高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

第一學(xué)

課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期

期

課題數(shù)學(xué)建模活動(dòng)（1）

教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師

指導(dǎo)教師

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過參與數(shù)學(xué)建模的全過程，了解數(shù)學(xué)建模的概念，掌握數(shù)學(xué)建模的基本過程；

2.在探究數(shù)學(xué)建模的過程中，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)

的應(yīng)用價(jià)值；

3.體會(huì)課題研究的過程，感受課題研究的意義，提升數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，數(shù)據(jù)的收集與函數(shù)模型的選擇和建立.

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)據(jù)的收集，函數(shù)模型的選擇.

教學(xué)過程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

導(dǎo)語：通過前期對(duì)函數(shù)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們知道用函數(shù)

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)，首先要對(duì)實(shí)際問題中的變化過程進(jìn)

行分析，析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系；明確其運(yùn)動(dòng)變化的

基本特征，從而確定它的運(yùn)動(dòng)變化類型.然后根據(jù)分析結(jié)果，選擇

合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；再通

過運(yùn)算、推理，求解函數(shù)模型.最后利用函數(shù)模型的解說明實(shí)際問

題的變化規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的.

（一）

—化歸

2分鐘實(shí)際問題函數(shù)模型

復(fù)習(xí)回顧

運(yùn)推

算理

解釋說明

實(shí)際問題的解4-------------------------------------函數(shù)模型的解

但是在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到?jīng)]有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可用的情

況，這時(shí)就需要先收集數(shù)據(jù).本節(jié)課就讓我們一起經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模

型解決實(shí)際問題的全過程，一起感受數(shù)學(xué)與我們生活的緊密聯(lián)系.

也希望通過每節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們?cè)谝院蟮纳钪袊L試著用數(shù)學(xué)的

眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表

達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

師生活動(dòng)：教師總結(jié)用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本

構(gòu)成，學(xué)生復(fù)習(xí)回顧.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)函數(shù)應(yīng)用問題的回顧，提出解決問題需要自

己收集數(shù)據(jù)，激發(fā)學(xué)生探究興趣.

實(shí)際情景

我國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，是世界上最早發(fā)現(xiàn)茶樹、利用茶葉和栽培茶

葉的國(guó)家，也是茶文化的發(fā)源地.中國(guó)茶道的主要內(nèi)容講究五境之

美，即茶葉、茶水、火候、茶具、環(huán)境，其中茶葉可分為綠茶、紅茶、

烏龍茶、白茶、黃茶和黑茶.

茶文化的內(nèi)涵其實(shí)就是中國(guó)文化的一種具體表現(xiàn).中國(guó)素有禮

儀之邦之稱謂，茶文化的精神內(nèi)涵即是通過沏茶、賞茶、聞茶、飲

茶、品茶等習(xí)慣與中國(guó)的文化內(nèi)涵和禮儀相結(jié)合形成的一種具有鮮

明中國(guó)文化特征的一種文化現(xiàn)象，也可以說是一種禮節(jié)現(xiàn)象.

提出問題

茶已成為全世界最大眾化、最受歡迎、最有益于身心健康的綠

色飲料.那你知道如何才能泡制一杯口感最佳的茶水嗎？

情景分析

問題1：影響茶水口感的因素有哪些？

（二）師生活動(dòng)：學(xué)生思考發(fā)言，相關(guān)因素可能包含有茶葉類型、水

5分鐘

選題開題溫、茶具、泡茶用水、沖泡方法、茶葉用量、沖泡次數(shù)等.教師歸納

并給出情景:經(jīng)驗(yàn)表明，我們探究使用的某種綠茶用85K的水泡制，

再等到茶水溫度降至60K時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感..

問題2：如何處理這些影響因素呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合探究的側(cè)重分析相關(guān)因素的重要

程度，突出主要因素，弱化次要因素的影響；學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，

進(jìn)一步思考確定主要因素，通過控制變量的方法弱化次要因素對(duì)探

究過程的影響.

