專題08 奇偶性、對稱性與周期性-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）（含答案）

專題08奇偶性、對稱性與周期性-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）考試要求：1.理解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1fx，則T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，則T＝2a(2.對稱性的四個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a+b2對稱；特別地，當(dāng)a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.特別地，當(dāng)b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱.1．已知f(x)A．?2 B．?1 C．1 D．22．若f(x)=(x+a)ln2x?12x+1A．?1 B．0 C．12 3．已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(xA．?21 B．?22 C．?23 D．?244．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且fA．?3 B．?2 C．0 D．15．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則（）A．f(?12)=0 B．f(?1)=0 C．f(2)=06．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6A．?94 B．?32 C．7．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，則（）A．f(0)=0 B．f(1)=0C．f(x)是偶函數(shù) D．x=0為f(x)的極小值點8．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為RA．f(0)=0 B．g(?129．若f(x)=(x?1)210．已知函數(shù)f(x)=x3(a?2一、【考點1】函數(shù)的奇偶性11．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且yf(x)?xf(y)=xy(x?y)，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．f(1)=1 B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)有最小值 D．f(x)在[0,12．已知函數(shù)f(x)=(12)xA．?(12)x B．(113．已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若f(2a)+f(a?2)>0，則實數(shù)a的取值可以是（）A．?1 B．0 C．1 D．214．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+y)?f(x?y)=f(x+32)f(y+A．f(32)=0 C．f(0)=?2 D．f(x)的一個周期為315．已知b>0，函數(shù)f(x)=a+4bx16．已知函數(shù)f(x)的定義域D=(?∞,0)∪(0,+∞)，對任意x1,x2∈D，恒有f(x1反思提升：1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.二、【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用17．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)D(A．D(D(x))C．D(x)是奇函數(shù) 18．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?3)A．f(x)的值域為[0B．f(x)圖象的對稱軸為直線x=4kC．當(dāng)x∈(?3，?2)D．方程3f(19．已知函數(shù)fx定義域為R且不恒為零，若函數(shù)y=f2x?1的圖象關(guān)于直線x=1對稱，y=f2?xA．fx+6=fxC．x=7是fx圖象的一條對稱軸 D．56,0是f20．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f'(x)和g'(x).若f(x+4)=g(?x)+2，A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱B．g(2023)+g(2025)=?2C．k=1D．k=121．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+2)是奇函數(shù)，f(x?1)22．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，f(1)=1，則f(2024)=．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題.三、【考點3】函數(shù)的對稱性23．下列關(guān)于函數(shù)f(A．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱 B．fC．f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱 24．已知函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)=?f(x+2)，且函數(shù)f(x+1)的圖象關(guān)于(?1,0)對稱，當(dāng)x∈[?1,A．函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(k,B．函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2k(k∈Z)對稱C．函數(shù)y=|f(x)|的最小正周期為2D．當(dāng)x∈[2,3]25．已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，對于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，當(dāng)x∈[0，2)時，f(x)=2A．f(2)=0B．點(4，0)是函數(shù)y=f(x)的圖象的一個對稱中心C．函數(shù)y=f(x)在[?6，?2]上單調(diào)遞增D．函數(shù)y=f(x)在[?6，6]上有3個零點26．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R，記g(x)=f'(x)A．gB．函數(shù)y=f(x+1)x的圖象關(guān)于點C．g(x+2)=g(x)D．k=127．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意實數(shù)x都有f(x+3)=f(x+2)f(x+1)，f(x)=f(2?x)成立，若f(2)=1，則k=1nf28．定義域為R的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，函數(shù)g(x)反思提升：對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱.四、【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用29．函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時，f(x)=4x?x2,0<x≤22|x?3|+13,x>2，A．1118 B．1712 C．530．已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，且(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<b<a31．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，f(?x)=f(x+2)，且f(1A．f(x)的最小正周期為4 B．f(2)=0C．函數(shù)f(x?1)是奇函數(shù) D．k=132．定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下列條件：（1）f(xy)=yf(x)?xf(y)A．f(1)=0 B．當(dāng)0<x<1時，f(x)<0C．f(x2)≥2f(x) D．f(x)33．已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)34．設(shè)函數(shù)y=fx的定義域為R，且fx+1為偶函數(shù)，fx?1為奇函數(shù)，當(dāng)x∈?1,1時，f反思提升：1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.4.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.五、【基礎(chǔ)篇】35．若函數(shù)y=fx?1是定義在R上的奇函數(shù)，則A．3 B．2 C．?2 D．?336．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x都有f(x+2)=?f(x)A．-1 B．0 C．1012 D．202437．已知fx是定義域為R的偶函數(shù)，f5.5=4，gx=A．?6 B．?4 C．4 D．638．已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，若y=f(2x+1)的最小正周期為1，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①f(14③f(x)的一個對稱中心為(1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個39．已知函數(shù)f(x)=sinA．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)的最小正周期為πC．f(x)的最小值為?12 D．f(x)在40．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+2)為奇函數(shù)，f(2x+1)為偶函數(shù)，則（）A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱C．f(1)+f(7)=0D．f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2024)=041．已知f(x)=sin(x+π6)A．將f(x)的圖象向左平移π2個單位長度可以得到g(x)B．將f(x)的圖象向右平移π2個單位長度可以得到g(x)C．f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=5πD．f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=7π42．函數(shù)g(x)=ex?e?x243．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對任意x∈R，均有f(x)=f(x+2)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=1?x，則函數(shù)g(x)=f(x)?log44．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=?x545．已知函數(shù)f(x)=log2(（1）求實數(shù)k的值；（2）討論函數(shù)g(x)=(46．求下列情況下a的值（1）若函數(shù)f(x)=x3(a?（2）已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)=?eax，若f(ln六、【能力篇】47．已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x1,x2∈(?∞,0)A．c<b<a B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．c<a<b48．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R，記g(x)=f'(x).若f(x)滿足f(2+3x)=f(?3x)A．g(x)是偶函數(shù) B．g(x)=g(x+4)C．f(x)+f(?x)=0 D．k=149．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且f(x+1)+f(x+2)=0，當(dāng)x∈[0,12]時，f(x)=6x50．已知函數(shù)f(x)是定義在R（1）證明：函數(shù)f(（2）當(dāng)x∈[0,2]時，f七、【培優(yōu)篇】51．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(y)=f(x+y)?2xy+2,f(1)=2，則下列結(jié)論正確的是（）A．f(4)=12 B．方程f(x)=x有解C．fx+12是偶函數(shù) 52．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(A．f(x)為偶函數(shù)C．f(?1)53．已知定義在0,+∞上的增函數(shù)fx滿足：對任意的a,b∈0,+∞都有fab=fa+fb且f4=2，函數(shù)gx滿足gx+g4?x=?2，g4?x=gx+2.當(dāng)x∈0,1時，gx=fx+1?1，若g

