福建省福州市閩侯縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷2

第1頁/共1頁福建省福州市閩侯縣第二中學(xué)20242025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷滿分150分時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點，且方向向量，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線的方向向量求出斜率，再由點斜式得到直線方程即可.【詳解】因為直線的方向向量，所以直線的斜率為2，又直線經(jīng)過點，所以直線方程為，即.故選：B.2.過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】借助待定系數(shù)法計算即可得.【詳解】令該圓圓心為，半徑為，則該圓方程為，則有，解得，故該圓方程為.故選：D.3.過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，，，，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，所以，因，所以.故選：B.4.如圖所示，在棱長為2的正方體中，E為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，，進(jìn)而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，以D為原點，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為正方體的棱長為2，則.所以，又所以.故選：C.5.已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得，然后根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，符合題意，當(dāng)時，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B6.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，為的中點，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義以及的位置關(guān)系及長度，構(gòu)造齊次方程即可解得離心率.【詳解】如下圖所示：

因為的中點，且，則，由橢圓的定義，則，又為的中點，可得，因為，由勾股定理可得，即；又因，代入整理得：，即，解得或（舍）.故選：C.7.在中，點，點，點A滿足，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，得到方程，求出點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個交點），數(shù)形結(jié)合得到點到直線的距離最大值為，求出面積的最大值.【詳解】設(shè)，則，由得，化簡得，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個交點），故點到直線的距離最大值為，故面積的最大值為.故選：B8.在中，角，，所對邊為，，，且，．又點，，都在球的球面上，且點到平面的距離為，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)截面圓半徑和球心距即可求得球半徑，進(jìn)而求得球的體積.【詳解】的外接圓半徑則球的半徑則球的體積為故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.以下四個命題表述正確的是（）A.過點）且在軸、軸上截距相等的直線方程為B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.已知圓，過點向圓引兩條切線為切點，則直線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)截距可為零、點到直線距離、圓與圓的位置關(guān)系，公共弦所在直線方程等知識對選項進(jìn)行分析，由此確定正確選項.【詳解】A選項，如果截距為零，則直線方程為，故A錯誤.B選項，圓的圓心為原點，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1，B選項正確.C選項，圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為，由于、有三條公切線，所以兩個圓外切，所以，，C選項正確.D選項，圓的圓心為原點，半徑為.，以為直徑的圓的方程為，即，則所在直線方程為即.故D選項正確.故選：BCD10.已知橢圓，，分別為它的左右焦點,分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（）A.點P到右焦點的距離的最大值為9，最小值為1B.的最小值為C.若，則的面積為D.直線與直線斜率乘積為定值【答案】ABC【解析】【分析】A.選項用焦半徑公式判定；B.位于橢圓上頂點時最大，用余弦定理；C.橢圓焦點三角形面積公式得；D.根據(jù)橢圓性質(zhì)有.【詳解】解：由題意可得：，對于A.根據(jù)焦半徑公式得，當(dāng)時，當(dāng)時，所以A正確.對于B.位于橢圓上頂點時最大，此時最小，且根據(jù)余弦定理可得：，所以B正確對于C.根據(jù)橢圓焦點三角形面積公式得，所以C正確對于D.根據(jù)橢圓性質(zhì)有，所以D不正確.【點睛】橢圓中常用公式：（1）焦半徑公式；（2）橢圓焦點三角形面積公式得；（3）根據(jù)橢圓，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點則：.11.已知正方體棱長為，如圖，為上的動點，平面.下面說法正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值范圍為B.點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D.已知為中點，當(dāng)?shù)暮妥钚r，為的中點【答案】AC【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點、、、、、，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形與矩形延展為一個平面，利用、、三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點、、設(shè)點，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；對于B選項，當(dāng)與重合時，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；對于C選項，設(shè)平面交棱于點，點，，平面，平面，，即，得，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；對于D選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：若最短，則、、三點共線，，，，所以，點不是棱的中點，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計算能力，屬于難題.第二部分（非選擇題共92分）二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)是______.【答案】【解析】【分析】利用中點關(guān)系和垂直關(guān)系可求對稱點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)所求對稱點坐標(biāo)為，則，故，故對稱點的坐標(biāo)為，故答案為：13.已知是棱長為1的正四面體.若點滿足，其中，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得點在平面內(nèi)，再求出正四面體的高即可.【詳解】由點滿足，其中，得點在平面內(nèi)，因此的最小值即為正四面體的底面上的高，令點在底面上的射影為，則為正的中心，，所以的最小值為.故答案為：14.定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則______.若“黃金橢圓”的兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，則______.【答案】①.②.【解析】【分析】先由黃金橢圓的離心率是待定；再利用將所求轉(zhuǎn)化為三角形面積之比，然后由分割法結(jié)合橢圓定義用及分別表示面積求解即可.【詳解】由橢圓為“黃金橢圓”，則離心率，可得，所以；如圖所示，連接，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，所以，所以，因為，所以，所以.故答案為：；三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個工業(yè)園.（1）以為坐標(biāo)原點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點的坐標(biāo)；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件求出直線的方程，設(shè)出點坐標(biāo)，代點到直線的距離公式即可求出所求；(2)由(1)及題意設(shè)出直線的方程后，即可求得點的橫坐標(biāo)，與點的縱坐標(biāo)，由求得后，即可求解.【詳解】(1)以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系由題意可設(shè)點，且直線的斜率為，并經(jīng)過點，故直線的方程為：，又因點到的距離為，所以，解得或(舍去)所以點坐標(biāo)為.(2)由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)其直線方程為：，與直線的方程：，聯(lián)立后解得:，對直線方程：，令，得，所以，解得，所以直線方程為：，即:.【點睛】本題以直線方程的相關(guān)知識為背景，旨在考查學(xué)生分析和解決問題的能力，屬于中檔題.16.已知圓C：，直線l恒過點（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】(1)分類討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點到直線的距離公式和圓的垂徑定理計算即可.【小問1詳解】由題意可知，圓C的圓心為，半徑，

