專題15帶電粒子在復合場中的運動（原卷版）-2025年高考物理二輪復習培優(yōu)練（新高考用）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題15帶電粒子在復合場中的運動TOC\o"1-1"\h\u一、質譜儀及相關計算 2二、回旋加速器的綜合計算 5三、霍爾效應 8四、磁流體發(fā)電機、電磁流量計的相關計算 11五、粒子在電場和磁場中的往復運動 12六、帶電粒子在交變磁場中的運動 17七、帶電粒子在疊加場中做旋進運動 20八、帶電粒子在疊加場中的一般曲線運動 22專題一質譜儀及相關計算1．（2021·浙江·高考真題）在芯片制造過程中，離子注入是其中一道重要的工序。如圖所示是離子注入工作原理示意圖，離子經(jīng)加速后沿水平方向進入速度選擇器，然后通過磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經(jīng)偏轉系統(tǒng)后注入處在水平面內的晶圓（硅片）。速度選擇器、磁分析器和偏轉系統(tǒng)中的勻強磁場的磁感應強度大小均為B，方向均垂直紙面向外；速度選擇器和偏轉系統(tǒng)中的勻強電場場強大小均為E，方向分別為豎直向上和垂直紙面向外。磁分析器截面是內外半徑分別為R1和R2的四分之一圓環(huán)，其兩端中心位置M和N處各有一個小孔；偏轉系統(tǒng)中電場和磁場的分布區(qū)域是同一邊長為L的正方體，其偏轉系統(tǒng)的底面與晶圓所在水平面平行，間距也為L。當偏轉系統(tǒng)不加電場及磁場時，離子恰好豎直注入到晶圓上的O點（即圖中坐標原點，x軸垂直紙面向外）。整個系統(tǒng)置于真空中，不計離子重力，打在晶圓上的離子，經(jīng)過電場和磁場偏轉的角度都很小。當α很小時，有，。求：(1)離子通過速度選擇器后的速度大小v和磁分析器選擇出來離子的比荷；(2)偏轉系統(tǒng)僅加電場時離子注入晶圓的位置，用坐標(x，y)表示；(3)偏轉系統(tǒng)僅加磁場時離子注入晶圓的位置，用坐標(x，y)表示；(4)偏轉系統(tǒng)同時加上電場和磁場時離子注入晶圓的位置，用坐標(x，y)表示，并說明理由。2．（2024·天津濱海新·二模）根據(jù)牛頓力學經(jīng)典理論，只要物體的初始條件和受力情況確定，就可以推知物體此后的運動情況。情境1：如圖1所示，空間存在水平方向的勻強磁場（垂直紙面向里），磁感應強度大小為，在磁場中點處有一質量為、電荷量為的帶電粒子。已知重力加速度。（1）若使帶電粒子獲得某一水平向右的初速度，恰好做勻速直線運動，求該粒子的速度大??；情境2：質譜儀由離子室、加速電場、速度選擇器和分離器四部分組成，如圖2所示。已知速度選擇器的兩極板間的電場強度為，磁感應強度大小為，方向垂直紙面向里，分離器中磁感應強度大小為，方向垂直紙面向外。某次實驗離子室內充有某種帶電離子，經(jīng)加速電場加速后從速度選擇器兩極板間的中點平行于極板進入，部分離子通過小孔后進入分離器的偏轉磁場中。在速度選擇器中，沿直線運動的離子打在感光區(qū)域的點，測得到點的距離為。不計離子的重力及離子間的相互作用，不計小孔、的孔徑大小。（2）求該離子的比荷；（3）若從點入射的離子速度滿足時（很小），也能從點進入分離器，求該速度選擇器寬度的最小值和板長需要滿足的條件。3．（2023·天津西青·二模）如圖所示，在x軸的上方存在垂直紙面向里，磁感應強度大小為B0的勻強磁場。位于x軸下方的離子源C發(fā)射質量為m、電荷量為q的一束負離子，其初速度大小范圍，這束離子經(jīng)電勢差的電場加速后，從小孔O（坐標原點）垂直x軸并垂直磁場射入磁場區(qū)域，最后打到x軸上。