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵fx=xexeax-1是偶函數(shù)，

∴fx-f-x=xexeax-1--xe-xe2．【答案】B【解析】【解答】解：f(x)=(x+a)ln2x?12x+1的定義域為2x?12x+1>0，求得x∈-∞，-12∪12，+∞，

∵f(x)=(x+a)ln2x?12x+1為偶函數(shù)，f(1)=(1+a)ln13，故答案為：B.

【分析】由偶函數(shù)的定義有f(1)=f(-1)，代入求出a，進而驗證.3．【答案】D【解析】【解答】因為y=g(x)所以g(2?x)=g(x+2)，因為g(x)?f(因為f(x)代入得f(x)所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(?2)×5=?10，f(4)+f(6)+…+f(22)=(?2)×5=?10.因為f(x)+g(2?x)因為g(x)?f(聯(lián)立得，g(2?x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(3所以g(3)=6因為f(x)所以k=122故答案為：D

【分析】利用y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，所以g(2?x)=g(x+2)，再利用g(x)?f(x?4f(3)+f(5)+…+f(21)，f(4)+f(6)+…+f(22)的值，再利用f(x)+g(2?x)=5，所以f(0)+g(2)=5，進而得出f(0)的值，從而得出f(2)的值，再利用g(x4．【答案】A【解析】【解答】解：因為f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(?y)=2f(y)，即f(y)=f(?y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y=1得，f(x+1)+f(x?1)=f(x)f(1)=f(x)，即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，

