專題01任意角及其度量重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（15大題型15道提優(yōu)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升（2020）（原卷版）

專題01任意角及其度量重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（15大題型+15道提優(yōu)訓(xùn)練）題型一任意角的概念題型二弧度的概念題型三找出終邊相同的角題型四根據(jù)圖形寫出角（范圍）題型五確定已知角所在象限題型六由已知角所在的象限確定某角的范圍題型七確定n倍角所在象限題型八確定n分角所在象限題型九用弧度制表示角的集合題型十角度化為弧度題型十一弧度化為角度題型十二弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算題型十三扇形面積的有關(guān)計(jì)算題型十四扇形中的最值問題題型十五扇形弧長(zhǎng)公式與面積公式的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)01任意角1、任意角正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為k360ok360o90o,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k知識(shí)點(diǎn)02終邊相同的角與角終邊相同的角的集合為k360o,k已知是第幾象限角，確定/n*所在象限：若是第k象限角，把單位圓上每個(gè)象限的圓弧n等分，并從x軸正半軸開始，沿逆時(shí)針方向依次在每個(gè)區(qū)域標(biāo)上1,2,3,4，再循環(huán)，直到填滿為止，則有標(biāo)號(hào)k的區(qū)域是角/n終邊所在的范圍。知識(shí)點(diǎn)3弧度制的轉(zhuǎn)換1、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．2、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是是l/r.3、弧度制與角度制的換算公式：2360o，1o/180，1180o/57.3o．知識(shí)點(diǎn)04扇形若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則弧長(zhǎng)公式：lr，扇形周長(zhǎng)：C2rl，扇形面積：S1/2lr1/2rr．【經(jīng)典例題一任意角的概念】【例1】（2425高一下·上海靜安·課后作業(yè)）已知角和角，則下列說法正確的是（

）A．若角是第一象限角，則角是銳角B．若角和角的終邊相同，則C．若角和角分別是角的終邊繞端點(diǎn)按順、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)相同度數(shù)形成的角，則D．若角的終邊在第二象限，則角是鈍角1．（2324高一下·天津·階段練習(xí)）若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2324高一下·北京海淀·階段練習(xí)）時(shí)間經(jīng)過（時(shí)），時(shí)針轉(zhuǎn)了度，等于弧度；若時(shí)針長(zhǎng)度是1厘米，則時(shí)針（時(shí)）轉(zhuǎn)出的扇形面積是平方厘米.3．（2425高一下·上海·課后作業(yè)）中午12點(diǎn)以后，在什么時(shí)候（近似到幾點(diǎn)幾分幾秒）時(shí)針與分針第一次重合？什么時(shí)候（近似到幾點(diǎn)幾分幾秒）分針第一次在時(shí)針的反向延長(zhǎng)線上？【經(jīng)典例題二弧度的概念】【例2】（2324高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則此圓弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．21．（2324高一下·上海閔行·期末）春秋戰(zhàn)國時(shí)期，為指導(dǎo)農(nóng)耕，我國誕生了表示季節(jié)變遷的24節(jié)氣．它將黃道（地球繞太陽按逆時(shí)針方向公轉(zhuǎn)的軌道，可近似地看作圓）分為24等份，每等份為一個(gè)節(jié)氣，2022年10月8日為寒露，經(jīng)過霜降?立冬?小雪及大雪后，便是冬至，則從寒露到冬至，地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海·期末）設(shè)是正實(shí)數(shù)，將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線．若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線都可以看成是某一個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值為．3．（2324高一·全國·課堂例題）如圖，設(shè)扇形的圓心角，半徑為，弧長(zhǎng)為，扇形面積記為．

(1)用與表示扇形的面積；(2)用與表示扇形的面積．【經(jīng)典例題三找出終邊相同的角】【例3】（2324高一下·上海徐匯·期末）下列命題正確的是（

）．A．小于的角是銳角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．與終邊相同的最小正角是 D．若，則是第四象限角1．（2425高一下·上海楊浦·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．角和角是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在y軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知角α為鈍角，若4α角的終邊與α角的終邊重合，則角α=．3．（2425高一下·全國·課后作業(yè)）已知角．(1)將改寫成（，）的形式，并指出是第幾象限角；(2)在區(qū)間上找出與終邊相同的角．【經(jīng)典例題四根據(jù)圖形寫出角（范圍）】【例4】（2324高一下·上?！て谥校⒘拷瞧靼慈鐖D所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為，則∠ACB的大小為（

