高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題九 計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-2025屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷

專題九計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)——2025屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2023年全國高考真題]某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為()A. B. C. D.1．答案：D解析：依題意，用，表示高一的2名學(xué)生，，表示高二的2名學(xué)生，則從4名學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生的選法有，，，，，，共6種，其中2名學(xué)生來自不同年級的選法有，，，，共4種，所以所求概率，故選D.2．將甲、乙等5名同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有()A.120種 B.150種 C.180種 D.240種2．答案：B解析：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將甲、乙等5名同學(xué)分成3組：若分成1，2，2的3組，則有（種）方法；若分成1，1，3的3組，則有（種）方法，故將5人分成3組，每組至少有1人，有（種）分組方法.②將分好的3組對應(yīng)三所大學(xué)，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有（種）.3．[2023春·高二·四川內(nèi)江·期中?？糫在的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)是()A. B. C. D.73．答案：C解析：依題意知第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以一共是9項(xiàng)，所以，二項(xiàng)式展開項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，令，得，所以的系數(shù)為.故選C.4．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8}，則()A. B. C. D.4．答案：B解析：易知，其中AB表示“兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8”，共有兩種情況，即，，故.而，所以.故選B.5．[2023春·高二·江蘇鹽城·月考聯(lián)考]已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年級1000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布，則此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有()A.477人 B.136人 C.341人 D.131人5．答案：B解析：根據(jù)題意，，則，故此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有人.故選：B.6．某工廠為了對研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)x（元）99.29.49.69.810銷量y（件）1009493908578預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從這種線性相關(guān)關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是5元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為()參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：，.A.9.4元 B.9.5元 C.9.6元 D.9.7元6．答案：B解析：由題意，得，，，，則.設(shè)工廠獲得利潤L元，則，當(dāng)時(shí)，L取得最大值.所以當(dāng)單價(jià)定為9.5元時(shí)，工廠獲得最大利潤，故選B.7．[2024春·高一·河南三門峽·期末?？糫某高中為了積極響應(yīng)國家“陽光體育運(yùn)動(dòng)”的號召,調(diào)查該校3000名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的情況,從高一、高二、高三三個(gè)年級學(xué)生中按照的比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣,收集了300名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位:小時(shí)）的數(shù)據(jù),整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列說法不正確的是()A.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長為5.8小時(shí)B.估計(jì)該校高一年級學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足4小時(shí)的人數(shù)為300C.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的百分比為10%D.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的人數(shù)為6007．答案：C解析：對于A,估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長為（小時(shí)）,故選項(xiàng)A正確;對于B,該校高一年級的總?cè)藬?shù)為,由題中頻率分布直方圖可知,該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足4小時(shí)的頻率為,所以估計(jì)該校高一年級學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足4小時(shí)的人數(shù)為,故選項(xiàng)B正確;對于C,估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的百分比為,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對于D,估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的人數(shù)為,故選項(xiàng)D正確.故選：C.8．甲、乙、丙三人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽，若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為，，，且三人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這三人中至少有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為()A.14 B. C. D.8．答案：D解析：設(shè)甲、乙、丙獲得一等獎(jiǎng)的概率分別是，，，則不獲一等獎(jiǎng)的概率分別是，，，則這三人中恰有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為：，這三人都獲得一等獎(jiǎng)的概率為，所以這三人中至少有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．[2020年全國高考真題]我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動(dòng)復(fù)工復(fù)產(chǎn).下面是某地連續(xù)11天的復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖.根據(jù)該折線圖，()A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加B.在這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量C.第3天至第11天，復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過D.第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量9．答案：CD解析：由題圖可知第8，9天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均減小，故A錯(cuò)誤；第1天時(shí)復(fù)工指數(shù)小于復(fù)產(chǎn)指數(shù)，第11天時(shí)兩指數(shù)相等，故復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯(cuò)誤；由題圖可知第3天至第11天，復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過，故C正確；第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確.10．已知的展開式中共有7項(xiàng)，則該二項(xiàng)展開式中()A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng) D.有理項(xiàng)共有4項(xiàng)10．答案：ACD解析：由題意知，則的展開式的通項(xiàng)為.對于A，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對于B，令，得，因此所有項(xiàng)的系數(shù)和為，不為1，故B錯(cuò)誤；對于C，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可知的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為，故C正確；對于D，當(dāng)，即時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，共有4項(xiàng)，故D正確.故選ACD.11．[2023春·高二·江蘇·期中聯(lián)考]紅、黃、藍(lán)被稱為三原色，選取任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色.已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色，等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色，等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)顏料各2瓶，甲同學(xué)從6瓶中任取2瓶顏料，乙同學(xué)再從余下的4瓶中任取2瓶顏料，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，A表示事件“甲同學(xué)調(diào)配出紅色”，B表示事件“甲同學(xué)調(diào)配出綠色”，C表示事件“乙同學(xué)調(diào)配出紫色”，則下列說法正確的是()A. B.C. D.事件B與事件C相互獨(dú)立11．答案：AC解析：從6瓶中任取2瓶顏料的方法數(shù)為.