從而可知f(x+2)=?f(x?1)，f(x?1)=?f(x?4)，故f(x+2)=f(x?4)，即f(x)=f(x+6)，

所以函數(shù)f(x)的一個周期為6．因為f(2)=f(1)?f(0)=1?2=?1，f(3)=f(2)?f(1)=?1?1=?2，f(4)=f(?2)=f(2)=?1，f(5)=f(?1)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，

所以一個周期內(nèi)的所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1?1?2?1=?3【分析】根據(jù)題意賦值求得函數(shù)f(x)5．【答案】B【解析】【解答】解：因為f(x+2)為偶函數(shù)，則有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，

又因為f(2x+1)為奇函數(shù)，則有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，

所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)

故函數(shù)f(x)的周期為T=4

又因為函數(shù)F(x)=f(2x+1)是奇函數(shù)，則F(0)=f(1)=0

故f(-1)=-f(1)=0

故答案為：B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出f(1)=0，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.6．【答案】D【解析】【解答】解：因為f(x+1)是奇函數(shù)，所以f(1)=0，即a+b=0，則b=-a，

又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，

由f(0)+f(3)=6得a=-2，

所以f92=f2+527．【答案】A,B,C【解析】【解答】Ａ：令ｘ＝ｙ＝0，則ｆ0＝0＋0＝0，故Ａ正確

Ｂ：令ｘ＝ｙ＝1，則ｆ1＝ｆ1＋ｆ1，即ｆ1＝0，故Ｂ正確

Ｃ：令ｘ＝-1，ｙ＝1，則ｆ-x＝ｆx＋ｆ1，結(jié)合B可得，ｆ-x＝ｆx

∴ｆｘ為偶函數(shù)，Ｃ正確

Ｄ：由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，等式兩邊同除x2y2，則f(xy)x8．【答案】B,C【解析】【解答】解：因為f(32?2x)為偶函數(shù)，所以f(32?2x)=f(32+2x)，

即f(32?x)=f(因為g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2?x)，g(4?x)=g(x)，所以g(x)關(guān)于x=2對稱，

由①求導(dǎo)，和g(x)=f若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f故答案為：BC.【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.9．【答案】2【解析】【解答】∵fx=x-12+ax+sinx+π2=x2+1+a-2x+cosx，

∵y=cosx10．【答案】1【解析】【解答】因為f(x)=x3(a?因為f(x)為偶函數(shù)，故f(?x)=f(x)，時x3(a?2故a=1，故答案為：1

【分析】根據(jù)題意，利用f(?x)=f(x)，列出方程，即可求解.11．【答案】C【解析】【解答】解：由于函數(shù)f(x)的定義域為R，且yf(x)?xf(y)=xy(x?y)，令y=1，則f(x)?xf(1)=x(x?1)，得f(x)=xx=1時，f(1)=12+[f(1)?1]由于f(1)=1不一定成立，故f(x)=x由于f(x)=x2+[f(1)?1]x的對稱軸為x=?故f(x)在[0,由于f(x)=x2+[f(1)?1]x故答案為：C.【分析】由題意，利用賦值法求出f(x)=x12．【答案】C【解析】【解答】解：當(dāng)x>0時，則?x<0，因為x<0時，fx=1又因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，即?f(x)=2x?f(x)=?即g(x)=?2故答案為：C.【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合題意求函數(shù)g(x)的解析即可.，13．【答案】C,D【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則不等式f(2a)+f(a?2)>0，變形可得f(2a)>?f(a?2)=f(2?a)，因為函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以不等式f(2a)>f(2?a)成立，則2a>2?a，解得a>2故答案為：CD.【分析】利用函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，將不等式f(2a)+f(a?2)>0變形為f(2a)>f(2?a)，再根據(jù)函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)遞增，將不等式f(2a)>f(2?a)轉(zhuǎn)化為2a>2?a求解即可得實數(shù)a的取值范圍.14．【答案】A,C【解析】【解答】解：令x=y=0，則f(0)?f(0)=f2(令x=0，則f(y)?f(?y)=f(32)f(y+32f(3)=f(?3)，令x=y=32，則令x=y=?32，則f(?3)?f(0)=f所以(f2(0)+f(0))2=f2令y=?32，則所以f(x?32)+f(x+32)=0，故答案為：AC．【分析】根據(jù)條件等式，利用賦值法，求特殊函數(shù)值，以及判斷函數(shù)的奇偶性和周期性.15．【答案】-1；1【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=a+4bx2x是定義域為R的奇函數(shù)，則f(0經(jīng)檢驗a=?1，b=1滿足題意，故a=?1，b=1.故答案為：?1；1.【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義列式求解即可，注意檢驗.16．【答案】(?∞【解析】【解答】解：由f(x1x設(shè)g(x)=f(x)+1x，則g(x1x取x1=x2=?1，得g(?1)=所以g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)=g(|x|)，因為當(dāng)x1>x2>0得x1f(x2)?即f(x2)+1x2>f(由g(?1)=0，得f(?1)=?1，由f(2)=?3，得g(2)=?1,所以(x+1)f(1x+1)+x+2>f(?1)即g(1|x+1|)>g(4)，所以1|x+1|<4所以不等式(x+1)f(1x+1)+x+2>f(?1)故答案為：(?∞,【分析】根據(jù)已知條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+1x，根據(jù)奇偶性、單調(diào)性的定義判斷函數(shù)g(x)的奇偶性以及單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為求解17．【答案】D【解析】【解答】解：A、因為Dx=0或Dx=1均為有理數(shù)，則D(D(x))=1>0，即D(D(x))無零點，故A錯誤；

