2025版高中數(shù)學(xué)第三章概率3.1.1隨機事件的概率3.1.2概率的意義學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE13.1.1隨機事務(wù)的概率3.1.2概率的意義學(xué)習(xí)目標1.了解隨機事務(wù)、必定事務(wù)、不行能事務(wù)的含義.2.了解隨機事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性.3.了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)分．學(xué)問點一事務(wù)的有關(guān)概念1．事務(wù)的分類及三種事務(wù)2．對事務(wù)分類的兩個關(guān)鍵點(1)條件：在條件S下事務(wù)發(fā)生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法推斷事務(wù)是否發(fā)生．(2)結(jié)果發(fā)生與否：有時結(jié)果較困難，要精確理解結(jié)果包含的各種狀況．思索隨機事務(wù)概念中的“在條件S下”能否去掉？答案不行以．學(xué)問點二概率與頻率1．頻數(shù)與頻率在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．2．概率(1)含義：概率是度量隨機事務(wù)發(fā)生的可能性大小的量．(2)與頻率聯(lián)系：對于給定的隨機事務(wù)A，由于事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．學(xué)問點三概率的意義1．概率的正確理解隨機事務(wù)在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機性中含有規(guī)律性，相識了這種隨機性中的規(guī)律性，就能比較精確地預(yù)料隨機事務(wù)發(fā)生的可能性．2．實際問題中的幾個實例(1)嬉戲的公允性①裁判員用抽簽器確定誰先發(fā)球，不管哪一名運動員先猜，猜中并取得發(fā)球權(quán)的概率均為eq\f(1,2)，所以這個規(guī)則是公允的．②在設(shè)計某種嬉戲規(guī)則時，確定要考慮這種規(guī)則對每個人都是公允的這一重要原則．(2)決策中的概率思想假如面臨的是從多個可選答案中選擇正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準則．這種推斷問題的方法稱為極大似然法，極大似然法是統(tǒng)計中重要的統(tǒng)計思想方法之一．(3)天氣預(yù)報的概率說明天氣預(yù)報的“降水概率”是隨機事務(wù)的概率，是指明白“降水”這個隨機事務(wù)發(fā)生的可能性的大?。?4)試驗與發(fā)覺概率學(xué)的學(xué)問在科學(xué)發(fā)展中起著特別重要的作用，例如，奧地利遺傳學(xué)家孟德爾用豌豆作試驗，經(jīng)過長期視察得出了顯性與隱性的比例接近3∶1，而對這一規(guī)律進行深化探討，得出了遺傳學(xué)中一條重要的統(tǒng)計規(guī)律．(5)遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律孟德爾通過收集豌豆試驗數(shù)據(jù)，找尋到了其中的統(tǒng)計規(guī)律，并用概率理論說明這種統(tǒng)計規(guī)律．利用遺傳定律，幫助理解概率統(tǒng)計中的隨機性與規(guī)律性的關(guān)系，以及頻率與概率的關(guān)系．1．不行能事務(wù)的概率為0，必定事務(wù)的概率為1.(√)2．小概率事務(wù)就是不行能發(fā)生的事務(wù)．(×)3．某事務(wù)發(fā)生的概率隨著試驗次數(shù)的改變而改變．(×)4．在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)

題型一事務(wù)的分類例1指出下列事務(wù)是必定事務(wù)、不行能事務(wù)還是隨機事務(wù)．(1)從分別標有1,2,3,4,5的5張標簽中任取一張，得到4號簽；(2)一個三角形的大邊對的角小，小邊對的角大；(3)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；(4)平行于同始終線的兩條直線平行；(5)某同學(xué)競選學(xué)生會主席勝利．解(2)為不行能事務(wù)，(4)為必定事務(wù)，(1)(3)(5)為隨機事務(wù)．反思感悟?qū)κ聞?wù)分類的兩個關(guān)鍵點(1)條件：在條件S下事務(wù)發(fā)生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法推斷事務(wù)是否發(fā)生．(2)結(jié)果發(fā)生與否：有時結(jié)果較困難，要精確理解結(jié)果包含的各種狀況．跟蹤訓(xùn)練1指出下列事務(wù)是必定事務(wù)、不行能事務(wù)還是隨機事務(wù)：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的內(nèi)角和為180°；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面對上；(5)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；(6)科學(xué)技術(shù)達到確定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn)．解(1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事務(wù)．(2)全部三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必定事務(wù)．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不行能事務(wù)．(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不確定都是正面對上，所以是隨機事務(wù)．