在x軸上區(qū)間水平固定放置一探測板（），假設每秒射入磁場的離子總數(shù)為N0，打到x軸上的離子數(shù)均勻分布（離子重力不計）。（1）求離子束從小孔O射入磁場后打到x軸最遠處位置（用含的物理量a表示）；（2）調整磁感應強度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測板右端，求此時的磁感應強度大小B1；（3）保持磁感應強度B1不變，求每秒打在探測板上的離子數(shù)N；若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，被吸收和被彈回的離子數(shù)在探測板上沿x軸均勻分布，求探測板受到的作用力大小。專題二回旋加速器的綜合計算4．（2021·江蘇·高考真題）如圖1所示，回旋加速器的圓形勻強磁場區(qū)域以O點為圓心，磁感應強度大小為B，加速電壓的大小為U、質量為m、電荷量為q的粒子從O附近飄入加速電場，多次加速后粒子經(jīng)過P點繞O做圓周運動，半徑為R，粒子在電場中的加速時間可以忽略。為將粒子引出磁場，在P位置安裝一個“靜電偏轉器”，如圖2所示，偏轉器的兩極板M和N厚度均勻，構成的圓弧形狹縫圓心為Q、圓心角為，當M、N間加有電壓時，狹縫中產生電場強度大小為E的電場，使粒子恰能通過狹縫，粒子在再次被加速前射出磁場，不計M、N間的距離。求：（1）粒子加速到P點所需要的時間t；（2）極板N的最大厚度；（3）磁場區(qū)域的最大半徑。5．（2024·江蘇南通·二模）如圖所示，真空中有一回旋加速器，半徑為R0的兩D形盒內有垂直紙面向外、磁感應強度為B1的勻強磁場，左盒通過一水平管道與一個左右兩側都開有很小狹縫的圓筒相連，圓筒的半徑為r，圓筒內有垂直紙面向里的磁感應強度恒為B2的勻強磁場，現(xiàn)在左盒附近的點S放置一電子，在兩盒狹縫間加上一交變電壓來給電子周期性加速，經(jīng)過時間t電子便獲得一定速率貼著管壁通過水平管道后進入圓筒。已知電子在狹縫中加速次數(shù)與回旋半周的次數(shù)相同，電子的比荷為，電子在兩D盒狹縫間運動的時間不計，加速電子時電壓的大小可視為不變，電子重力不計。求：（1）進入圓筒磁場的電子獲得的速度大小；（2）兩D形盒間加速電壓U的值；（3）若D形盒中磁感應強度大小可調節(jié)，通過調節(jié)使電子與下圓筒壁發(fā)生多次彈性碰撞又不作循環(huán)的從圓筒的右狹縫直接離開圓筒，求電子與下圓筒壁碰撞n（n=1，2，3……）次后的速率。6．（2024·江蘇·二模）如圖所示，真空中有一回旋加速器，半徑為的兩D形盒處于垂直紙面向外、磁感應強度大小為的勻強磁場中，左側D形盒通過一水平管道與一個左右兩側都開有很小狹縫的圓筒相連，圓筒內存在垂直紙面向里、磁感應強度大小恒為的勻強磁場。S處粒子源產生初速度不計的電子，在兩D形盒狹縫之間的交變電場中被周期性加速，經(jīng)過時間t，電子射出左側D形盒，通過水平管道（未接觸管壁）后進入圓筒，與圓筒下壁發(fā)生多次彈性碰撞，最后從圓筒的右側狹縫離開。已知圓筒的半徑為r、電子的比荷為，電子在兩D形盒狹縫間運動的時間不計，交變電場的電壓大小恒定，電子未與圓筒上壁碰撞，電子重力不計。（1）求電子進入圓筒時的速度大小；（2）求交變電場的電壓大?。唬?）調節(jié)兩D形盒處的磁場大小，可使電子與圓筒下壁碰撞不同的次數(shù)，當碰撞次數(shù)為n（n＝1，2，3，…）時，求對應電子在圓筒中運動的速率。7．