對于A，A表示事件“甲同學(xué)調(diào)配出紅色”，若調(diào)出紅色，需要2瓶顏料均為紅色，有種方法，則，故A正確；對于B，事件A發(fā)生需要2瓶顏料均為紅色，事件C發(fā)生需要1瓶紅色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，在事件A發(fā)生的條件下，事件C不可能發(fā)生，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，若事件B發(fā)生，則甲同學(xué)取出1瓶黃色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，則，此時(shí)還剩1瓶黃色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，2瓶紅色顏料，則，故，故C正確；對于D，若事件C發(fā)生，則乙取了1瓶紅色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，甲同學(xué)取了至少1瓶黃色顏料或甲同學(xué)取了一瓶紅色顏料和一瓶藍(lán)色顏料，則，，事件B與事件C不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選AC.三、填空題12．一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”（如213，134等）.若，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是_________.12．答案：解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個(gè)；同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，由1，3，4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，由2，3，4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，共有24個(gè)三位自然數(shù).由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個(gè).所以這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率.13．已知隨機(jī)變量X有三個(gè)不同的取值，分別是0，1，x，其中，又，，則隨機(jī)變量X方差的最小值為__________.13．答案：解析：由，，得，所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則方差.當(dāng)時(shí)，取到最小值，故答案為.14．[2023屆·西北工業(yè)大學(xué)附中·模擬考試]將8張連號的門票分給5個(gè)家庭，甲家庭需要3張連號的門票，乙家庭需要2張連號的門票，剩余的3張門票隨機(jī)分給其余的3個(gè)家庭，并且甲、乙兩個(gè)家庭不能連排在一起（甲、乙兩個(gè)家庭內(nèi)部成員的順序不予考慮），則這8張門票不同的分配方法有_________種.14．答案：72解析：設(shè)8張門票的編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8.若甲選123，則乙可以是56，67，78共3種，此時(shí)共有種；若甲選234，則乙可以是67，78共2種，此時(shí)共有種；若甲選345，則乙可以是78共1種，此時(shí)共有種；若甲選456，則乙可以是12共1種，此時(shí)共有種；若甲選567，則乙可以是12，23共2種，此時(shí)共有種；若甲選678，則乙可以是12，23，34共3種，此時(shí)共有種.綜上所述，不同的分配方法有種.四、解答題15．[2024春·高一·青海西寧·期末]為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)）,高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖所提供的信息：(1)用分層抽樣的方法在和中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組,再從該小組派3人接受檢測,求檢測的3人來自同一區(qū)間的概率;(2)估計(jì)這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù).15．答案：(1);(2)8.75小時(shí).解析：(1)由圖可知,40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)為人,周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)為人,從中用分層抽樣抽取6人,則周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在的有4人,記為A,B,C,D;周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在的有2人,記為a,b;則再從中選派3人接受檢測的基本事件有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有20個(gè),其中檢測的3人來自同一區(qū)間的基本事件有,,,共有4個(gè),所以檢測的3人來自同一區(qū)間的概率;(2)學(xué)習(xí)時(shí)間在5小時(shí)以下的頻率為,學(xué)習(xí)時(shí)間在10小時(shí)以下的頻率為,所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi),則,所以這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為8.75小時(shí).16．[2024春·高二·寧夏石嘴山·月考?？糫2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動(dòng)開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實(shí)時(shí)開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設(shè)備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類服務(wù).”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與(a，b，c，d均為常數(shù))哪一個(gè)更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)（3）從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設(shè)，().參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，16．答案：（1）更適宜（2），65.35百萬元（3）分布列見解析，1解析：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型；（2）因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，得，設(shè)，所以，因?yàn)?，，所以所?所以，即，所以.令，得，故預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬元.（3）前6個(gè)月的收入中，收入超過20百萬元的有3個(gè)，所以X的取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為：X012P所以.17．[2024春·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試校考]衛(wèi)生紙主要供人們生活日常衛(wèi)生之用，是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠家為保證產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行品質(zhì)鑒定，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：合格品優(yōu)等品甲生產(chǎn)線250250乙生產(chǎn)線300200（1）判斷能否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)；（2）用頻率近似為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件進(jìn)行詳細(xì)檢測，記抽取的產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中0.100.050.0250.0100.0012.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）沒有；（2）分布列見解析，解析：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：合格品優(yōu)等品總計(jì)甲生產(chǎn)線250250500乙生產(chǎn)線300200500總計(jì)5504501000根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，所以沒有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān).（2）由題意，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取優(yōu)等品的頻率為，乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取優(yōu)等品的頻率為，所以估計(jì)從甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取優(yōu)等品的概率分別為，，由題意隨機(jī)變量X的所有可能取值是0，1，2，3，4，，，，，，故X的分布列為：X01234P所以X的期望.18．[2024春·高二·福建寧德·期末]毒品是人類的公敵，禁毒是社會(huì)的責(zé)任，當(dāng)前寧德市正在創(chuàng)建全國禁毒示范城市，我市組織學(xué)生參加禁毒知識競賽，為了解學(xué)生對禁毒有關(guān)知識的掌握情況，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了500名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，成績?nèi)糠植荚诜种g，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為這次全市學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，現(xiàn)從全市所有參賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成績超過135.2分的人數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的期望.結(jié)果精確到；（3）全市組織各校知識競賽成績優(yōu)秀的同學(xué)參加總決賽，總決賽采用闖關(guān)的形式進(jìn)行，共有20個(gè)關(guān)卡，每個(gè)關(guān)卡的難度由計(jì)算機(jī)根據(jù)選手上一關(guān)卡的完成情況進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整，第二關(guān)開始，若前一關(guān)未通過，則其通過本關(guān)的概率為；若前一關(guān)通過，則本關(guān)通過的概率為，已知甲同學(xué)第一關(guān)通過的概率為，記甲同學(xué)通過第n關(guān)的概率為，請寫出的表達(dá)式，并求出的最大值.附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3），的最大值為.解析：（1）由頻率分布直方圖，得，解得.（2）由題意得：，，，，.（3）記甲同學(xué)第關(guān)通過為事件，依題意，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以，所以，又因?yàn)椋瑒t，所以數(shù)