2024年天津市中考數(shù)學(xué)模擬匯編-解直角三角形

試卷第=page11頁，共=sectionpages1010頁試卷第=page1010頁，共=sectionpages1010頁2024年天津中考模擬匯編——解直角三角形知識(shí)清單：直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個(gè)銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中,30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半；（4）在直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°；（5）在直角三角形中,兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即a2（6）在直角三角形中,斜邊的一半等于外接圓半徑；斜邊的中心是外心；特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形的理論依據(jù)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a,b，c.三邊之間的關(guān)系：a2銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°邊角之間的關(guān)系：sinA=仰角和俯角在視線與水平線所成的角中仰角：視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成的角叫仰角。俯角：視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線所成的角叫俯角。1．（2024·天津?yàn)I海新·二模）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測(cè)量建筑物的高度，先在處測(cè)得該建筑物頂端的仰角為，從處前進(jìn)到達(dá)處，在處測(cè)得該建筑物頂端的仰角為，點(diǎn)，，在同一條直線上，且．求建筑物的高度（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）2．（2019·天津紅橋·二模）如圖，小明在樓前的空地上將無人機(jī)升至空中處，在處測(cè)得樓的頂部處的仰角為，測(cè)得樓的底部處的俯角為.已知處距地面的高度為，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算樓的高度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù)：，，).3．（2024·天津西青·一模）小剛和小強(qiáng)要測(cè)量建筑物的高度，小剛站在建筑物對(duì)面的教學(xué)樓前地面上一點(diǎn)處，測(cè)得建筑物頂端的仰角為，小強(qiáng)站在建筑物對(duì)面的教學(xué)樓二樓上的點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端的仰角為，此時(shí)兩人的水平距離為，已知點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條水平直線上，教學(xué)樓二樓上的點(diǎn)所在的高度為，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算建筑物的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）4．（2018·天津·中考真題）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測(cè)得乙的頂部處的俯角為，測(cè)得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，.5．（2024·天津·二模）學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊標(biāo)語牌，標(biāo)語牌的高，數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量標(biāo)語牌的底部B點(diǎn)到地面的距離．興趣小組在C處測(cè)得標(biāo)語牌底部B點(diǎn)的仰角為，在D處測(cè)得標(biāo)語牌頂部A點(diǎn)的仰角為，．設(shè)標(biāo)語牌底部B點(diǎn)到地面的距離為h（單位：m）．

(1)用含h的式子表示線段的長(zhǎng)；(2)求B點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)（取0.4，結(jié)果取整數(shù)）．6．（2024·天津?yàn)I海新·一模）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量矩形廣告牌的高度．如圖，在地面處測(cè)得廣告牌頂端頂點(diǎn)的仰角為，走向廣告牌到達(dá)處，在處測(cè)得廣告牌低端頂點(diǎn)的仰角為，已知，立柱垂直于，且點(diǎn)，，在同一條水平直線上．（矩形廣告牌與立柱垂直）過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)（單位：）．