（2024·陜西安康·二模）如圖所示，為回旋加速器的工作原理示意圖，兩個D形盒的正中間有狹縫，狹縫寬度為d，狹縫之間存在勻強電場，電場強度為E；兩個半徑為R的D形盒接上高頻交流電，并處在勻強磁場中，在的中心A處有一個粒子源，它產生并發(fā)出比荷為k的帶正電粒子，粒子的初速度視為0，經(jīng)加速后從D形盒的邊緣以速度v飛出，不計粒子重力，求：（1）粒子在狹縫之間運動的總時間和勻強磁場的磁感應強度；（2）粒子第4次被加速結束的瞬間位置與A點之間的距離。專題三霍爾效應8．（2023·浙江·高考真題）某興趣小組設計的測量大電流的裝置如圖所示，通有電流I的螺繞環(huán)在霍爾元件處產生的磁場，通有待測電流的直導線垂直穿過螺繞環(huán)中心，在霍爾元件處產生的磁場。調節(jié)電阻R，當電流表示數(shù)為時，元件輸出霍爾電壓為零，則待測電流的方向和大小分別為（）A．， B．，C．， D．，9．（2024·山東·二模）手機中內置的指南針是一種基于霍爾效應的磁傳感器。如圖所示，將一塊寬度為，厚度為的半導體薄片（載流子為自由電子）水平放置于地磁場中，當半導體中通入水平方向的恒定電流時，自由電子在洛倫茲力的作用下發(fā)生偏轉，繼而在兩個表面上出現(xiàn)了電勢差，稱為霍爾電勢差。已知電流大小為，霍爾電勢差大小為，電子的電荷量大小為，半導體內自由電子的數(shù)密度（單位體積內的自由電子數(shù)）為。該處地磁場磁感應強度的豎直分量的大小為（）A． B． C． D．10．（2024·浙江·二模）圖為微量振蕩天平測量大氣顆粒物質量的原理簡圖。氣流穿過濾膜后，顆粒物附著在濾膜上增加錐形振蕩管的質量，從而改變其固有頻率。起振器從低到高改變振動頻率，記錄霍爾元件a、b端輸出的電信號，從而推測出濾膜上顆粒物質量。已知霍爾元件寬度為d，下列說法正確的是（）A．起振器振動頻率增大，錐形振蕩管的振幅一定增大B．起振器振動頻率增大，錐形振蕩管的振動頻率不變C．錐形振蕩管左右振動時，霍爾元件的a、b端輸出交流信號D．霍爾元件的寬度d增加，霍爾電壓的最大值減小11．（2022·北京·高考真題）指南針是利用地磁場指示方向的裝置，它的廣泛使用促進了人們對地磁場的認識?，F(xiàn)代科技可以實現(xiàn)對地磁場的精確測量。（1）如圖1所示，兩同學把一根長約10m的電線兩端用其他導線連接一個電壓表，迅速搖動這根電線。若電線中間位置的速度約10m/s，電壓表的最大示數(shù)約2mV。粗略估算該處地磁場磁感應強度的大小B地；（2）如圖2所示，一矩形金屬薄片，其長為a，寬為b，厚為c。大小為I的恒定電流從電極P流入、從電極Q流出，當外加與薄片垂直的勻強磁場時，M、N兩電極間產生的電壓為U。已知薄片單位體積中導電的電子數(shù)為n，電子的電荷量為e。求磁感應強度的大小B；（3）假定（2）中的裝置足夠靈敏，可用來測量北京地區(qū)地磁場磁感應強度的大小和方向，請說明測量的思路。專題四磁流體發(fā)電機、電磁流量計的相關計算12．（2021·河北·高考真題）如圖，距離為d的兩平行金屬板P、Q之間有一勻強磁場，磁感應強度大小為，一束速度大小為v的等離子體垂直于磁場噴入板間，相距為L的兩光滑平行金屬導軌固定在與導軌平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度大小為，導軌平面與水平面夾角為，兩導軌分別與P、Q相連，質量為m、電阻為R的金屬棒垂直導軌放置，恰好靜止，重力加速度為g，不計導軌電阻、板間電阻和等離子體中的粒子重力，下列說法正確的是（）A．導軌處磁場的方向垂直導軌平面向上，B．導軌處磁場的方向垂直導軌平面向下，C．導軌處磁場的方向垂直導軌平面向上，D．導軌處磁場的方向垂直導軌平面向下，13．（2024·江西·高考真題）石墨烯是一種由碳原子組成的單層二維蜂窩狀晶格結構新材料，具有豐富的電學性能．現(xiàn)設計一電路測量某二維石墨烯樣品的載流子（電子）濃度。如圖（a）所示，在長為a，寬為b的石墨烯表面加一垂直向里的勻強磁場，磁感應強度為B，電極1、3間通以恒定電流I，電極2、4間將產生電壓U。當時，測得關系圖線如圖（b）所示，元電荷，則此樣品每平方米載流子數(shù)最接近（

