮小.

(A)三階(B)二階

(C)等價(jià)(D)同階而不等價(jià)

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析:

［考點(diǎn)點(diǎn)拔］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:無窮小類型的判斷.

2、

設(shè)/是奇函數(shù)，且滿足問題中連續(xù)或可導(dǎo)的條件，則夕(*)為奇函數(shù)的是()

(A)中⑴=今［//(』)］(B)3(*)=點(diǎn))J

(C)以幻=17(廣汕(D)伊(%)=1/■(/)山

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：

(考點(diǎn)點(diǎn)撥)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:函數(shù)守偶性的判斷.

3、

設(shè)/(工)為連續(xù)函數(shù)，且=￡7(。也，則r(x)等于()

K

(A)~/(lru)+(B)f(】nx)+《十)

(C)%lnx)-E3(D)/(lnx)-/(-L)

A、

B、

c、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)拔］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:含變上限積分的求導(dǎo).

4、

下列廣義枳分收斂的是()

(A)「爭x

dx

*(lnx)T

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:廣義積分的效散性.

5、

由曲線y=-半w#w列與無軸所圍成的圖形，繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

()

(A)手(B)”(C)V(D)^-

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:旋轉(zhuǎn)儂體枳的計(jì)算.

6、

函數(shù)z=/(x.y)在點(diǎn)(與.九)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)/.(%.%)/,(%.%)存在，且/,(%,y0)=/,(%.

為)，則()

(A)在(%。,%)可微(B)在(與,打)連續(xù)

(C)在(%.%)極限存在(D)(A)、(B)、(C)、都不對(duì)

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

I考點(diǎn)點(diǎn)拔］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:有關(guān)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

7、

下列結(jié)論正確的是()

(A)單調(diào)增加.且有下界的序列,無極限

(B)無窮大量乘有界變垃，仍是無窮大加

(C)單調(diào)可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)也單調(diào)

(D)如果/(%)在上可積,且其積分值為/，任意改變點(diǎn)=6處的函數(shù)值(行限),則定

積分仍存在，且值不變

A、

B、

c、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:對(duì)有關(guān)函數(shù)一些性質(zhì)的定義的理郵

8、

要使々=(1,0,2)「&=(04，-1>都是線性方程組煎=0的解，只要系數(shù)矩陣4為()

(MJJ")咻:;)

ICC(01-1>

(C)(；I.J?！?-2

\o117

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)拔］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：系數(shù)矩陣與線性方程組解之間的關(guān)系.

二、填空題(本題共6題，每題7.0分，共6分。)

9、

曲線y=I也的拐點(diǎn)貼.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(0,1)

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是；合變上限的定積分求導(dǎo)以及今數(shù)的友用.

［解析］閃為y'=。-"”=-2依可令/=0,得x=0,當(dāng)*<0時(shí)>0；當(dāng)*>0時(shí)/<0,又當(dāng)

x=0時(shí),y=1,故(01)是拐點(diǎn).

10、

設(shè)/(X)=8仙/，則/(0)

標(biāo)準(zhǔn)答案：0

知識(shí)點(diǎn)解析:

［考點(diǎn)點(diǎn)撥】本踵考查的知識(shí)點(diǎn)是：居數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)收的定義.

［解析］由導(dǎo)數(shù)定義，

7（0）=1而途二1=1而一.蝶

=lim-??與=--T"linw+=0.

?-o3_-r3?-?

11、

函數(shù)FG）-/（2->0）的單調(diào)減少區(qū)間為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：（0,1/4）

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥〕本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:含變上限的定積分求導(dǎo)以及導(dǎo)敕的應(yīng)用.

［解析］由于廣■）=2-上,令廣（外<0,得單網(wǎng)減少區(qū)間為（0,十）.

12、

設(shè)/（4）是連線函數(shù)，且/（工）=一2”（，）山,則/（幻=

標(biāo)準(zhǔn)答案：X-1

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:通過函數(shù)方程求解晶數(shù)未達(dá)式.

［解析］令（/（，）也=4則/（*）=x+24,

2

fAjof（x）dx=（x+2A）dx=［-1-x+2Ax］=y-+2.4,

即4=y+24,4=-y.

故Ax）=x-l.