）A． B． C． D．1．（2425高一下·全國·課后作業(yè)）集合中角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A． B．C． D．2．（2324高一·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么.3．（2425高一下·上海·課堂例題）如圖，用弧度制分別寫出下列條件下的角的集合.(1)終邊在射線上；(2)終邊在直線上.【經(jīng)典例題五確定已知角所在象限】【例5】（2324高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．1．（2425高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）已知集合{是第二象限角}，{是鈍角}，{是大于的角}，那么的關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2324高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾；如果角的終邊在，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.3．（2425高一下·上海·課堂例題）設(shè)，，，.(1)將、用弧度制表示出來，并指出它們各自是哪個(gè)象限的角；(2)將、用角度制表示出來，并在–720°~0°之間找出與它們終邊重合的所有角.【經(jīng)典例題六由已知角所在的象限確定某角的范圍】【例6】（2324高一下·上海松江·期末）角是第二象限的角，則所在的象限為（

）A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限1．（2324高一下·上海寶山·期末）已知，則角所在的區(qū)間可能是（

）．A． B． C． D．2．（2324高一下·上海長(zhǎng)寧·期中）已知，則3．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖所示，用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合.【經(jīng)典例題七確定n倍角所在象限】【例7】（2324高一下·上海楊浦·期中）是第三象限角，且，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角1．（2324高一下·上海徐匯·期末）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上?！るA段練習(xí)）已知終邊在第四象限，則終邊所在的象限為．3．（2324高一下·上?！ふn后作業(yè)）已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個(gè)象限的角；（2）求的范圍.【經(jīng)典例題八確定n分角所在象限】【例8】（2324高一下·上海徐匯·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角1．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）下列命題中不正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①已知a，b是實(shí)數(shù)，則“”是“”的充分而不必要條件；②，使；③，；④若角的終邊在第一象限，則的取值集合為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2425高一下·上海靜安·階段練習(xí)）已知為第二象限角，那么是第象限角．3．（2324高一下·上?！ふn后作業(yè)）（1）如果角的終邊在第二象限，討論的終邊所在的位置；（2）由此可否得出在其他幾個(gè)象限的結(jié)論？請(qǐng)畫出的終邊在第一?二?三?四象限時(shí)，的終邊所在的位置；（3）類似地討論的位置(可設(shè)在第一象限，討論終邊的位置，并寫出其他幾個(gè)象限的情形).【經(jīng)典例題九用弧度制表示角的集合】【例9】（2024高一·全國·專題練習(xí)）用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（

）

A． B．C． D．2．（2324高一下·上海普陀·期末）走時(shí)精確的鐘表，中午時(shí)，分針與時(shí)針重合于表面上的位置，則當(dāng)下一次分針與時(shí)針重合時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于.3．（2324高一下·全國·課后作業(yè)）討論以下三個(gè)式子的意義：談?wù)勔牖《戎频暮锰帲窘?jīng)典例題十角度化為弧度】【例10】（2425高一下·上?！るA段練習(xí)）體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”這樣的動(dòng)作名稱，則化成弧度是（

）A． B． C． D．1．（2324高一下·上海奉賢·期末）將化為弧度制，正確的是（）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）寫出一個(gè)與角終邊相同的正角：（用弧度數(shù)表示）.3．（2324高一·上?！ふn后作業(yè)）已知相互咬合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是多少度？多少弧度？如果大輪的轉(zhuǎn)速是150r/min，小輪的半徑為10cm，那么小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是多少？【經(jīng)典例題十一弧度化為角度】【例11】（2324高一·全國·課堂例題）化為角度是（

）A． B． C． D．1．（2324高一下·上海徐匯·期末）如圖，在扇形中，，，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①；

