高等數(shù)學(xué)（慕課版）課件 1.5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量;1.6 函數(shù)的連續(xù)性

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量第5講高等數(shù)學(xué)（慕課版）主講教師|01無(wú)窮小量02無(wú)窮大量03無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系04無(wú)窮小的比較05等價(jià)無(wú)窮小的替換2本節(jié)內(nèi)容301無(wú)窮小量

1.無(wú)窮小量的概念??定義1.21

401無(wú)窮小量??注501無(wú)窮小量

??定理1.12

601無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.2.無(wú)窮小的性質(zhì)??性質(zhì)1.1有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.??性質(zhì)1.2有界變量與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.??性質(zhì)1.3??推論無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和不一定是無(wú)窮小.(2)兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限沒(méi)有確定的結(jié)果，對(duì)于這類問(wèn)題，要針對(duì)具體情況具體分析.??注

701無(wú)窮小量

??例1解

801無(wú)窮小量

??例2解01無(wú)窮小量02無(wú)窮大量03無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系04無(wú)窮小的比較05等價(jià)無(wú)窮小的替換9本節(jié)內(nèi)容1002無(wú)窮大量

??定義1.22

1102無(wú)窮大量??注

1202無(wú)窮大量

??定義1.231302無(wú)窮大量??注

（1）無(wú)窮大量必是無(wú)界的變量，無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大量.（2）在自變量的同一變化過(guò)程中，兩個(gè)無(wú)窮大的和、差、商，以及有界函數(shù)與無(wú)窮大的乘積，沒(méi)有確定的結(jié)果.01無(wú)窮小量02無(wú)窮大量03無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系04無(wú)窮小的比較05等價(jià)無(wú)窮小的替換14本節(jié)內(nèi)容1503無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系

??定理1.13

1601無(wú)窮小量

??例3解

1701無(wú)窮小量

??例4解01無(wú)窮小量02無(wú)窮大量03無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系04無(wú)窮小的比較05等價(jià)無(wú)窮小的替換18本節(jié)內(nèi)容1904無(wú)窮小的比較

??定義1.242004無(wú)窮小的比較

2104無(wú)窮小的比較

2204無(wú)窮小的比較??注

01無(wú)窮小量02無(wú)窮大量03無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系04無(wú)窮小的比較05等價(jià)無(wú)窮小的替換23本節(jié)內(nèi)容2405等價(jià)無(wú)窮小的替換

??定理1.14??注

（1）在求極限的過(guò)程中，可以把積或商中的無(wú)窮小用與之等價(jià)的無(wú)窮小替換，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.但須注意，在加減運(yùn)算中一般不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換.

2505等價(jià)無(wú)窮小的替換??注

26

??例5解05等價(jià)無(wú)窮小的替換

27

??例6解05等價(jià)無(wú)窮小的替換

28

??例7錯(cuò)解05等價(jià)無(wú)窮小的替換

正解學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（慕課版）第1章函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性第6講高等數(shù)學(xué)（慕課版）主講教師|01函數(shù)連續(xù)性的定義02函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類03初等函數(shù)的連續(xù)性04閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)31本節(jié)內(nèi)容3201函數(shù)連續(xù)性的定義??增量

??注

3301函數(shù)連續(xù)性的定義

3401函數(shù)連續(xù)性的定義

1.函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性??定義1.253501函數(shù)連續(xù)性的定義

1.函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性??定義1.26??結(jié)論

3601函數(shù)連續(xù)性的定義

??例1證明

3701函數(shù)連續(xù)性的定義

??例2證明

根據(jù)有界變量與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小，得

3801函數(shù)連續(xù)性的定義

??定義1.273901函數(shù)連續(xù)性的定義

??定理1.154001函數(shù)連續(xù)性的定義??例3解

因?yàn)?/p>

所以

4101函數(shù)連續(xù)性的定義2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

4201函數(shù)連續(xù)性的定義

1.連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.2.基本初等函數(shù)都是其定義域內(nèi)的連續(xù)函數(shù).3.有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)處都是連續(xù)的.??結(jié)論4301函數(shù)連續(xù)性的定義??例4解

01函數(shù)連續(xù)性的定義02函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類03初等函數(shù)的連續(xù)性04閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)44本節(jié)內(nèi)容4502函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

??間斷點(diǎn)

4602函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

47間斷點(diǎn)分類02函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類第一類間斷點(diǎn)：第二類間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)

跳躍間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn)：

分為：特殊情形：無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)4802函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

可去第二類可去跳躍4902函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類??例5解

由于

50??例6解

02函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類01函數(shù)連續(xù)性的定義02函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類03初等函數(shù)的連續(xù)性04閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)51本節(jié)內(nèi)容5203初等函數(shù)的連續(xù)性??定理1.16

5303初等函數(shù)的連續(xù)性

??定理1.17

??結(jié)論5403初等函數(shù)的連續(xù)性??例7解

由定理1.17可知

5503初等函數(shù)的連續(xù)性解??例8

5603初等函數(shù)的連續(xù)性??定理1.18

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.??結(jié)論

5703初等函數(shù)的連續(xù)性解??例9

5803初等函數(shù)的連續(xù)性解??例10

5903初等函數(shù)的連續(xù)性

01函數(shù)連續(xù)性的定義02函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類03初等函數(shù)的連續(xù)性04閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)60本節(jié)內(nèi)容6104閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)??定義1.28

??定理1.19（最大值和最小值定理）

6204閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)??注（1）若把定理中的閉區(qū)間改成開(kāi)區(qū)間，則定理的結(jié)論不一定成立.

定理1.19的條件是充分而非必要條件.

??推論6304閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

??定理1.20（零點(diǎn)定理）

6404閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

??注零點(diǎn)定理的條件是充分而非必要條件.6504閉區(qū)間上連續(xù)