13、

4231

2531

標(biāo)準(zhǔn)答案：-9

知識(shí)點(diǎn)解析:

［考點(diǎn)點(diǎn)撥］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：行列式某行代數(shù)余亍式和的計(jì)樂

21-3521-35

11120001

［解析］%+%+%+%==

42314231

11111111

21-3

=(-1產(chǎn)423=-9.

!11

14、

設(shè)?維向址5,a2,a5滿足2at1-6?3a,?0,對(duì)于任意的n維向量6,1句+a(Jjfl+n2，hfi

+a,都線性相關(guān),則參數(shù)/,4,4應(yīng)滿足關(guān)系.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

21,-/2+3/j=0

知識(shí)點(diǎn)解析：

［考點(diǎn)點(diǎn)撥］本題考查的知識(shí)點(diǎn)是:向量組我性相關(guān)的定義.

［解析］因/￡+a,?0++aj線性相關(guān)=存在不全為零的k、4&，使得

*A：j(/+a:)+4}(Zj/3+as)=0,

即(A"i+k2l2+AjZ,)^+ktat+A2a2+&%=0.=因B是任意向量,6?2,％滿足

2al-or,+3a,=0

故令2。-4+M=0時(shí)上式成立.

故L44應(yīng)滿足2/1-4+3。=0

三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

15、

設(shè)/(彳)在1=0二階可導(dǎo)，又lim/Q—=A

x-01-CO&Z

(I)求f'(0)與

［\/(x2-/2)dz

(n)求J=lim--------z---------.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

【分析與求解】（JD因?yàn)?-COSX?112（工-0）,由條件得

2

lim=Anlim

“一0191-0X，

再由/(x)=/(0)4-/(0)x+-1-/，(0)x2+o(x2)

/(O)+/(O)x+4//(0)x2+。(/)1

=>lim---------------------------J--------------------------=RA

1oX/

=>/(0)=0,/(O)=0,/\0)=A.

(n-&=-才fd-r)d(〃_/)--1-￡2/(s)d5

K/G)ds

打。(s)ds|/(xJ).2x

J=lim—7?-=5-67—

L0

=1'也佛=告A，

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

16、

已知曲線在直角坐標(biāo)系中由參數(shù)方程給出"=t+e-ly=2z+ef

（1）證明該參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=yG）,]6[b4-oo）.

（口）證明y=yCx）在口，+8）單調(diào)上升且是凸的.

（[R）求y=yCx）的漸近線.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

【分析與求解】（I）因?yàn)椋?l-e-*>O（^>O）,x；（O）=0.=>工=t+e"

在［0,+8）單調(diào)上升，值域?yàn)榭冢?8）?=z=t+eT存在反函數(shù)，記為，=“外，它

在口，+8）連續(xù)（單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)）.再由連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性=>>=

2Kx）+e-Mr>-=乂］）在［1,+8）連續(xù).

（0）由參數(shù)式求導(dǎo)法.

影=^=2哼=2（匕；叫產(chǎn)’）=2（1+尸）〉0（00即x>l）

于是y=在口，+8）單詞上升，又

&=￡（￡）=￡（2<1+尸）=恥（1+￡-麥<。Q〉。即

X>1）

因此y=y（x）在［1,4-0°）是凸的.

（UI）xf+80t-*H-8.

lim義nlim十篇：=2

x￡+e

lim（y—2x）=lim［2r+e~2t—2Q+e-r）］=0

A_8t

又因y=y（x）在［1,+8］連續(xù)，所以》=八.只有漸近線,y=2H

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

17、

設(shè)0<",求與G（0,6）,使得由曲線3=心,過點(diǎn)（我，/云）的曲線y=石的切線以及

直線7=6和y軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V最小.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

r分析與求解】曲線；y=右在點(diǎn)3所）的切線方程是

=^^[3產(chǎn)+3tb+〃]=卜+36+在(0,6)的最小值點(diǎn)?

求VQ)

<0,?！渡?/p>

V3

心”乳3一用=竽二^

=。"當(dāng)

>0.與<￡<6

c當(dāng)…b時(shí)VW?。?,6）的最小值.

因此，所求的吊=為

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

18、

求證：2”〉1+〃，尹（n>l為自然數(shù)）.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

【分析與證明】把證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)不等式，可以用微分學(xué)的

方法.