教師總結(jié)：在此次探究過程中，我們將水溫作為主要因素，可

以在探究開始前，先提出一些假設(shè)，通過控制變量的方法減少他們

對(duì)結(jié)果的影響：如在實(shí)驗(yàn)過程中

1.選擇同一種且等量的茶葉沖泡；

2.使用同一個(gè)茶具，比如同一個(gè)玻璃杯；

3.固定初始泡茶的水溫85汽；

4.在同一環(huán)境溫度25久下，使用相同純凈水，并用相同的泡茶方

法.

問題3:如何刻畫茶水降溫的過程？

師生活動(dòng)：學(xué)生交流討論.

教師總結(jié)：茶水降溫的過程中也伴隨著時(shí)間的變化，因此我們

可以建立茶水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實(shí)測(cè)過

程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間估計(jì)的問題，使得不用時(shí)刻測(cè)試水溫，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)

模型，通過簡(jiǎn)單計(jì)算就可以知道大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最

佳飲用口感.

轉(zhuǎn)化問題

在25久室溫下，用85汽的水泡制的茶大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間，

溫度能夠降到6（TC達(dá)到最佳飲用口感？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)真實(shí)的生活問題，有較強(qiáng)的代入感，培養(yǎng)學(xué)生

在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題并提出或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的興趣，通過分析讓探究的問題變得可測(cè)量，為后續(xù)的研究

奠定基礎(chǔ).

收集數(shù)據(jù)

活動(dòng)1：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，為獲取數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)流程.

師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)流程，并在全班分享交流，

互相完善最終形成實(shí)驗(yàn)流程.

預(yù)想：用85K的純凈水泡好一杯茶，每隔1分鐘測(cè)量一次茶

水溫度，并進(jìn)行記錄.

問題4：該實(shí)驗(yàn)過程需要用到哪些測(cè)量工具？

師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，需要秒表和溫度計(jì).

追問：怎樣保證測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性以減少誤差？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生提出在實(shí)驗(yàn)過程中，可多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，取

（三）平均值從而減小誤差.

17分鐘

做題結(jié)題任務(wù)1：請(qǐng)同學(xué)們課后按照實(shí)驗(yàn)流程進(jìn)行實(shí)驗(yàn),獲取并記錄一

組數(shù)據(jù).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生參與到數(shù)據(jù)收集的設(shè)計(jì)和實(shí)施過程，培養(yǎng)學(xué)

生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

某研究人員得到一組數(shù)據(jù)，以下探究過程應(yīng)用該組數(shù)據(jù)：

時(shí)間/min012345

溫度/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10

建立模型

觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的變化，茶水的溫度也在發(fā)生

變化，這兩個(gè)變量可以存在著某種函數(shù)關(guān)系，但并沒有現(xiàn)成的函數(shù)

模型，所以我們可以借助數(shù)據(jù)的趨勢(shì)進(jìn)行分析.散點(diǎn)圖如下：

問題5：觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量有怎樣的“

變化趨勢(shì)？

82

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察并總結(jié)，散點(diǎn)圖的分：.

布狀況成遞減狀態(tài)，也就是說茶水的溫度隨".

時(shí)間成遞減關(guān)系.：.

追問：當(dāng)時(shí)間不斷延長(zhǎng)，最終茶水能降到：?

什么溫度？：?

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，茶水最終將

趨于室溫25℃.

問題6：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谇捌趯W(xué)習(xí)的函數(shù)中找到符合趨勢(shì)的函數(shù)模

型？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并交流，可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為備

選模型，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注茶水降到室溫就不能再降的事實(shí)，再結(jié)

合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導(dǎo)學(xué)生做出選擇.

教師總結(jié)：自變量是少于等于0,函數(shù)值大于等于25,隨著自

變量的變化函數(shù)值呈遞減趨勢(shì)且逐漸趨于25,結(jié)合以上特征我們

初步可以選定y=kax+25(k&R,0<a<l,x>0)來近似刻畫茶

水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律.