）A． B． C． D．14．（2025·寧夏陜西·二模）人體血管狀況及血液流速可以反映身體健康狀態(tài)。血管中的血液通常含有大量的正負離子。如圖，血管內徑為d，血流速度v方向水平向右。現(xiàn)將方向與血管橫截面平行，且垂直紙面向內的勻強磁場施于某段血管，其磁感應強度大小恒為B，當血液的流量（單位時間內流過管道橫截面的液體體積）一定時（）A．血管上側電勢低，血管下側電勢高 B．若血管內徑變小，則血液流速變小C．血管上下側電勢差與血液流速無關 D．血管上下側電勢差變大，說明血管內徑變小15．（2024·湖北·高考真題）磁流體發(fā)電機的原理如圖所示，MN和PQ是兩平行金屬極板，勻強磁場垂直于紙面向里。等離子體（即高溫下電離的氣體，含有大量正、負帶電粒子）從左側以某一速度平行于極板噴入磁場，極板間便產生電壓。下列說法正確的是（）A．極板MN是發(fā)電機的正極B．僅增大兩極板間的距離，極板間的電壓減小C．僅增大等離子體的噴入速率，極板間的電壓增大D．僅增大噴入等離子體的正、負帶電粒子數(shù)密度，極板間的電壓增大專題五粒子在電場和磁場中的往復運動16．（2024·重慶九龍坡·二模）如圖所示，在直線MN下方充滿豎直向上的勻強電場，電場強度為E，直線MN上方充滿垂直平面向里的勻強磁場。磁場中的Q點固定有一可視為質點的絕緣磁場換向開關。從勻強電場中的P點靜止釋放一個質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子，粒子從N點進入磁場后，運動到Q點與磁場換向開關發(fā)生碰撞。碰撞后勻強磁場方向立即反向，大小不變，碰撞對粒子的電荷量及電性無影響。P、N兩點之間的距離為L，Q到直線MN的距離也為L，Q、N兩點之間的距離為2L。忽略邊界效應及磁場突變的影響，不計粒子重力。(1)求勻強磁場的磁感應強度大?。?2)若該勻強磁場只存在于直線MN上方某區(qū)域（大小不變），粒子第一次與磁場換向開關碰撞后速度的大小變?yōu)榕鲎睬暗?，速度的方向與碰撞前相反，且碰撞后粒子能夠垂直通過直線MN上的S點（S點未畫出），求SN間的距離；(3)若該勻強磁場只存在于直線MN上方某區(qū)域（大小不變），粒子每次碰撞后速度的大小均變?yōu)榕鲎睬暗?，速度的方向與碰撞前相反。粒子每次離開磁場區(qū)域后，磁場的方向立即變回垂直平面向里。且粒子每次均能垂直通過直線MN，求從P點釋放開始到第n次與磁場換向開關碰撞所經(jīng)歷的時間。17．（2024·新疆河南·高考真題）一質量為m、電荷量為的帶電粒子始終在同一水平面內運動，其速度可用圖示的直角坐標系內，一個點表示，、分別為粒子速度在水平面內兩個坐標軸上的分量。粒子出發(fā)時P位于圖中點，粒子在水平方向的勻強電場作用下運動，P點沿線段ab移動到點；隨后粒子離開電場，進入方向豎直、磁感應強度大小為B的勻強磁場，P點沿以O為圓心的圓弧移動至點；然后粒子離開磁場返回電場，P點沿線段ca回到a點。已知任何相等的時間內P點沿圖中閉合曲線通過的曲線長度都相等。不計重力。求（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑和周期；（2）電場強度的大小；（3）P點沿圖中閉合曲線移動1周回到a點時，粒子位移的大小。18．（2023·重慶·高考真題）某同學設計了一種粒子加速器的理想模型。