2024-2025學(xué)年廣東省珠海市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省珠海市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則韋恩圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.2.下列命題中，存在量詞命題的個(gè)數(shù)是（）①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)；②正方形的四條邊相等；③存整數(shù)n，使n能被11整除.A.1 B.2 C.3 D.03.已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.54.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A2 B.3 C.4 D.66.已知，則的最小值為（）A3 B.2C.4 D.17.已知集合，，則（）A. B. C. D.8.已知，則的最小值是A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列各組中表示不同集合的是（）A.，B，C.，D.，10.下列命題中，正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”必要不充分條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的必要不充分條件11.設(shè)，，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.高一（1）班共有學(xué)生50人，班級(jí)設(shè)置了數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)理科興趣小組，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有30人，參加物理興趣小組的有26人，同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的有15人，則兩個(gè)興趣小組都沒(méi)有參加的學(xué)生有____人．13.已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．14.已知，則的最小值為_(kāi)___________四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.（1）求A∪B，；（2）若A∩C≠?，求a的取值范圍.16.設(shè)全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若命題“，則”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決下列生活中的兩個(gè)問(wèn)題：（1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式（2）甲每周都要去超市購(gòu)買某種商品，已知第一周采購(gòu)時(shí)價(jià)格是p1，第二周采購(gòu)時(shí)價(jià)格是p2.現(xiàn)有兩種采購(gòu)方案，第一種方案是每次去采購(gòu)相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購(gòu)用的錢數(shù)相同.哪種采購(gòu)方案更經(jīng)濟(jì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.（1）已知，求證.（2）已知，求代數(shù)式和的取值范圍．19.《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問(wèn)題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入：（4）整體求和等．例如，，求證：．證明：原式．波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng)”類似問(wèn)題，我們有更多的式子滿足以上特征．閱讀材料二：基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問(wèn)題的有力工具．例如：在的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？解：，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為2．請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料解答下列問(wèn)題：（1）已知，求的值．（2）若，解關(guān)于的方程．（3）若正數(shù)，滿足，求的最小值．2024-2025學(xué)年廣東省珠海市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則韋恩圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】易得陰影部分表示的集合為，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可得解.【詳解】由題意得，陰影部分表示的集合為．故選：C.2.下列命題中，存在量詞命題的個(gè)數(shù)是（）①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)；②正方形的四條邊相等；③存在整數(shù)n，使n能被11整除.A.1 B.2 C.3 D.0【正確答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的概念，即可得答案.【詳解】①可改寫(xiě)為，任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，故為全稱量詞命題；②可改寫(xiě)為：任意正方形的四條邊相等，故為全稱量詞命題；③是存在量詞命題.故選：A3.已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.4.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】利用充分性和必要性知識(shí)解決即可．詳解】若，則不能判斷正負(fù)，則推不出.若，即，即也推不出．故”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D.5.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【正確答案】C【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.6.已知，則的最小值為（）A.3 B.2C.4 D.1【正確答案】A【分析】因?yàn)?，所以，將分離常數(shù)既可以用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)?，所以，由均值不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為3，故選：A本題主要考查了基本不等式求和的最小值，屬于基礎(chǔ)題.7已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】理解含義后運(yùn)算【詳解】由題意得，是所有奇數(shù)的集合，是所有被4除余的整數(shù)集故，故選：C8.已知，則的最小值是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開(kāi)后利用基本不等式求出代數(shù)式的最小值，然后在不等式兩邊同時(shí)除以可得出答案．【詳解】因?yàn)?，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選B．本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應(yīng)用．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列各組中表示不同集合的是（）A.，B.，C.，D.