①當(dāng)直線l的斜率不存在時，即l的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；

②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，

化為一般式：，若直線l與圓相切，

則，即，解得，

：，即l：，

綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時，直線l的方程為或；【小問2詳解】由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，

直線l的方程為，即，

設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，

由垂徑定理可得，，即，

整理得，，解得或，

則直線l的方程為或17.已知橢圓的一個焦點為，且離心率為，（1）求橢圓方程；（2）不過原點O的直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程．【答案】（1）（2）面積的最大值為，此時直線方程為.【解析】【分析】（1）求出基本量后可求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合弦長公式、面積公式可求面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求何時取何最大值，故可求最大值及對應(yīng)的直線.【小問1詳解】因為，故，而離心率為，故，，故橢圓方程為：.【小問2詳解】由得到，故，故，而直線不過原點，故，故或.故，又到的距離為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最大值為，此時直線方程為.18.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，．（1）證明：；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點，連接，根據(jù)側(cè)面為菱形，得到，再由，得到平面進(jìn)而得到證明.（2）易證兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，然后由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：連接，交于點，連接，因為側(cè)面為菱形，所以，且為與的中點，又，，所以平面.由于平面，故.又，故.【小問2詳解】解：因為，且為的中點，所以，又因為，所以≌，故，從而兩兩相互垂直，為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)，因為，所以為等邊三角形，設(shè)，則，所以，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，令，則.設(shè)是平面的一個法向量，則，即令，同理可取則，所以平面與平面所成角的余弦值為.19.已知動點與點的距離和它到直線：的距離的比是.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知定點，若，是軌跡上兩個不同動點，直線，的斜率分別為，，且，試判斷直線的斜率是否為定值，并說明理由.【答案】（1）；（2）斜率為定值，該值為1.【解析】【分析】(1)由動點與點的距離和它到直線：的距離的比是，可得方程，化簡可得的軌跡的方程；（2）設(shè)直線的斜率為