如圖所示，xOy平面內，x軸下方充滿垂直于紙面向外的勻強磁場，x軸上方被某邊界分割成兩部分，一部分充滿勻強電場（電場強度與y軸負方向成α角），另一部分無電場，該邊界與y軸交于M點，與x軸交于N點。只有經(jīng)電場到達N點、與x軸正方向成α角斜向下運動的帶電粒子才能進入磁場。從M點向電場內發(fā)射一個比荷為的帶電粒子A，其速度大小為v0、方向與電場方向垂直，僅在電場中運動時間T后進入磁場，且通過N點的速度大小為2v0。忽略邊界效應，不計粒子重力。（1）求角度α及M、N兩點的電勢差。（2）在該邊界上任意位置沿與電場垂直方向直接射入電場內的、比荷為的帶電粒子，只要速度大小適當，就能通過N點進入磁場，求N點橫坐標及此邊界方程。（3）若粒子A第一次在磁場中運動時磁感應強度大小為B1，以后每次在磁場中運動時磁感應強度大小為上一次的一半，則粒子A從M點發(fā)射后，每次加速均能通過N點進入磁場。求磁感應強度大小B1及粒子A從發(fā)射到第n次通過N點的時間。19．（2023·山東·高考真題）如圖所示，在，的區(qū)域中，存在沿y軸正方向、場強大小為E的勻強電場，電場的周圍分布著垂直紙面向外的恒定勻強磁場。一個質量為m，電量為q的帶正電粒子從OP中點A進入電場（不計粒子重力）。（1）若粒子初速度為零，粒子從上邊界垂直QN第二次離開電場后，垂直NP再次進入電場，求磁場的磁感應強度B的大?。唬?）若改變電場強度大小，粒子以一定的初速度從A點沿y軸正方向第一次進入電場、離開電場后從P點第二次進入電場，在電場的作用下從Q點離開。（i）求改變后電場強度的大小和粒子的初速度；（ii）通過計算判斷粒子能否從P點第三次進入電場。

專題六帶電粒子在交變磁場中的運動20．（2022·河北·高考真題）兩塊面積和間距均足夠大的金屬板水平放置，如圖1所示，金屬板與可調電源相連形成電場，方向沿y軸正方向。在兩板之間施加磁場，方向垂直平面向外。電場強度和磁感應強度隨時間的變化規(guī)律如圖2所示。板間O點放置一粒子源，可連續(xù)釋放質量為m、電荷量為、初速度為零的粒子，不計重力及粒子間的相互作用，圖中物理量均為已知量。求：（1）時刻釋放的粒子，在時刻的位置坐標；（2）在時間內，靜電力對時刻釋放的粒子所做的功；（3）在點放置一粒接收器，在時間內什么時刻釋放的粒子在電場存在期間被捕獲。21．（2025·重慶·二模）如圖所示，空間有一圓心為O，半徑為d，垂直紙面向外的圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應強度，磁場正下方有一板間距為2d的平行板電容器。y軸是電容器的中心軸線，A、B分別為極板左右邊緣兩點，AB連線與圓形磁場相切。連線上的P點距B點0.5d。從距圓形磁場圓周上C點L處開始存在多個間距為L1、L2?Ln的垂直紙面向外的窄條形磁場B1、B2?Bn。磁場間距Ln滿足Ln=nL（n為正整數(shù)），相鄰條形磁場間的無磁場區(qū)域，其間距始終為L。每個磁場的邊界均與y軸平行，且位于x軸下方?，F(xiàn)電容器左右極板間加上如圖乙所示的周期為T的交變電壓，大量比荷為k的正粒子從y軸上的M點以相同速度v0沿y軸正向射入電容器，其中t=0時刻射入的粒子恰好在T時刻到達P點。不計粒子重力及電場邊緣效應和粒子間相互作用。(1)求平行板電容器板長L0及電壓U0的值；(2)若t時刻打入平行板電容器的粒子能經(jīng)C點沿x軸正向射出圓形磁場，求t的可能值；(3)若窄條形磁場的磁感應強度Bn滿足（n為正整數(shù)），且。將能打入條形磁場的粒子能到達的最遠磁場記為Bn，到達的最近磁場記為Bm，求n-m的值。22．（2024·山東泰安·二模）如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內建立xOy坐標系，在第Ⅱ象限內有平行于桌面的勻強電場，場強方向與x軸負方向的夾角θ＝45°。