，【正確答案】ABD【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】選項(xiàng)A中，是數(shù)集，是點(diǎn)集，二者不是同一集合,故；選項(xiàng)B中，與表示不同的點(diǎn)，故；選項(xiàng)C中，，，故；選項(xiàng)D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點(diǎn)組成的集合，故.故選：ABD10.下列命題中，正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的必要不充分條件【正確答案】AB【分析】A項(xiàng)：利用不等式知識(shí)即可判斷；B，C項(xiàng)：根據(jù)充分條件與必要條件知識(shí)即可判斷；D項(xiàng)：根據(jù)交并集知識(shí)即可判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：由“”可以推出，但反之不可以，故A項(xiàng)正確.對(duì)于B項(xiàng)：由“”推不出“”，但反之可以，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D項(xiàng)：由題意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AB.11.設(shè)，，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】利用基本不等式可判斷A選項(xiàng)；求出的取值范圍，可得出的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的最值可判斷C選項(xiàng)；求得，將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，解得，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D對(duì).故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.高一（1）班共有學(xué)生50人，班級(jí)設(shè)置了數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)理科興趣小組，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有30人，參加物理興趣小組的有26人，同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的有15人，則兩個(gè)興趣小組都沒(méi)有參加的學(xué)生有____人．【正確答案】9【分析】根據(jù)集合交集定義，結(jié)合文氏圖進(jìn)行求解即可.【詳解】記高一（1）班的學(xué)生組成全集U，參加數(shù)學(xué)和物理興趣小組的學(xué)生分別組成集合A和B，用文氏圖表示它們之間的關(guān)系如圖所示，可得數(shù)學(xué)、物理兩個(gè)興趣小組都沒(méi)有參加的學(xué)生有9人．故913.已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【正確答案】【分析】利用集合法，將是的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為兩集合間真包含關(guān)系，列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】因?yàn)椋?，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，且不是空集.所以且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為:.解決根據(jù)充分條件和必要條件條件求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題：一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的包含、相等關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.14.已知，則的最小值為_(kāi)___________【正確答案】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.（1）求A∪B，；（2）若A∩C≠?，求a的取值范圍.【正確答案】（1）A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}（2）{a|a<8}【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)的定義，即可求解；（2）利用運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合數(shù)軸，即可求解.【小問(wèn)1詳解】A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.∵＝{x|x<2或x>8}，∴∩B＝{x|1<x<2}.【小問(wèn)2詳解】∵A∩C，作圖易知，只要a在8的左邊即可，∴a<8.∴a的取值范圍為{a|a<8}.16.設(shè)全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若命題“，則”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由充分條件的定義可得，進(jìn)而建立不等式組，解之即可求解；（2）由題意可得，易知當(dāng)時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)集合的包含關(guān)系建立不等式組，解之即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵是充分條件，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】∵命題“，則”是真命題，∴.①當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，符合題意；②當(dāng)時(shí)，∵，，且B是A的子集，∴，∴，a無(wú)解；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決下列生活中的兩個(gè)問(wèn)題：（1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式（2）甲每周都要去超市購(gòu)買某種商品，已知第一周采購(gòu)時(shí)價(jià)格是p1，第二周采購(gòu)時(shí)價(jià)格是p2.現(xiàn)有兩種采購(gòu)方案，第一種方案是每次去采購(gòu)相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購(gòu)用的錢數(shù)相同.哪種采購(gòu)方案更經(jīng)濟(jì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式，然后用作差法證明即可；（2）根據(jù)題意表示出來(lái)每種方案的平均價(jià)格，然后用作差法比較大小，即可判斷哪種方案經(jīng)濟(jì).【小問(wèn)1詳解】該不等式為證明：因?yàn)?，所以，于?【小問(wèn)2詳解】若按第一種方案采購(gòu)，每次購(gòu)買量為，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，若按第二種方案采購(gòu)，每次用的錢數(shù)是，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，又，所以當(dāng)時(shí)，兩種方案一樣；當(dāng)時(shí)，第二種方案比較經(jīng)濟(jì).18.（1）已知，求證.（2）已知，求代數(shù)式和的取值范圍．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），【分析】(1)根據(jù)題意，將原式變形化為完全平方式的形式，即可得證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合不等式的性質(zhì)及運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立）（2）∴．由，得①．由，得②