湘豫名校2021-2022學年高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學（理科）試題 附答案

湘豫名校聯(lián)考（2022年4月）數(shù)學（理科）試卷第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)，則（）A．2 B．3 C． D．3．若數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（）A． B．1 C． D．24．已知函數(shù)在處取得極值，則函數(shù)的圖象（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱5．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能為（）A． B． C． D．6．已知O是坐標原點．F是雙曲線的右焦點，過雙曲線C的右頂點且垂直于x軸的直線與雙曲線C的一條漸近線交于A點，若以F為圓心的圓經過點A，O，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．若，則（）A． B． C． D．8．已知，，．則a，b，c的大小順序為（）A． B． C． D．9．在的展開式中，除項之外，剩下所有項的系數(shù)之和為（）A．299 B． C．300 D．10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某三棱臺的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．8 B．11 C．12 D．1311．為了防控疫情，某市進行核酸檢測，經統(tǒng)計，該市在某一周內核酸檢測的人數(shù)（單位：萬人）如下圖所示：記表示從第i天開始，連續(xù)3天核酸檢測人數(shù)數(shù)據(jù)的標準差，則，，，，的大小關系是（）A． B．C． D．12．若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二，填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知向量，，其中，則的最小值為______．14．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．15．在△ABC中．BC=7．，點A在以B，C為焦點的橢圓上．同時點A在以B，C為焦點的雙曲線上，若，的離心率分別為，，且，則角______．l6．阿基米德多面體（Archimedeanpolyhedra）是由兩種或三種正多邊形面組成的半正多面體．它共有13種，其特點是棱長相等．如圖1，順次連接棱長為2的正方體各棱的中點，得到一個阿基米德多面體，如圖2，在此阿基米德多面體的所有棱中任取兩條，則兩條棱垂直的概率為______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）已知三棱柱中，∠ACB=90°，，平面ABC，AC=BC，E為AB的中點，D為上一點．（1）求證：AD⊥CE；（2）當D為的中點時，求二面角的余弦值．18．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求的最小值；（2）若，求角C．19．（本小題滿分12分）如圖，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，動點P滿足△PAB的垂心為原點O．當直線l的傾斜角為30°時，．（1）求拋物線C的標準方程；（2）求證：點P在定直線上．20．（本小題滿分12分）某地質量檢測部門從一企業(yè)的產品中隨機抽取100件產品，測量這批產品的某項技術指標值，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100件產品的技術指標值的中位數(shù)；（2）根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這批產品的技術指標值X近似地服從正態(tài)分布．根據(jù)上表計算出樣本平均數(shù)，樣本方差，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，從該企業(yè)這批產品中購買50件，設這50件產品中技術指標值恰好在98.32與194.32之間的數(shù)量為Y，求；（3）如果產品的技術指標值在與之間為合格品，其他技術指標值為次品，每抽取100件產品中的合格品和次品件數(shù)分別是多少（精確到個位數(shù)）？計算從100件產品中任取3件，恰好取到1件次品的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，，．21．（本小題滿分12分）對于正實數(shù)a，b（），我們熟知基本不等式：，其中為a，b的幾何平均數(shù)，為a，b的算術平均數(shù)．現(xiàn)定義a，b的對數(shù)平均數(shù)：．（1）設，求證：，并證明；（2）若不等式對任意正實數(shù)a，b（）恒成立，求正實數(shù)m的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22~23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中．