(5)隨意抽取，可能得到1,2,3,4號標簽中的任一張，所以是隨機事務(wù)．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現(xiàn)，所以是不行能事務(wù)．題型二試驗結(jié)果分析例2下列隨機事務(wù)中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的全部結(jié)果．(1)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素組成集合A的子集．解(1)一次試驗是指“拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣一次”，試驗的可能結(jié)果有4個：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合A的一個子集”，試驗的結(jié)果共有4個：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．反思感悟(1)精確理解隨機試驗的條件、結(jié)果等有關(guān)定義，并能運用它們推斷一些事務(wù)，指出試驗結(jié)果，這是求概率的基礎(chǔ)．(2)在寫試驗結(jié)果時，一般采納列舉法，必需首先明確事務(wù)發(fā)生的條件，依據(jù)日常生活閱歷，按確定次序列舉，才能保證所列結(jié)果不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗的條件和結(jié)果．(1)從中任取1球；(2)從中任取2球．解(1)條件為：從袋中任取1球．結(jié)果為：紅、白、黃、黑4種．(2)條件為：從袋中任取2球．若記(紅，白)表示一次試驗中取出的是紅球與白球，結(jié)果為：(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)6種．題型三利用頻率估計概率例3下表中列出了10次拋擲硬幣的試驗結(jié)果．n為拋擲硬幣的次數(shù)，m為硬幣正面朝上的次數(shù)，計算每次試驗中“正面朝上”這一事務(wù)的頻率，并估算它的概率.試驗序號拋擲的次數(shù)n正面朝上的次數(shù)m“正面朝上”出現(xiàn)的頻率15002512500249350025645002535500251650024575002448500258950026210500247解由fn(A)＝eq\f(m,n)可得出這10次試驗中“正面朝上”這一事務(wù)出現(xiàn)的頻率依次為0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，這些數(shù)字在0.5左右搖擺，由概率的統(tǒng)計定義可得，“正面朝上”的概率為0.5.反思感悟(1)頻率是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機變量，當(dāng)n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值旁邊搖擺，這個穩(wěn)定值就是概率．(2)解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．

跟蹤訓(xùn)練3某公司在過去幾年內(nèi)運用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的運用壽命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：分組[500,900)[900,1100)[1100,1300)頻數(shù)48121208頻率[1300,1500)[1500,1700)[1700,1900)[1900，＋∞)22319316542(1)求各組的頻率；(2)依據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管運用壽命不足1500小時的概率．解(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6.即燈管運用壽命不足1500小時的概率約為0.6.概率的應(yīng)用典例(1)某轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．嬉戲規(guī)則如下：兩個人參與，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．請回答下列問題：①假如你是乙，為了盡可能獲勝，你會選哪種猜數(shù)方案？②為了保證嬉戲的公允性，你認為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？(2)為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以運用以下的方法：先從水庫中捕出確定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚作上記號，不影響其存活，然后放回水庫，經(jīng)過適當(dāng)時間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出確定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中有記號的魚，設(shè)有40尾，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫內(nèi)魚的尾數(shù)．解(1)①為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B，猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”，這是因為“不是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B.②為了保證嬉戲的公允性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A，這是因為方案A猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該嬉戲的公允性．