(1)用含有和的式子表示線段的長(zhǎng)；(2)求廣告牌低端頂點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)．（取，結(jié)果取整數(shù)）7．（2024·天津和平·一模）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量建筑物的高度．如圖，建筑物前有個(gè)斜坡，已知，，在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在斜坡的底部測(cè)得建筑物頂部的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)；(2)設(shè)建筑物的高度為（單位：）：①用含有的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）：②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．8．（2024·天津·一模）為豐富群眾文化生活，某公園修建了露天舞臺(tái)，在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量背景屏幕最高點(diǎn)離地面高度．如圖，已知舞臺(tái)臺(tái)階m，，某學(xué)習(xí)小組在舞臺(tái)邊緣處測(cè)屏幕最高點(diǎn)的仰角，在距離點(diǎn)2m的處測(cè)得屏幕最高點(diǎn)的仰角，已知點(diǎn)，，，，，，在同一平面內(nèi)，且，，三點(diǎn)在同一直線上，，，三點(diǎn)在同一直線上．參考數(shù)據(jù)：取0.4，取1.7．(1)求的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)求最高點(diǎn)離地面的高度的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）．9．（2024·天津河北·二模）某校綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量郊外一小山的高度．如圖，兩山腳距離，在山腳測(cè)得山腰處的仰角為，山腳和山腰相距，在山腰處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫椋谏侥_測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)．(1)求山腰到的距離的長(zhǎng)；(2)設(shè)山高為(單位：)．①用含有的式子表示線段的長(zhǎng)結(jié)果保留三角函數(shù)形式)；②求山高(取，取，取，結(jié)果取整數(shù))．10．（2024·天津紅橋·二模）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量古塔的高度．如圖，在梯形平臺(tái)上有一座高為的古塔，已知，點(diǎn)A在水平線上．某學(xué)習(xí)小組在梯形平臺(tái)C處測(cè)得古塔頂部B的仰角為在梯形平臺(tái)D處測(cè)得古塔頂部B的仰角為．(1)求梯形平臺(tái)的高的長(zhǎng)；(2)設(shè)古塔的高為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）：______________．②求古塔的高度（，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．11．（2024·天津南開·一模）如圖，旗桿上有一面寬為的旗子．在同一水平線上，小明在距旗桿m的點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，隨后小明沿坡角（）為的斜坡走了m到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為．(1)求斜坡的高度的長(zhǎng)；(2)求旗面寬的長(zhǎng)度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）．12．（2024·天津河?xùn)|·一模）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要測(cè)量一個(gè)信號(hào)塔的高度，如圖，信號(hào)塔前有一段高為的臺(tái)階，已知的長(zhǎng)為5米，高為3米，點(diǎn)在同一條水平直線上．在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為．(1)求的長(zhǎng)；(2)設(shè)塔的高度為（單位：）．①用含有的式子表示線段的長(zhǎng)；②求塔的高度（，結(jié)果保留整數(shù)）．13．（2024·天津河北·一模）某校綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量一建筑物的高度．如圖，在建筑物與教學(xué)樓之間的操場(chǎng)上取一觀測(cè)點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)C，建筑物底部A在同一條水平直線上，已知觀測(cè)點(diǎn)C至教學(xué)樓出口E的距離．某組同學(xué)在觀測(cè)點(diǎn)C處分別測(cè)得建筑物樓頂B的仰角為，教學(xué)樓頂D的仰角為，在教學(xué)樓頂D處測(cè)得建筑物底部A的俯角為．(1)求教學(xué)樓的高；(2)設(shè)建筑物的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；②求建筑物的高度（取，取，取，結(jié)果取整數(shù)）．14．（2024·天津和平·二模）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量建筑物的高度．如圖，建筑物前有個(gè)斜坡，已知在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在處測(cè)得廣告牌底部的仰角為，沿坡面向上走到處測(cè)得廣告牌頂部的仰角為，廣告牌．(1)求點(diǎn)到地面距離的長(zhǎng)；(2)設(shè)建筑物的高度為（單位：）；①用含有的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；②求建筑物的高度（取取1.7，結(jié)果取整數(shù)）15．（2024·天津西青·二模）如圖，某無人機(jī)愛好者在可放飛區(qū)域放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛到點(diǎn)A處時(shí)，無人機(jī)測(cè)得操控者所在位置點(diǎn)B的俯角為，測(cè)得某建筑物的頂端D的俯角為，操控者在點(diǎn)B處測(cè)得建筑物的頂端D的仰角為．已知點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面，無人機(jī)距地面的高度是32m．(1)求操控者所在位置與無人機(jī)所在位置的水平距離的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）(2)設(shè)建筑物的高為h．①用含有h的式子表示；②求建筑物的高度：（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)取1.6，取0.9．16．（20-21九年級(jí)上·湖北隨州·期末）桃園大橋是隨州城區(qū)第二座景觀橋，遠(yuǎn)遠(yuǎn)望去，橋身的紅色立柱像四根大火炬．如圖，小剛利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋立柱在水面以上的高度.在橋面觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得某根立柱頂端的仰角為測(cè)得這根立柱與水面交匯點(diǎn)的俯角為向立柱方向走米到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)處，測(cè)得同一根立柱頂端的仰角為.已知點(diǎn)在同一平面內(nèi)，橋面與水面平行，且垂直于橋面．（1）求大橋立柱在橋面以上的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求大橋立柱在水面以上的高度（結(jié)果精確到米）．參考數(shù)據(jù)：，17．（2023·四川成都·中考真題）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長(zhǎng)為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

18．（2024·天津南開·二模）校慶期間，小南同學(xué)從家到學(xué)校瞻仰張伯苓校長(zhǎng)的雕塑，聆聽學(xué)校的辦校故事．他從家出發(fā)后，導(dǎo)航給出兩條線路，如圖：①；②．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)A的北偏西方向米處，點(diǎn)D在點(diǎn)E的正北方向，點(diǎn)M在點(diǎn)D的正東方向90米處，點(diǎn)B在點(diǎn)E的正東方向，且在點(diǎn)A的北偏東方向；點(diǎn)C在點(diǎn)M的正東方向米處，且在點(diǎn)B的北偏西方向．