②的長(zhǎng)等于；③扇形的周長(zhǎng)為；

④扇形的面積為．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2324高一下·上海青浦·期中）已知，若與的終邊相同，且，則3．（2324高一·全國·課堂例題）設(shè)，.(1)將用弧度表示出來，并指出它的終邊所在的象限；(2)將用角度表示出來，并在內(nèi)找出與它們終邊相同的所有的角.【經(jīng)典例題十二弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算】【例12】（2425高一下·上海楊浦·期末）中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．3 B．2 C． D．1．（2425高一下·上海閔行·期末）某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪，大輪有50個(gè)齒，小輪有個(gè)齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)圈，若小輪的半徑為，則小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．2．（2425高一下·天津·階段練習(xí)）如圖，扇形的面積等于，它的弧長(zhǎng)等于，則弦AB的長(zhǎng)為．

3．（2425高一下·上海寶山·期末）如圖所示，某城市中心有一圓形廣場(chǎng)，政府計(jì)劃在廣場(chǎng)上用柵欄圍一塊扇形環(huán)面區(qū)域（由扇形去掉扇形構(gòu)成）種植花卉，已知米，米，扇形環(huán)面區(qū)域面積為100平方米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記花卉周圍柵欄的長(zhǎng)度為米，試問取何值時(shí)，的值最小?并求出最小值．【經(jīng)典例題十三扇形面積的有關(guān)計(jì)算】【例13】（2425高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）一個(gè)扇形的圓心角為，面積為，則該扇形半徑為（

）A．4 B．1 C． D．21．（2324高一下·上海徐匯·開學(xué)考試）如圖，將含角的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分的面積，且，則.3．（2324高一下·上海松江·期中）如圖，這是一個(gè)扇形環(huán)面（由扇形挖去扇形后構(gòu)成）展臺(tái)，米．(1)若，米，求該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)；(2)若該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)為米，布置該展臺(tái)的平均費(fèi)用為元/平方米，求布置該扇形環(huán)面展臺(tái)的總費(fèi)用．【經(jīng)典例題十四扇形中的最值問題】【例14】（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為20，則該扇形的面積S的最大值為（

）A．10 B．15 C．20 D．251．（2324高一下·上海徐匯·期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，P是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，且，Q是線段BC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P固定時(shí)，點(diǎn)Q將運(yùn)動(dòng)到使取到最小值時(shí)的位置；當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，點(diǎn)P將運(yùn)動(dòng)到使取到最大值時(shí)的位置.當(dāng)某一時(shí)刻，點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足上述條件時(shí)，則（

） B． C．2 D．不存在2．（2324高一下·上海靜安·期末）已知扇形的周長(zhǎng)為8，則扇形的面積的最大值為，此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為．3．（2024·上海黃浦·二模）某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知，，線段BA，CD與，的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值.【經(jīng)典例題十五扇形弧長(zhǎng)公式與面積公式的應(yīng)用】【例15】（2324高一下·上海嘉定·期末）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成；一個(gè)半徑為的扇形，它的周長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是（

）A． B． C． D．1．（2324高一下·上海崇明·期末）《九章算術(shù)》是一部中國古代的數(shù)學(xué)專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱為“環(huán)田”（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝）書中提到如圖所示的一塊“環(huán)田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5（單位：弧度），則“該環(huán)田”的面積為（

）

A．600平方步 B．640平方步C．660平方步 D．700平方步2．（2324高一下·上海虹口·期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（弦×矢+矢2），弧田如圖，由圓弧和所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)為米的弧田，按照上述方法計(jì)算弧田的矢為米；面積為平方米.

3．（2324高一下·上海靜安·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為.(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角；(3)若扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大?1．（2324高一下·上?！て谥校┤羰堑诙笙藿牵瑒t（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角2．（2425高一·上?！るS堂練習(xí)）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（

）．A． B．C． D．3．（2324高一下·浙江杭州·期末）二十四節(jié)氣是中國古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節(jié)氣的對(duì)應(yīng)圖如圖所示，從2022年4月20日谷雨節(jié)氣到2022年12月7日大雪節(jié)氣圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個(gè)車輪上的點(diǎn)剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時(shí)到鐵軌上表面的距離為（

）A． B． C． D．5．（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）如圖所示，圓心為原點(diǎn)的單位圓的上半圓周上，有一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．分別連結(jié)，如此形成了三個(gè)區(qū)域，標(biāo)記如圖所示．使區(qū)域Ⅰ的面積等于區(qū)域Ⅱ、Ⅲ面積之和的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)6．（2425高一下·上?！て谀┦堑谙笙藿?7．（2324高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）的終邊與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值集合為