B、因為D(1)=D(2)=1，D2=0，則D(1)=D(2)=1>D2=0，

即D(x)不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；18．【答案】C【解析】【解答】解：因為f(x?3)=f(x+1)因為f(x)所以函數(shù)的值域為[0，函數(shù)的對稱軸為x=2k(k∈Z)，B不符合題意；當(dāng)x∈(?3，?1]時，x+4∈(1，3]，所以f(x)=f(x+4)=2?2|(x+4)?2|=2?2|x+2|，所以當(dāng)方程3f(x)=x的解的個數(shù)，即f(x)=x故答案為：C

【分析】依題意可得，f(x)是以t為最小正周期的周期函數(shù)，再根據(jù)[-1，3]上的解析式，畫出函數(shù)的部分圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，逐項進行判斷，可得答案.19．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因為y=f2x?1的圖象關(guān)于直線x=1所以f2+2x?1=f2?2x?1所以f1+x所以fx的圖象關(guān)于直線x=1因為y=f2?x+1的圖象關(guān)于點所以f2?x+1+f2+x所以fx的圖象關(guān)于點2,0所以fx令x=2，得f2由f1+x=f1?x，f故f2-x=-f4-x所以fx+4所以函數(shù)fx的周期T=4所以fx+6=fx+2所以fx+6因為f10因為fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，fx的圖象關(guān)于點所以f3+x所以x=1,x=3為函數(shù)fx再結(jié)合函數(shù)的周期性可得，x=1+2k，k∈Z為函數(shù)fx所以x=7是函數(shù)fx因為f1+x=f1?x所以f?x所以原點為函數(shù)fx再結(jié)合函數(shù)周期性可得點2+2k,0，k∈Z為函數(shù)fx所以點56,0是函數(shù)fx故答案為：BCD.【分析】由已知條件證明直線x=1為函數(shù)fx的對稱軸，根據(jù)點2,0為函數(shù)fx的對稱中心，則結(jié)合周期函數(shù)的定義證出函數(shù)fx為周期函數(shù)，則判斷出選項A；證明f20．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因為g'(x)=f可得g(4?x)=f(2?x)+a，又因為f(x)?g(4?x)=2，可得f(x)=f(2?x)+a+2.令x=1，可得f(1)=f(1)+a+2，解得a=?2，可得f(x)=f(2?x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，A正確；C、因為f(x+2)為奇函數(shù)，可知y=f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，且令x=0，可得2f(2)=0，即f(2)=0；令x=1，可得f(1)+f(3)=0；令x=1，可得f(4)+f(0)=0；由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得f(0)=0；所以f(4)=0，又因為f(x+2)=?f(?x+2)=?f(x)，則f(x)=?f(x+2)=f(x+4)，可知函數(shù)f(x)的周期T=4，所以k=1f(k)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0B、由AC可知g(x)=f(x?2)?2=f(x+2)?2=?f(x)?2，可得g(2023)=f(2021)?2=f(1)?2，g(2025)=f(2023)?2=f(3)?2，所以g(2023)+g(2025)=f(1)?2+f(3)?2=?4，故B錯誤；D、可得k=1g(k)=故答案為：AC.【分析】由題意設(shè)g(x)=f(x?2)+a，根據(jù)題意分析可得a=?2，f(x)=f(2?x)即可判斷A；結(jié)合奇偶性可得函數(shù)f(x)的周期為4，結(jié)合周期性分析求解即可判斷C；由AC分析可得g(x)=f(x?2)?2=f(x+2)?2=?f(x)?2，根據(jù)周期性分析求解即可判斷B；結(jié)合BC選項中的結(jié)論求解即可判斷D.21．【答案】-1【解析】【解答】解：因為f(x+2)是奇函數(shù)，可得f又因為f(x?1)是偶函數(shù)，可得f所以f(所以f(x)是周期為12的周期函數(shù)，則f(故答案為：?1.【分析】由題意，結(jié)合f(x+2)為奇函數(shù)，f(x?122．【答案】-1【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，