(1)求的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)由于時(shí)間原因，小南決定選擇一條較短路線到達(dá)張伯苓校長(zhǎng)的雕塑前，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇哪條路線距離更短（參考數(shù)據(jù)：，，取0.6，取0.8，取0.75）．19．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖，，是兩條南北向的筆直的公路，是公路上一座南北走向的大橋，一輛汽車在公路上由南向北行駛．已知在A處測(cè)得橋頭C在北偏東方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)B處，測(cè)得橋頭C在北偏東方向上，橋頭D在北偏東方向上．

(1)求線段的長(zhǎng)和的度數(shù)；(2)設(shè)兩條公路之間的距離的長(zhǎng)度為x（單位：m）．①用含有x及的式子表示線段的長(zhǎng)；②若，求大橋的長(zhǎng)度（，，結(jié)果保留整數(shù)）．20．（2024·天津和平·三模）如圖，小島A，B，C在同一條南北方向的直線上．一艘輪船位于燈塔M的正西方向，距離燈塔M30海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔M的西北方向上的B處，輪船沿北偏東方向航行到達(dá)小島D，這時(shí)測(cè)得燈塔M位于D的南偏東方向上，C在D處的正西方向．(1)求小島A，B之間的距離的長(zhǎng)；(2)設(shè)小島C，D之間的距離為h（單位：海里）；①用含有h的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；②求小島C，D之間的距離．（，，，取1.73，結(jié)果精確到0.1）21．（2024·天津武清·三模）如圖，鄉(xiāng)鎮(zhèn)在鄉(xiāng)鎮(zhèn)的正北方向，橋最北端橋墩在鄉(xiāng)鎮(zhèn)的西南方向，最南端橋墩在鄉(xiāng)鎮(zhèn)的北偏西方向處．原來從鄉(xiāng)鎮(zhèn)到鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要經(jīng)過橋，沿折線到達(dá)，現(xiàn)在新建了橋，可直接沿直線從鄉(xiāng)鎮(zhèn)到達(dá)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，已知橋和平行，．

(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求現(xiàn)在從鄉(xiāng)鎮(zhèn)到鄉(xiāng)鎮(zhèn)比原來少走的路程．參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)．答案第=page99頁，共=sectionpages2323頁答案第=page1010頁，共=sectionpages2323頁參考答案：1．約27.5米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．設(shè)米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：題意得，，設(shè)米，，，在中，，，，，在中，，，，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，（米，建筑物的高度約為27.5米．2．樓AB的高度為30m.【分析】如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則BE=CD=12m，利用∠BCE的正切值可求出CE的長(zhǎng)，利用∠ACE的正切值可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng).【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB，∴BE=CD=12，在Rt△BCE中，tan∠BCE=≈0.60，∴CE==20(m)在Rt△ACE中，tan∠ACE=≈0.90，∴AE=20×0.90=18(m)，∴AB=AE+BE=18+12=30(m)答：樓AB的高度為30m.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.3．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，首先得到，，設(shè)，則，然后利用三角函數(shù)列方程求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．根據(jù)題意，有，，，，，四邊形是矩形．，．設(shè)，則．在中，，，．在中，，，．．，．解得．答：建筑物的高度約為．4．甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.【詳解】分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及兩個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式，進(jìn)而可求出答案．詳解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為.則.由題意可知，，，，，.可得四邊形為矩形.∴，.在中，，∴.在中，，∴.∴.∴.答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.點(diǎn)睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，難度一般．5．(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）先利用直角三角形兩銳角互余求得，由等腰三角形的判定得，即可求解；（2）在中，由，得，解之即可．【詳解】（1）解：∵，，∴∴；（2）解：∵，，在中，∵∴∴，答：B點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)．6．(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：（1）直接解直角三角形即可得到答案；（2）解法一：先解得到，再由得到，代值計(jì)算即可；解法二：先解得到，則，進(jìn)而得到，代值計(jì)算即可．【詳解】（1）解：在中，，，，．（2）解：解法一：在中，，，．，．即．解得．答：廣告牌低端頂點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)約為．解法二：：在中，，，．在中，，，，．答：廣告牌低端頂點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)約為．7．(1)(2)①；②建筑物的高度約為【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，涉及含30度的直角三角形性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)測(cè)高方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到，利用含的直角三角形性質(zhì)計(jì)算即可得到答案；（2）①根據(jù)題意，在和解直角三角形，數(shù)形結(jié)合，由代值求解即可得到答案；②過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示，利用矩形判定與性質(zhì)，在中，解直角三角形求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意知，在，，，∴，即的長(zhǎng)為；（2）解：①在中，，∴，在中，由，，，得，∴，即的長(zhǎng)為；②過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形，∴，，可得，在中，，，∴，即，∴，答：建筑物的高度約為．8．(1)(2)最高點(diǎn)C離地面的高度的長(zhǎng)約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；（1）根據(jù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)求出，再結(jié)合列方程求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)計(jì)算即可；【詳解】（1）在中∵，，∴，解得；（2）在中，，