(2)設(shè)水庫中魚的尾數(shù)為n，假定每尾魚被捕的可能性是相等的，先從水庫中任捕一尾，設(shè)事務(wù)A＝{帶有記號的魚}，易知P(A)＝eq\f(2000,n)，①其次次從水庫中捕出500尾，視察其中帶有記號的魚有40尾，即事務(wù)A發(fā)生的頻數(shù)m＝40，由概率的統(tǒng)計定義可知P(A)＝eq\f(40,500)，②由①②兩式，得eq\f(2000,n)＝eq\f(40,500)，解得n＝25000.所以估計水庫中約有魚25000尾．[素養(yǎng)評析](1)由于概率體現(xiàn)了隨機事務(wù)發(fā)生的可能性，所以在現(xiàn)實生活中我們可以依據(jù)隨機事務(wù)概率的大小去預(yù)料事務(wù)能否發(fā)生．從而對某些事情作出決策．當(dāng)某隨機事務(wù)的概率未知時，可用樣本出現(xiàn)的頻率去近似估計總體中該事務(wù)發(fā)生的概率．(2)應(yīng)用概率解決問題，其關(guān)鍵是收集和整理數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，依據(jù)數(shù)據(jù)獲得和說明結(jié)果，這些都是核心素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的主要表現(xiàn)．1．下列事務(wù)：①長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；②經(jīng)過有信號燈的路口，遇上紅燈；③從10個玻璃杯(其中8個正品，2個次品)中，任取3個，3個都是次品；④下周六是晴天．其中，是隨機事務(wù)的是()A．①②B．②③C．③④D．②④答案D解析①為必定事務(wù)；對于③，次品總數(shù)為2，故取到的3個不行能都是次品，所以③是不行能事務(wù)；②④為隨機事務(wù)．2．在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中隨意抽出3件，則下列事務(wù)為必定事務(wù)的是()A．3件都是正品 B．至少有一件是次品C．3件都是次品 D．至少有一件是正品答案D解析12件產(chǎn)品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事務(wù)“抽取的3件產(chǎn)品中，至少有一件是正品”為必定事務(wù)，故選D.3．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的狀況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事務(wù)，則A的()A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8答案B解析做n次隨機試驗，事務(wù)A發(fā)生了m次，則事務(wù)A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n).假如多次進行試驗，事務(wù)A發(fā)生的頻率總在某個常數(shù)旁邊搖擺，那么這個常數(shù)才是事務(wù)A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事務(wù)A的頻率．4．在10個學(xué)生中，男生有x人．現(xiàn)從10個學(xué)生中任選6人去參與某項活動，有下列事務(wù)：①至少有一個女生；②5個男生，1個女生；③3個男生，3個女生．若要使①為必定事務(wù)，②為不行能事務(wù)，③為隨機事務(wù)，則x為________．答案3或4解析由題意知，10個學(xué)生中，男生人數(shù)少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.5．某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結(jié)果如下表.每批粒數(shù)251070130700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709發(fā)芽的頻率(1)請完成上述表格(保留3位小數(shù))；(2)該油菜籽發(fā)芽的概率約為多少？解(1)填入題表中的數(shù)據(jù)依次為1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.填表如下：每批粒數(shù)251070130700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709發(fā)芽的頻率1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903(2)由(1)估計該油菜籽發(fā)芽的概率約為0.900.1．隨機事務(wù)在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗的狀況下，隨機事務(wù)的發(fā)生呈現(xiàn)確定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算事務(wù)發(fā)生的頻率去估算概率．2．概率是描述隨機事務(wù)發(fā)生的可能性大小的一個數(shù)量，即使是也許率事務(wù)，也不能確定事務(wù)確定會發(fā)生，只是認為事務(wù)發(fā)生的可能性較大．3．利用概率思想正確處理和說明實際問題，是一種科學(xué)的理性思維，在實踐中要不斷鞏固和應(yīng)用，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).一、選擇題1．今日北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列說法不正確的是()A．北京今日確定降雨，而上海確定不降雨B．上海今日可能降雨，而北京可能不降雨C．北京和上海今日都可能不降雨D．北京今日降雨的可能性比上海大答案A解析北京降雨的概率大于上海降雨的概率，說明北京降雨的可能性比上海大，兩個城市可能都降雨，但是不能確定北京今日確定降雨，上海確定不降雨．