令x=1,y=0，則因為f(1)=1，所以f(0)=2，令x=y=1，則f(2)+f(0)=f(1)f(1)，求得f(2)=?1，令y=1，則f(x+1)+f(x?1)=f(x)f(1)=f(x)，即f(x?1)=f(x)?f(x+1)，所以f(x)=f(x+1)?f(x+2)，所以f(x?1)=f(x+1)?f(x+2)?f(x+1)=?f(x+2)所以f(x+2)=?f(x+5)，所以f(x?1)=f(x+5)，即f(x)=f(x+6)，即函數(shù)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)，則f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=?1，故答案為：?1.【分析】由題意，利用賦值法，先令x=1,y=0求出f(0)=2，再令x=y=1求得f(2)=?1，最后令y=1推出函數(shù)23．【答案】D【解析】【解答】解：A、要使f(x)=tan且滿足f(?x)即函數(shù)f(B、因為f(所以π是函數(shù)f(x)的一個周期，由選項A知點(0則(π,0C、因為f(π所以函數(shù)f(x)D、因為函數(shù)y=x+1x在(0,1由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)故答案為：D．【分析】先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)函數(shù)的周期性即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的對稱軸即可判斷C；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.24．【答案】C【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)=?f(x+2)，

即f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)恒成立，所以f(x)的周期為4，因為函數(shù)f(x+1)的圖象關(guān)于(?1,0)對稱，所以將y=f(x+1)的圖象向右平移一個單位，

得到y(tǒng)=f(x)的圖象，所以y=f(x)的圖象關(guān)于故f(x+2)=-f(x)=f(?x)，因此f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，設(shè)x∈[1,3]，則因為函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)=?f(x+2)所以f(x)=?f(x?2)=?tan所以f(x)=tanx作出y=f(x)的圖象，如圖所示：由圖象可知，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(2k,0)(k∈Z)中心對稱，關(guān)于直線x=2k+1(k∈Z)對稱，函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以看成y=f(x)的圖象x軸上方的圖象保留，把x軸下方的圖象翻折到x軸上方，所以函數(shù)y=|f(x)|的最小正周期為2，故C正確.故答案為：C.【分析】求解函數(shù)的周期，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的對稱性即可判斷AB；求出新函數(shù)的周期即可判斷C；求解函數(shù)的解析式即可判斷D.25．【答案】A,B【解析】【解答】在f(x+4)=f(x)+f(2)中，