在中，，∵∴則，由題意知四邊形是矩形，則．∴．答：最高點(diǎn)C離地面的高度的長(zhǎng)約為．9．(1)(2)①；②【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題；（1）在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）①在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；②過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，從而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用①的結(jié)論，再根據(jù)，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：在中，，，山腰到的距離的長(zhǎng)為；（2）①在中，，即的長(zhǎng)為②如圖，,過點(diǎn)作，垂足為根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形，∴在中，∴即∴答:山高約為.10．(1)(2)①；②古塔的高度為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰俯角的問題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形30度角所對(duì)的邊為斜邊的一半進(jìn)行求解即可；（2）①利用正切值直接進(jìn)行求解即可；②先利用勾股定理表示出，再利用正切值求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，，，；（2）①，，，；②在中，，，，整理得：，解得：．11．(1)斜坡的高度EF的長(zhǎng)為m；(2)旗面寬AB的長(zhǎng)約為m．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：仰角俯角問題、坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用含的直角三角形的性質(zhì)可得米；（2）過點(diǎn)作，垂足為，得四邊形為矩形，從而得，，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）在中，，，由勾股定理．斜坡的高度的長(zhǎng)為；（2）過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，即四邊形為矩形，則，，，，在中，，在中，，，（m），旗面寬的長(zhǎng)約為m．12．(1)(2)①；②31米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含45度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．（1）直接利用勾股定理計(jì)算即可；（2）①在中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，進(jìn)而可求解；②過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，在中，，，，即的長(zhǎng)為；（2）①由題意得，在中，，，，，即的長(zhǎng)為；②過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意，，所以四邊形是矩形．，，，在中，，，，解得．答：信號(hào)塔的高約為31米．13．(1)教學(xué)樓的高為(2)①的長(zhǎng)為；②建筑物的高度約為【分析】（1）由題意知，，則，然后求解作答即可；（2）①由題意知，根據(jù)，求解作答即可；②如圖，過點(diǎn)作，垂足為．則四邊形是矩形，，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴．∴，∴教學(xué)樓的高為．（2）①解：∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．②解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為．則四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，∴建筑物的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，正切，矩形的判定與性質(zhì)．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，正切，矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(1)的長(zhǎng)為(2)①的長(zhǎng)為；②建筑物的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意得基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．（1）在中，利用30度角的性質(zhì)求解即可；（2）①在中，求出，在中，求出，進(jìn)而可表示線段的長(zhǎng)；②過點(diǎn)作，垂足為，可得，從而，在中，構(gòu)建方程即可求解．【詳解】（1）由題意得在中，，．即的長(zhǎng)為．（2）①在中，，在中，由，得．．即HE的長(zhǎng)為②如圖，過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意，，四邊形是矩形．，∴．在中，，．即，（m）．答：建筑物的高度約為．15．(1)操控者所在位置與無人機(jī)所在位置的水平距離的長(zhǎng)約為20m(2)①；②建筑物的高度約為25m【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)和判定，對(duì)于（1），根據(jù)題意可知，，，再根據(jù)，可得，代入計(jì)算即可．對(duì)于（2）①，根據(jù)題意得，，結(jié)合，可得答案；②作，先說明四邊形DCEF是矩形，由，得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出，然后由（1）結(jié)合，并根據(jù)（2），結(jié)合得出方程，求出答案即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，有，，．在中，，（m）．答：操控者所在位置與無人機(jī)所在位置的水平距離BE的長(zhǎng)約為20m；（2）①根據(jù)題意，有，．在中，，②如圖，過點(diǎn)D作，垂足為F，則．．四邊形是矩形．，．．根據(jù)題意，有，．．由（1）知，，由（2）①知，．．答：建筑物的高度約為25m．16．（1）米；（2）米．【分析】（1）由題意可得出，從而可得，在中求解即可得高度．（2）在中求解可得BC，從而可得AC，在中，可求CN，進(jìn)而可得MN．【詳解】解：，在中，（米）答：大橋立柱在橋面以上的高度為米．在中，，在中，（米）答：大橋立柱在水面以上的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟記銳角三角函數(shù)的定義．17．米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意，，（米）在中，（米），（米），則（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．(1)的長(zhǎng)度為米；(2)選擇路線②距離短，見解析【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）過點(diǎn)A作，于點(diǎn)P，分別在，中，利用三角函數(shù)求解，，即可得到答案；（2）過點(diǎn)B作，垂足為Q，證明四邊形為矩形，求解；在中，在中進(jìn)一步求解即可得到答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作，于點(diǎn)P，

由題意得