令=2=一1一則

/(x)=2，ln2-2厘一鼻?2手ln2

=2寧(2生g2—1—夕dn2)

為了確定,G)的符號(hào)，考察

g(x)=24ln2—1—z-xln2

W

=>g(x)=2甲?yln:2-yln2=-i-ln2(2^1n2-1)

>-1ln2(ln22-l)>0(z>l)

=>g(x)>g(l)=21n2-1-yln2=-1ln2-1

=ln#-l>0(78>2.8>e)

于是/G)〉0(VZ〉1)=>/(N)〉/(D=0(Vx>l).

因此，f(n)>0<n>l)

即2"〉1+〃心丁

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

19、

設(shè)y—g(*,z),而z=z(.x9y)是由方程—g,卬)—0所確定，其中函數(shù)g，

,均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求去

K分機(jī)與手■一】這是只有3個(gè)文直,z力力■式?■定z力m文霞?力一為a

費(fèi)?,挨?意?/為自境ft.**力因變量.由方國蛆

j/(x-?.<iy)-0

ly-f(x??)-0

?定y—><*),/-HG?將上式兩邊對(duì)上求母灣

fi,c—給+/??(y+x案)?0

即

6j—―/?一/?

■比以今?華為未知數(shù)的二元一次方程里*

生..1I一八一

&pr?-r.||iz.I

."八：，+八w，

【分析與求“二】將方科也期邊家金被分將

jfi（dr—d?>+Z*i?《ydr+xdy）.0

Idy-/idz—/.d*.0

清去d》《由第二式修出dy代入第一式）W

//i（dx-d*）[ydx-W/idx?/,&）]-0

即（/i-xfri?<,i>dr-《/*?+”=+“'??晨》dz

解出

d*八tW'i?/

3￡/|一"7.7t

【W(wǎng)l￡i】「存血摘憤?*?由力&式

/（X-Z?Q）?。①

?定??￡《.?山?內(nèi)由方席式

y-②

?定y-yCr）?從而?定

r,?<x.y<x）>

=光■%+,冬③

將①式分別對(duì)工小求學(xué)褥

/??u-嘉,+”,-o

/?,（蜀+”，?0

*?虹”居④

將②式對(duì)X求號(hào)網(wǎng)

舟?晨+/,?（翁+森今）⑤

一￡（"，豫卜，"黑

將④式代入碑

今（"皆卜人+/，乙子盧

4y.8,《八十，’‘）

&"A-*/t?Kt-

興一/.“八拼沙彳；產(chǎn)心微后由③式,⑤式得

drdy,、/,f?+Wt+x/',?￡'i

石■f際-1…X—工二，

這是分剜作為方程式?定忌嫉★東處理?比起?優(yōu)L2?復(fù)東?

KWit2Jth于力仝。介形式的不充依?種方N組”邊卡全微分時(shí)?*M以代

■,、y一一必項(xiàng)及.個(gè)叟量是白受雷?■個(gè)變量是因受量?這是方便之處?

標(biāo)準(zhǔn)答案：_____________

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

20、

(I)將累次積分

化成定積分，其中。>0為常數(shù).

(口)求<1.而-0+［ln7(勺l-2ra")

標(biāo)準(zhǔn)答案：

【分析與求解】(I)Z(a)是二重積分的

一個(gè)累次積分,

『

/(a)=jje*"dzd.y①

其中，2”一尸，它是半圓

域，如圖所示，改換極坐標(biāo)，則

O&JV5，。&廠｛2“sin夕

于是

2M21fT.2.2,

jj(ei"-Dd。

(n)注意afo時(shí)，ln(l+a?)?笳，由①式及二或積分中值定理，三(&Q丘。使

得

e'+，?--7W

..7(a)_..2

lim~~~~■-jj^r-lim2

z

一產(chǎn)ln(14-a)LO+a

其中D的面積為彳曲2,。-04時(shí)4+/r().

w

lime,"=1.

。-0A+

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

已知齊次方程組

Xj+了2+=0

（I）?OZi+/4=0的解滿足方程工1+孫+%3=。，

2

oi2+ax4=0

求。的值并求方程組（I）的通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

【解】因?yàn)榉匠探M（I）的解全是方程X1+*2+4=0的解.

所以方程組

X\+g+*4=