令x=?2，得f(?2)=0，

又函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，

所以f(2)=?f(?2)=0，f(x+4)=f(x)，

故y=f(x)是一個周期為4的奇函數(shù)，

因(0，0)是f(x)的對稱中心，

所以(4，0)也是函數(shù)y=f(x)的圖象的一個對稱中心，A、B符合題意；

作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，

易知函數(shù)y=f(x)在[?6，?2]上不具單調(diào)性，C不正確；

函數(shù)y=f(x)在[?6，6]上有7個零點，D不正確.故答案為：AB【分析】通過賦值法可得y=f(x)是一個周期為4的奇函數(shù)，作出f(x)的部分圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.26．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因為y=g(x+2)為偶函數(shù)，可得：g(?x+2)=g(x+2)，即g(?x)=g(x+4)，則g'(?x)+gB、因為y=f(x+1)?x為偶函數(shù)，所以y=f(x+1)?xy=f(x+1)x?1，則y=C、y=f(x+1)?x為偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)y'可得g(?x+1)?1=?[g(x+1)?1]，即g(?x+1)=?g(x+1)+2，得g(?x)=?g(x+2)+2，所以g(?x)=g(x+4)=?g(x+2)+2，即g(x+2)=?g(x)+2，則g(x+4)=?g(x+2)+2=?[?g(x)+2]+2=g(x)，可知g(x)的周期為4，故C錯誤；D、因為y=g(x+1)?1為奇函數(shù)，將x=0代入，得g(0+1)?1=g(1)?1=0，得g(1)=1，因為y=g(x+2)為偶函數(shù)，可得：y=g(x)關(guān)于x=2對稱，由g(1)=1且g(x)關(guān)于x=2對稱，知g(3)=1，又g(x)的周期為4，可得g(2k+1)=1（k∈N），選項C中有等式g(x+2)=?g(x)+2，即g(x)+g(x+2)=2，則有g(shù)(4k+2)+g(4k+4)=2（k∈N）成立，則k=1g(k)=g(1)+506×4=2025故答案為：ABD.【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性以及符合函數(shù)的求導(dǎo)即可判斷ABC；結(jié)合對稱性，進行賦值求出g(x+2)=?g(x)+2，則有g(shù)(4k+2)+g(4k+4)=2成立，即可判斷D.27．【答案】n【解析】【解答】解：由f(x)=f(2?x)可得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=1對稱，因f(2)=1，故f(0)=1，在f(x+3)=f(x+2)f(x+1)中，令再令x=0，代入可得f(3)=1，再令x=1，代入可得故令x=n?3，代入可得f(n)故答案為：n.【分析】由函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2?x)求得函數(shù)f(x)的對稱性，再對f(x+3)=f(x+2)f(x+1)中的x進行賦值，求得f(0)=1，f(28．【答案】2499【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(則f(?x)又因為g(x)的圖象關(guān)于直線x=2所以g(x+4)+g(x+2)=?2，即g(x+2)+g(x)=?2，可得g(x+4)因為g(0)=f(0)所以g(1)=f(1)?2=?1，所以f=?4×12?1?2+2550=2499.故答案為：2499.【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性、周期性計算即可.29．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)y=f(x)+12是奇函數(shù)，則即f(?x)+f(x)=?1，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(0,?1而y=kx?12也關(guān)于點(0,方程f(x)?kx+12=0根，即為函數(shù)y=f(x)因為兩個函數(shù)都關(guān)于點(0,?12)畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示：若i=1f(xi當(dāng)直線y=kx?12過點(2,73當(dāng)直線y=kx?12過點(2,2)時，所以滿足條件的k的取值范圍是[54,故答案為：C.【分析】由y=f(x)+12為奇函數(shù)求得函數(shù)f(x)關(guān)于點(0,?130．【答案】A【解析】【解答】解：已知(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y)令x=y=12，代入可得f(1)=1令x=y=1，代入可得2f(2)=f2(1)=令x=1,y=2，代入可得3f(3)=2f(1)f(2)=2e×e由e≈2.71828???可得±2e<e故答案為：A【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)滿足的表達式以及f(1)=e，利用賦值法即可計算出a,31．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、因為f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，所以f(x)+f(x+2)=f(2024)，f(x+2)+f(x+4)=f(2024)，所以f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期為4，故A正確；B、因為f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，令x=2021，則f(2022)+f(2024)=f(2024)，所以f(2022)=0，由A可知，f(2022)=f(4×505+2)=f(2)=0，故B正確；C、因為f(?x)=f(x+2)，①令x=0，則f(0)=f(2)=0，所以f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，所以f(x)+f(x+2)=f(2024)=0，②由①②，所以f(x)+f(?x)=0，即f(?x)=?f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，若函數(shù)f(x?1)是奇函數(shù)，則f(?x?1)=?f(x?1)，所以f(?x?1)=f[?(x+1)]=?f(x+1)，即f(x?1)=f(x+1)，所以f(x+2)=[f(x+1)+1]=f[(x+1)?1]=f(x)，所以f(x)的最小正周期為2，與選項A矛盾，故C錯誤；D、因為f(x)為奇函數(shù)，且f(12)=又因為f(x)的最小正周期為4，所以f(7因為f(?x)=f(x+2)，所以f(32)=f(?所以k=14k=5=5×f(=5×1以此類推，所以k=12024故答案為：AB.【分析】據(jù)題意，通過賦值得到f(x)+f(x+2)=f(2024)，f(x+2)+f(x+4)=f(2024)即可判斷A；令x=2021，可求出f(2022)=0，由周期性即可判斷B；令x=0，得到f(0)=f(2)=0，由周期性f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，可證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，假設(shè)函數(shù)f(x-1)是奇函數(shù)，推出矛盾即可判斷C；由周期性及對稱性即可判斷D.32．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、由f(xy)=yf(x)?xf(y)，取x=y=1B、由f(xy)=yf(x)?xf(y)，取x=1，f(1)=0，故f當(dāng)0<x<1時，1x>1，則f(1xC、由f(xy)=yf(x)?xf(y)，取x=y2，可得，f因y>0，y+1y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時取等號，但因f(y)的符號不能確定，D、任取x1>x2>1，則x則x2f(x1)?x1f(x2)>0，即f(x1)x1>f(x故答案為：AB.【分析】取x=y=1求解即可判斷A；取x=1，再由條件當(dāng)0<x<1時，f(x)<0即可判斷B；利用基本不等式，但因f(x)在(0,33．【答案】10100【解析】【解答】解：由函數(shù)f(x)取x=12,令x=n,y=1，可得f則f(100)===2×(故答案為：10100.【分析】由題意，取x=12,y=12求得f(34．【答案】?1【解析】【解答】解：因為函數(shù)y=fx的定義域為R，且fx+1為偶函數(shù)，則f1?x=f1+x所以，函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，也關(guān)于點?1,0所以，f?x=fx+2所以，fx+2=?fx?2所以，函數(shù)fx是周期為8當(dāng)x∈?1,1時，fx=1?x2，則ff2=f0=1，f5=f?3所以，k=18又因為2023=8×253?1，所以，k=12023故答案為：?1.【分析】利用奇函數(shù)的和偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的圖象的對稱性，從而得出函數(shù)fx是周期為8的周期函數(shù)，再根據(jù)題中條件求出fkk=1,2,3,?,835．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)Fx=fx?1，