直線（t為參數(shù)，為l的傾斜角．）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓，直線l與圓C交于M．N兩點．（1）若直線l的斜率，求弦MN的中點Q的直角坐標與弦長的值；（2）若點．證明：對任意，有為定值．并求出這個定值．23．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)t的取值范圍；（2）若，求函數(shù)的最小值．湘豫名校聯(lián)考（2022年4月）數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．題號123456789101112答案BDADAACDADAC1．B【解析】，故選B．2．D【解析】因為，所以．所以．所以．故選D．3．A【解析】令．因為，，所以，，所以．所以．所以．故選A．4．D【解析】．因為在處取得極值，所以．所以．所以，畫圖可知的圖像關于直線對稱．故選D．5．A【解析】由圖象可知，，排除選項C，D．由在區(qū)間上為增函數(shù)可排除選項B，故選A．6．A【解析】由已知，得．因為以F為圓心的圓經過點A，O，所以．所以．所以雙曲線C的漸近線方程為．故選A．7．C【解析】因為所以．所以．故選C．8．D【解析】因為，所以．又，所以．故選D．9．A【解析】令，得．因為的展開式中項為，所以的展開式中，除項之外，剩下所有項的系數(shù)之和為．故選A．10．D【解析】如圖，該幾何體為三棱臺，可以看作棱長為2的正方體的一部分．所以表面積為．故選D．11．A【解析】設第i天的核酸檢測人數(shù)為萬人，因為，同時，，所以．所以．記為數(shù)據(jù)a，b，c的標準差，則，同理可得．所以．又，所以，綜上可得．故選A．12．C【解析】由原不等式可得，．令，則由，得．當時，，則．令，，則，，當時，等號同時成立．所以．所以．故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解析】法一：因為，所以．所以．法二：設，，則，，．因為點B在直線上，所以所求最小值為點A到直線的距離，該距離為，所以．14．【解析】當時，．當時，，①．②①－3×②，得．因為不滿足上式，所以．15．60°【解析】設，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，則，，且．因為點A在以B，C為焦點的橢圓上，所以．又因為點A在以B，C為焦點的雙曲線上，所以．因為，所以．所以或．所以．因為，所以．16．【解析】此阿基米德多面體共有24條棱，任取2條，共有種．兩條棱垂直有兩類情況：①都來自同一個正方形：種；②來自對面的兩個正方形：種．故所求概率為．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．【解析】（1）因為，E為AB的中點，所以．因為平面ABC，平面ABC，所以．因為，所以平面．因為平面，所以．（2）以C點為坐標原點，CA，CB，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，，，．所以，．易知平面的一個法向量為．設平面ACD的法向量為，則即亦即令，則平面ACD的一個法向量為．所以．故二面角的余弦值為．18．【解析】（1）因為，所以由余弦定理，得，當且僅當時，等號成立．所以的最小值為．（2）由及正弦定理，得，即．所以．因為，所以．由及正弦定理，得．因為，所以．所以．所以．所以．因為，所以．19．【解析】（1）設直線l的方程為，，．由得．所以，．由拋物線定義，得．當直線l的傾斜角為30°時，，．所以，即拋物線C的標準方程為．（2）由（1），得，．因為的垂心為原點O，所以，．因為，所以．所以直線AP的方程為，即．同理可得，直線BP的方程為．聯(lián)立方程解得即．所以點P在定直線上．20．【解析】（1）設中位數(shù)為．因為，所以，解得．所以估計這100件產品的技術指標值的中位數(shù)為130.375．（2）依題意，得，所以．所以從這批產品中任取一件其質量指標值恰好在98.32與194.32之間的概率為0.8185．這50件產品中質量指標值恰好在98.32與194.32之間的數(shù)量為Y，則Y服從二項分布，．所以．（3）依題意，產品的技術指標值在與之間為合格品，其概率為，所以每抽取100件產品中合格品件數(shù)為95件，次品件數(shù)為5件．所以從100件產品中任取3件，恰好取到1件次品的概率為．21．【解析】（1）令，則．所以當時，，在上單調遞減．又，所以當時，．所以當時，，即．（*）要證，只需證，只需證，即證．令，則由（*），得．所以，即．（2）由恒成立，得恒成立，即恒成立．令，由恒成立，得恒成立．所以恒成立．令，則．（注：）①當，即時，易知方程有一根大于1，一根小于1，所以在上單調遞增．所以，不符合題意．②當時，有，所以，從而在上單調遞減．故當時，恒有，符合題意．綜上可知，正實數(shù)m的取值范圍為．（二）選考題：共10分．請考生在第22~23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．【解析】由圓，得圓．將代入，得．設點M，N