2．從1,2,3，…，10這10個數(shù)中，任取3個數(shù)，那么“這3個數(shù)的和大于6”這一事務(wù)是()A．必定事務(wù) B．不行能事務(wù)C．隨機事務(wù) D．以上選項均不正確答案C解析從所給的10個數(shù)中，任取3個數(shù)，其和最小為6.故事務(wù)“這3個數(shù)的和大于6”為隨機事務(wù)，故選C.3．下列現(xiàn)象：①當(dāng)x是實數(shù)時，x－|x|＝2；②某班一次數(shù)學(xué)測試，及格率低于75%；③從分別標有0,1,2,3，…，9這十個數(shù)字的紙團中任取一個，取出的紙團是偶數(shù)；④體育彩票某期的特等獎號碼．其中是隨機現(xiàn)象的是()A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④答案C解析由隨機事務(wù)的定義知②③④正確．4．某地氣象局預(yù)報說：明天本地降水的概率為80%，則下列說明正確的是()A．明天本地有80%的區(qū)域降水，20%的區(qū)域不降水B．明天本地有80%的時間降水，20%的時間不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上說法均不正確答案C解析選項A，B明顯不正確，因為明天本地降水的概率為80%而不是說有80%的區(qū)域降水，也不是說有80%的時間降水，而是指降水的可能性是80%，故選C.5．下列說法中正確的有()①做9次拋擲一枚勻稱硬幣的試驗，結(jié)果有5次出現(xiàn)正面，所以出現(xiàn)正面的概率是eq\f(5,9)；②盒子中裝有大小勻稱的3個紅球，3個黑球，2個白球，每種顏色的球被摸到的可能性相同；③從－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取得的數(shù)小于0和不小于0的可能性相同；④分別從2名男生，3名女生中各選1名作為代表，那么每名學(xué)生被選中的可能性相同．A．0個 B．1個C．2個 D．3個答案A解析①中，應(yīng)為出現(xiàn)正面的頻率是eq\f(5,9)；②中，摸到白球的概率要小于摸到紅球或黑球的概率；③中，取得的數(shù)小于0的概率大于不小于0的概率；④中，男生被抽到的概率為eq\f(1,2)，而女生被抽到的概率為eq\f(1,3)，故①②③④均不正確．6．每道選擇題有4個選項，其中只有1個選項是正確的，某次考試共有12道選擇題，某人說：“每個選項正確的概率是eq\f(1,4)，我每題都隨機地選擇其中一個選項，則確定有3道選擇題結(jié)果正確．”這句話()A．正確 B．錯誤C．不確定正確 D．以上都不對答案B解析雖然答對一道題的概率為eq\f(1,4)，但實際問題中，并不意味著確定答對3道，可能全對，可能對3道，也可能全不對．7．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，前4位病人都未治愈，則第5位病人的治愈率為()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D．0答案B解析治愈率為eq\f(1,5)，表明每位病人被治愈的概率均為eq\f(1,5)，并不是5人中必有1人被治愈．故選B.8．下列結(jié)論正確的是()A．設(shè)事務(wù)A的概率為P(A)，則必有0＜P(A)＜1B．事務(wù)A的概率P(A)＝0.999，則事務(wù)A是必定事務(wù)C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效．現(xiàn)在胃潰瘍的病人服用此藥，則估計有明顯療效的可能性為76%D．某獎券的中獎率為50%，則某人購買此獎券10張，確定有5張中獎答案C解析因為0≤P(A)≤1，所以A項不正確．若事務(wù)A是必定事務(wù)，則P(A)＝1，故B項不正確；獎券的中獎率為50%，若某人購買此獎券10張，則可能會有5張中獎，所以D項不正確．故選C.9．同時向上拋100個銅板，結(jié)果落地時100個銅板朝上的面都相同，你認為這100個銅板更可能是下面哪種狀況()A．這100個銅板兩面是相同的B．這100個銅板兩面是不相同的C．這100個銅板中有50個兩面是相同的，另外50個兩面是不相同的D．這100個銅板中有20個兩面是相同的，另外80個兩面是不相同的答案A解析落地時100個銅板朝上的面都相同，依據(jù)極大似然法可知，這100個銅板兩面是相同的可能性較大．二、填空題10．將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連擲兩次，則至少出現(xiàn)一次正面對上與兩次均出現(xiàn)反面對上的概率比為________．答案3∶1解析將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連擲兩次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出現(xiàn)一次正面對上有3種情形，兩次均出現(xiàn)反面對上有1種情形，故答案為3∶1.11．一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知B層中每個個體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，則總體中的個體數(shù)為________．答案120解析分層抽樣也是等比例抽樣，所以總體個數(shù)為10÷eq\f(1,12)＝120.12．給出下列四個命題：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq\f(51,100)；③隨機事務(wù)發(fā)生的頻率就是這個隨機事務(wù)發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點的頻率是eq\f(9,50).其中正確的命題有__________．(填序號)答案④解析①錯，次品率是大量產(chǎn)品的估計值，并不是針對200件產(chǎn)品來說的．②③混淆了頻率與概率的區(qū)分．④正確．三、解答題13．街頭有人擺一種嬉戲，方法是投擲兩枚骰子，假如兩枚骰子投一次點數(shù)之和是2,3,4,10,11,12這六種狀況，