則即fx+f?x因為F0=f0?1=0，

所以故答案為：A.【分析】利用函數(shù)y=fx?1是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)Fx=fx?1，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得fx36．【答案】B【解析】【解答】解：由f(x+2)由f(x+1)為偶函數(shù)，可知f(x)關(guān)于x=1因為f(x+2)=?f(顯然f(3)=?f(1)=?2,所以f(故答案為：B.【分析】由f(x+2)=?f(x)，推得函數(shù)f(x)37．【答案】D【解析】【解答】解：因為gx+1所以gx的圖象關(guān)于直線x=1即gx即x?1f所以，fx所以，函數(shù)fx關(guān)于點(1,0)又因為fx是定義域為R所以fx所以fx?4即fx?4所以，函數(shù)fx所以，f(5.5)=f(1.5)=f(?2.5)=f(2.5)=4，所以，g(?0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=6.故選：D.【分析】根據(jù)偶函數(shù)的圖象的對稱性和圖象的平移變換，從而得到函數(shù)gx的對稱軸，即gx=g(2?x)，再結(jié)合g(x)=x?1fx和函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，可得到38．【答案】B【解析】【解答】解：∵y=f(2x+1)的最小正周期為1，∴y=f(x)的最小正周期為2，∴f(x)=f(2+x)，

∵y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(x)=-f(-x)，

②③∵f(x)=f(2+x)，f(x)=-f(-x)，∴f(2+x)=-f(-x)，即f(1+x)=-f(1-x)，∴f(x)的一個對稱中心為(1，0)，

∴f(1+12)=-f(1-12)，∴f(故答案為：B.