求解模型

問題7：如何利用以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解函數(shù)模型中的參數(shù)k和。

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師給予適當(dāng)引導(dǎo).

根據(jù)實(shí)際情況可知，當(dāng)無=0時(shí)，y=85,可得Q60.

得到函數(shù)模型：y=60ax+25(0<a<l,x>0)

y-25=60ax(o<a<l,x>0)

為求衰減比例a從第2mm的溫度數(shù)據(jù)開始，計(jì)算每一分鐘(y-

25)的值與上一分鐘(y-25)值的比值.

012345

y-2560.0054.1948.7546.1943.1940.10

比值0.90320.91810.92840.93510.9285

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

問題8：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合這五個(gè)函數(shù)圖象與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合情況,

思考應(yīng)該如何選取。的值？

師生活動(dòng)：學(xué)生比較五個(gè)函數(shù)的吻合程度,與實(shí)際數(shù)據(jù)更加吻

合的是當(dāng)比值為0.9181時(shí)，因此可以選擇函數(shù)y=60x0.9181*+

25作為本題的模型.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算比值的平均值作為

y=60x0.9227*+25y=60x0.9181x+25

通過比較，采用平均值作為衰減比例與實(shí)際數(shù)據(jù)更加的吻合，

因此選取的函數(shù)模型為y=60x0.9227X+25.

教師總結(jié)：這種采用平均值的方法在解決實(shí)際問題中也是很常

見的.因?yàn)閷?shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)并不一定具有很強(qiáng)的規(guī)律性，所以我們

在實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)盡量重復(fù)大量實(shí)驗(yàn)，以保證數(shù)據(jù)的代表性，而在函

數(shù)模型的選擇上也是多樣的，所選擇的函數(shù)模型一般也只能大致反

應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律，因此，建立模型后需要對(duì)模型進(jìn)行檢

驗(yàn).

求解問題

問題9：在25。（：室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間

才能達(dá)到最佳飲用口感？

師生活動(dòng)：學(xué)生完成計(jì)算思路，教師給予信息技術(shù)支持求解最

后答案.

將y=60代入y=60X0.9227x+25,得

60X0.9227*+25=60

7

解得久=log%27

由信息技術(shù)得X?6.6997

教師總結(jié):至此,我們完成整個(gè)實(shí)際問題的探究,并得到在25℃

室溫下，用85汽水泡制的茶大約需要放置7min,溫度能夠降到60℃

達(dá)到最佳飲用口感.

問題10：你體會(huì)到研究這個(gè)問題具有哪些實(shí)際價(jià)值？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并發(fā)言.

教師總結(jié)：很多實(shí)際問題的背后，可能都隱藏著某種規(guī)律，這

種規(guī)律可以用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行探究，并用數(shù)學(xué)的方法加以刻畫.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生對(duì)具體問題建模過程的參與，讓學(xué)生進(jìn)一

步體會(huì)函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；同時(shí)了解數(shù)學(xué)建模的概念，

知道數(shù)學(xué)建模的過程，初步培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的意識(shí).

活動(dòng)2：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，結(jié)合以上探究過程歸納數(shù)學(xué)建模

的步驟.

教師總結(jié)：數(shù)學(xué)建模需要我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)際情境，從

而發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的方式收集數(shù)據(jù)，其中包括必要的假設(shè)

和實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)思維選擇函數(shù)模型，用數(shù)學(xué)知識(shí)求解函

數(shù)模型，最后檢驗(yàn)結(jié)果，若符合實(shí)際則將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題

（五）

2分鐘的解，若不符合實(shí)際則要重新選擇模型.這就是數(shù)學(xué)建模的過程.

課堂小結(jié)

不符合實(shí)際

發(fā)

求

實(shí)

觀

選

現(xiàn)

解

際

察

收

擇

和

函

問

集