2024高考數(shù)學一輪復習課后限時集訓45空間幾何體的表面積與體積文北師大版

PAGE1-課后限時集訓45空間幾何體的表面積與體積建議用時：45分鐘一、選擇題1．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2\r(2)π,3)B.eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)πD．4eq\r(2)πB[依題意知，該幾何體是以eq\r(2)為底面半徑，eq\r(2)為高的兩個同底圓錐組成的組合體，則其體積V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(2))2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)π.]2．一個正方體挖去一個多面體所得的幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖和俯視圖均為邊長等于2的正方形，則這個幾何體的表面積為()A．16＋4eq\r(3) B．16＋4eq\r(5)C．20＋4eq\r(3) D．20＋4eq\r(5)D[由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體的內(nèi)部挖去一個底面邊長為2的正四棱錐，將三視圖還原可得如圖，可得其表面積為S＝5×22＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝20＋4eq\r(5)，故選D.]3．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3D[由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，∴V＝eq\f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.]4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)C[法一：該幾何體的直觀圖為四棱錐S-ABCD，如圖，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝DC＝1，連接BD，由題意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四邊形ABCD＝1，所以VS-ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·SD＝eq\f(1,3)，故選C.法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S＝1，h指的是錐體的高，從主視圖和左視圖易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)，故選C.]5．正四棱錐V-ABCD的五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4，側(cè)棱長為2eq\r(6)，則此球的體積為()A．72eq\r(2)π B．36πC．9eq\r(2)π D.eq\f(9π,2)B[∵正四棱錐V-ABCD的五個頂點在同一個球面上，其底面邊長為4，側(cè)棱長為2eq\r(6)，∴正四棱錐的高為eq\r(2\r(6)2－2\r(2)2)＝4，設外接球的半徑為R，則R2＝(4－R)2＋(2eq\r(2))2，∴R＝3，∴球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×33＝36π，故選B.]二、填空題6．(2024·泉州模擬)如圖，某三棱錐的三視圖都是直角邊長為2的等腰直角三角形．若該三棱錐的全部頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．12π[由三視圖知該三棱錐中有一個頂點發(fā)出的三條棱兩兩垂直，且這三條棱的棱長均為2，因此可將此三棱錐補為一個棱長為2的正方體，如圖所示，記該三棱錐為A-BCD，依據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征知，正方體的外接球就是三棱錐A-BCD的外接球，則外接球的直徑為eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，所以外接球的半徑R＝eq\r(3)，則外接球O的表面積為4πR2＝12π.]7．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.2600π[將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，由題意得所求側(cè)面綻開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．]8．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為棱DD1上的點，F(xiàn)為AB的中點，則三棱錐B1-BFE的體積為________．eq\f(1,12)[由題意知VB1-BFE＝VE-BFB1，點E到平面ABB1A1的距離等于點D到平面ABB1A1的距離，都等于1.則VE-BFB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,12).]三、解答題9．如圖，從正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點中選出的4個點恰為一個正四面體的頂點．(1)若選出4個頂點包含點A，請在圖中畫出這個正四面體；(2)求棱長為a的正四面體外接球的半徑．[解](1)如圖所示，選取的四個點分別為A，D1，B1，C.(2)棱長為a的正四面體外接球的半徑，等于正方體外接球的半徑，等于正方體對角線長的一半，因為正四面體的棱長為a，所以正方體的邊長為eq\f(\r(2),2)a，因此外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(6),4)a.10．(2015·全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．[解](1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).1．(2024·鄭州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的表面積為()A．24＋(eq\r(2)－1)π B．24＋(2eq\r(2)－2)πC．24＋(eq\r(5)－1)π D．24＋(2eq\r(3)－2)πB[依據(jù)三視圖可得該幾何體是由棱長為2的正方體挖去兩個底面半徑為1，母線長為eq\r(2)的圓錐所得如圖所示的組合體，則該組合體的側(cè)面積為S1＝4×2×2＝16，兩個底面的面積為S2＝2×(2×2－π×12)＝8－2π，兩個圓錐的側(cè)面積為S3＝2×π×1×eq\r(2)＝2eq\r(2)π，所以該組合體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝16＋8－2π＋2eq\r(2)π＝24＋(2eq\r(2)－2)π.]2．(2024·昆明模擬)已知三棱錐D-ABC的每個頂點都在球O的表面上，AB⊥AC，AB＝6，AC＝2eq\r(6)，頂點D在平面ABC上的投影E為BC的中點，且DE＝5，則球O的表面積為()A．16π B．17πC．60π D．64πD[如圖，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝6，AC＝2eq\r(6).∴BC＝eq\r(62＋2\r(6)2)＝2eq\r(15)，AE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(15).設球O的半徑為R，則15＋(5－R)2＝R2，∴R＝4.∴球O的表面積為4πR2＝64π，故選D.]3．(2024·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB相互垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________．8π[由題意畫出圖形，如圖，設AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設圓錐的母線長為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故該圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.]4．如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)該幾何體的體積．(2)截面ABC的面積．[解](1)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點A2，B2，由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°，則V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(22＋3－22)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2\r(2)2＋4－22)＝2eq\r(3)，則S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(\r(5)2－\r(3)2)＝eq\r(6).1．(2024·太原模擬)已知在三棱錐S-ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝2，AC⊥BC，則該三棱錐外接球的體積為()A.eq\f(32\r(3)π,27) B.eq\f(4\r(3)π,9)C.eq\f(32π,3) D.eq\f(16π,3)A[如圖，∵SA＝SB＝AB，∴△SAB為正三角形，∵AC⊥BC，∴點S在底面上的投影為AB的中點，設AB的中點為D，連接CD，∵△ABC為等腰直角三角形，∴BD＝AD＝CD，∵球心到球面各點的距離相等，∴球心在線段SD上，設球心為O，球的半徑為R，∴AD＝1，SD＝eq\r(SA2－AD2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴OD2＋AD2＝OA2＝R2，(eq\r(3)－R)2＋12＝R2，R＝eq\f(2\r(3),3)，∴該三棱錐外接球的體積為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(32\r(3)π,27)，故選A.]2．一個透亮的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個公共底面的圓錐，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3,16)，設球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.(1)試確定R與r的關系，并求出較大圓錐與較小圓錐的體積之比；(2)求出兩個圓錐的體積之和與球的體積之比．[解](1)∵πr2＝eq\f(3,16)×4πR2，∴r＝eq\f(\r(3),2)R. ①設較大圓錐與較小圓錐的高分別為h大，h小，則由Rt△BO1C∽Rt△CO1A，得eq\f(BO1,CO1)＝eq\f(O1C,O1A)，即eq\f(h大,r)＝eq\f(r,h小). ②又2R＝h大＋h小，