【分析】由y=f(2x+1)的最小正周期為1得y=f(x)的最小正周期為2，結(jié)合y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，得f(2+x)=-f(-x)，所以f(x)的一個對稱中心為(1，39．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、易知函數(shù)f(x)定義域為R，且滿足f(?x)=sin(?x)?|cosB、f(?π4)=則f(?π4+π)≠f(?π4C、f(x)=sinx?|cosx|≥?|sinxcosx|=?1D、f(π2)=sinπ2?|cosπ2|=0故答案為：AC.【分析】先求函數(shù)的定義域，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義判斷A；計算f(?π4)，f(3π440．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、因為f(x+2)為奇函數(shù)，所以f(?x+2)+f(x+2)=0，則f(2?x)+f(2+x)=0，即f(x)的圖象關(guān)于點(2,B、由f(2x+1)為偶函數(shù)，可得f(?2x+1)=f(2x+1)，于是f(1?2x)=f(1+2x)，即f(1?x)=f(1+x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故B正確；C、f(x+2)=?f(2?x)=?f(1?(1?x))=?f(x)，從而f(x+4)=f(x)，所以f(x)以4為周期，可得f(7)+f(1)=f(3)+f(1)，由f(2?x)+f(2+x)=0中，令x=1，得f(1)+f(3)=0，故C正確；D、由前面的分析可得f(4)+f(0)=0，f(2)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2024)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0，故D正確．故答案為：BCD.【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的對稱性和周期，結(jié)合選項逐項判斷即可.41．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因為f(x)=sin(x+π6)y=sin(x+πB、因為f(x)=sin(x+π6)y=sin(x+πC、與f(x)的圖象關(guān)于直線x=5πy=f(2×5πD、與f(x)的圖象關(guān)于直線x=7πy=f(2×7π故答案為：BD．【分析】根據(jù)正弦性函數(shù)的圖象變換，結(jié)合函數(shù)的對稱性逐項判斷即可.42．【答案】-2【解析】【解答】解：g(?x)=e則g(x)+g(?x)=e故g(?a)=4?g(a)=?2.故答案為：?2.【分析】由題意，求得g(?x)=e?x?43．【答案】4【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

由f(x)=f(x+2)，可得函數(shù)f(x)的周期是2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)的圖象與y=log如圖所示，共有4個不同的交點，即g(x)=f(x)?log故答案為：4.【分析】由題意求得函數(shù)的對稱軸以及周期，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與y=log44．【答案】4【解析】【解答】解：由題意可得f0=a?1=0，解得所以，當(dāng)x≥0時，fx所以f?a故答案為：4.【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得a的值，再結(jié)合f?a=?fa45．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)是定義域在R上的偶函數(shù)，則f(x)?f(?x)=0?log?log因為x∈R，所以k=1；（2）解：函數(shù)g(x)=(2k)即4令2x=t①當(dāng)m=1時，t=?1，此時方程(*)無解；②當(dāng)m>1時，函數(shù)y=(m?1)t2?mt?1則t只有一解，此時方程(*)只有一解；③當(dāng)0<m<1時，函數(shù)y=(m?1)t2?mt?1函數(shù)的對稱軸t=m2(m?1)<0綜上，當(dāng)0<m≤1時函數(shù)g(x)無零點，當(dāng)m>1時函數(shù)g(x)有一個零點.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，滿足f(x)?f(?x)=0列式求解即可；

（2）由題意將零點問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可.46．【答案】（1）解：因為f(x)=x3(a?因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，所以x3整理得到(a?1)(2x+（2）解：因為f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，?x<0,因為f(lnln2>0所以e?a化簡可得?aln解得：a=?3.【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，代入化簡求解即可；

（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，先求出x>0的解析式，再將ln247．【答案】C【解析】【解答】解：當(dāng)x1,x2∈(?∞,0)又有f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(x)在(0,log即log23>0a=f(log123)=f(?log23)=f(lo故答案為：C.【分析】根據(jù)已知條件判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可.48．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因為函數(shù)g(x?2)則g(2?x?2)=g(2+x?2)，即g(?x)=g(x)，所以，函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，故A正確；B、因為f(2+3x)=f(?3x)，令t=3x，可得f(t+2)=f(?t)，即f(x+2)=f(?x)，對等式f(x+2)=f(?x)兩邊求導(dǎo)得f'(x+2)=?f故g(x+2)+g(x)=0，所以g(x+4)=?g(x+2)=g(x)，故B正確；C、因為g(x)=f'(x)令h(x)=f(x)+f(?x)，則h'(x)=f設(shè)h(x)=f(x)+f(?x)=C，其中C為常數(shù)，當(dāng)C≠0時，f(?x)=C?f(x)≠?f(x)，故C錯誤；D、因為g(x+2)⊥g(?x)