在第Ⅲ象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板、，兩板間距為，板間有垂直于桌面向上的勻強磁場，兩板右端在y軸上，板與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標原點O的距離為L＝0.72m。在第Ⅳ象限垂直于x軸放置一塊平行y軸且沿y軸負向足夠長的豎直平板，平板在x軸上垂足為Q，垂足Q與原點O相距現(xiàn)將一帶負電的小球從桌面上的P點以初速度垂直于電場方向射出，剛好垂直于x軸穿過板上的M孔，進入磁場區(qū)域。已知小球可視為質點，小球的比荷，P點與小孔M在垂直于電場方向上的距離，不考慮空氣阻力。求：（1）勻強電場的場強大小；（2）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板上，求磁感應強度的取值范圍；（3）以小球從M點進入磁場開始計時，磁場的磁感應強度隨時間呈周期性變化，規(guī)定磁場方向垂直于桌面向上為正方向，如圖乙所示，求小球打到平板上的位置到Q點的距離。（，計算結果保留兩位小數(shù)）專題七帶電粒子在疊加場中做旋進運動23．（2022·浙江·高考真題）如圖為某一徑向電場的示意圖，電場強度大小可表示為，a為常量。比荷相同的兩粒子在半徑r不同的圓軌道運動。不考慮粒子間的相互作用及重力，則（）A．軌道半徑r小的粒子角速度一定小B．電荷量大的粒子的動能一定大C．粒子的速度大小與軌道半徑r一定無關D．當加垂直紙面磁場時，粒子一定做離心運動24．（2024·甘肅·高考真題）質譜儀是科學研究中的重要儀器，其原理如圖所示。Ⅰ為粒子加速器，加速電壓為U；Ⅱ為速度選擇器，勻強電場的電場強度大小為，方向沿紙面向下，勻強磁場的磁感應強度大小為，方向垂直紙面向里；Ⅲ為偏轉分離器，勻強磁場的磁感應強度大小為，方向垂直紙面向里。從S點釋放初速度為零的帶電粒子（不計重力），加速后進入速度選擇器做直線運動、再由O點進入分離器做圓周運動，最后打到照相底片的P點處，運動軌跡如圖中虛線所示。（1）粒子帶正電還是負電？求粒子的比荷。（2）求O點到P點的距離。（3）若速度選擇器Ⅱ中勻強電場的電場強度大小變?yōu)椋源笥冢较虿蛔?，粒子恰好垂直打在速度選擇器右擋板的點上。求粒子打在點的速度大小。25．（2024·浙江·二模）磁控管是微波爐的核心器件，磁控管中心為熱電子發(fā)射源，電子在電場和磁場的共同作用下，形成了如圖甲所示的漂亮形狀。現(xiàn)將該磁控管簡化成如圖乙所示的裝置，兩足夠長的平行金屬板相距4d，板間中心有一電子發(fā)射源S向各個方向發(fā)射初速度大小為v0的電子。已知電子比荷為，僅考慮紙平面內運動的電子，回答以下問題：(1)若兩板間不加磁場，僅接一電壓恒為U的電源，其中，求：①電子在板間運動的加速度的大??；②電子打到金屬板的最長時間和最短時間之差。(2)若兩板間不接電源，僅加垂直紙面向里的勻強磁場B，其中，求：①有電子打到的金屬板總長度；②打在金屬板上的電子占發(fā)射電子總數(shù)的百分比。在兩金屬板之間接一電壓恒為U的電源的同時，加一垂直紙面向里的勻強磁場B，其中，?？紤]初速度v0水平向右的電子，求該電子打在金屬板上時速度的大小和方向。專題八帶電粒子在疊加場中的一般曲線運動26．（2024·貴州·高考真題）如圖，邊長為L的正方形區(qū)域及矩形區(qū)域內均存在電場強度大小為E、方向豎直向下且與邊平行的勻強電場，右邊有一半徑為且與相切的圓形區(qū)域，切點為的中點，該圓形區(qū)域與區(qū)域內