材料力學(xué)公式總結(jié)大全

材料力學(xué)

材料力學(xué)的任務(wù)〔1〕強(qiáng)度要求；(2)剛度要求；〔3〕穩(wěn)定性要求。

變形固體的根本假設(shè)〔1〕連續(xù)性假設(shè)；〔2〕均勻性假設(shè)；〔3〕各向同性假設(shè)；〔4〕小變形假設(shè)。

外力分類：外表力、體積力；靜載荷、動載荷。

內(nèi)力：構(gòu)件在外力的作用下，內(nèi)部相互作用力的變化量，即構(gòu)件內(nèi)部各局部之間的因外力作用而引起的

附加相互作用力

截面法：〔1〕欲求構(gòu)件某一截面上的內(nèi)力時，可沿該截面把構(gòu)件切開成兩局部，棄去任一局部，保存另

一局部研究〔2〕在保存局部的截面上加上內(nèi)力，以代替棄去局部對保存局部的作用?！?〕根據(jù)平衡條

件，列平衡方程，求解截面上和內(nèi)力。

應(yīng)力：〃=lim"=更正應(yīng)力、切應(yīng)力。變形與應(yīng)變：線應(yīng)變、切應(yīng)變。

桿件變形的根本形式〔1〕拉伸或壓縮；〔2〕剪切；(3)扭轉(zhuǎn)；〔4〕彎曲；〔5〕組合變形。

靜載荷：載荷從零開始平緩地熠加到最終值，然后不再變化的載荷。

動載荷：載荷和速度隨時間急劇變化的載荷為動載荷。

失效原因：脆性材料在其強(qiáng)度極限叫破壞，塑性材料在其屈服極限巴時失效。二者統(tǒng)稱為極限應(yīng)力理

H=—M=—加

想情形。塑性材料、脆性材料的許用應(yīng)力分別為：％,叫，強(qiáng)度條件：

-^-<[cr]

，等截面桿A

軸向拉伸或壓縮時的變形：桿件在軸向方向的伸長為：△/=《―/,沿軸線方向的應(yīng)變和橫截面上的應(yīng)

力分別為：￡="”=?=[橫向應(yīng)變?yōu)椋?=半="心，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系為：

/AAbh

￡=。

胡克定律：當(dāng)應(yīng)力低于材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即。=氏，這就是胡克定律。E為彈

性模量。將應(yīng)力與應(yīng)變的表達(dá)式帶入得：△/=*NI

EA

靜不定：對于桿件的軸力，當(dāng)將力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全部未知

力。

圖軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形幾何關(guān)系一圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)/=p穿。物理關(guān)系一胡克定律

.Gyp=Gp牛。力學(xué)關(guān)系7=[P金44=]夕2G儀=6?]\夕2,例圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力：

C/AC/久C/A

TTT

rmax=—/?=—;圓軸扭轉(zhuǎn)的弱度條件：rmax=^-<[r],可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計和確定許

可載荷。

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形：（P=[-^-dx=dx；等直桿：9=/

圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件："=a=:，0、=乒勺硝

dxGlp'GIp

彎曲內(nèi)力與分布載荷q之間的微分關(guān)系絲也=q*）；嗎2=。（X）;粵旦=笑耳=4（只

dxdxdx~ax

Q、M圖與外力間的關(guān)系

a）梁在某一段內(nèi)無載荷作用，剪力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線。

b）梁在某一段內(nèi)作用均勻載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線.

c）在梁的某一截面。空?=Q（x）=0,剪力等于零，彎矩有一最大值或最小值。

dx

d）由集中力作用截面的左側(cè)和右側(cè)，剪力Q有一突然變化，彎矩圖的斜率也發(fā)生突然變化形成一個轉(zhuǎn)

折點(diǎn)。

梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件仆皿=24口]，[ax<H

W

提高彎曲強(qiáng)度的措施：梁的合理受力（降低最大彎矩Mma、，合理放置支座，合理布置載荷，合理設(shè)計截

面形狀

塑性材料：口』=k],上、下對稱，抗彎更好，抗扭差。脆性材料：匕/<口,],采用T字型或上下

不對稱的工字型截面。

等強(qiáng)度梁：截面沿桿長變化，恰使每個截面上的正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力，這樣的變截面梁稱為等強(qiáng)度梁

用疊加法求彎曲變形：當(dāng)梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨(dú)作用時的變形，

然后進(jìn)行疊加，即可求得梁在幾介載荷共同作用時的總變形。

簡單超靜定梁求解步驟：(1)判斷靜不定度；(2)建立根本系統(tǒng)〔解除靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)部和外部多余約

束后所得到的靜定結(jié)構(gòu)〕；(3)建立相當(dāng)系統(tǒng)〔作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的根本系統(tǒng)〕；〔4

〕求解靜不定問題。

二向應(yīng)力狀態(tài)分析一解析法

C.+C,.(7r~~C..

⑴任意斜截面上的應(yīng)力=2-+2cos2of-Txysin2a;

一°V

r=—-----sin2a+rcos2a

u2vv)

2丁

(2)極值應(yīng)力正應(yīng)力：吆2。0=——也°max———L±

(J.

crv-(7min2

切應(yīng)力：tg2al=J—max

2rnun

(3)主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系

。與%之間的關(guān)系為：2%=2g+g0=%十］,即：最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的

乙I

夾角為45°

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合［1［外力向桿件截面形心簡化(2)畫內(nèi)力圖確定危險截面〔3〕確定危險點(diǎn)并建立

強(qiáng)度條件

按第三強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件為：巧工周或、辰+4/<⑸，對于圓軸，叱=2W,其強(qiáng)度條

I2T"

件為：按第四強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件為：

叱W”<lb0

b-。J+(S-6『+(6-CTJ2］?口］,經(jīng)化簡得出：Ver2+3r2<［a］,對于圓軸，其強(qiáng)度

JM2+07572

條件為：------------W匕1O

歐拉公式適用范圍〔1〕大柔度壓桿〔歐拉公式〕：即當(dāng)4？4,其中4=JX”時，

~(2

V。

〕中等柔度壓桿〔經(jīng)驗(yàn)公式〕：即當(dāng)為wav4，其中力二三區(qū)時，。"。一"(3)小柔度壓桿

b

F

〔強(qiáng)度計算公式〕：即當(dāng)％<4時，

A

壓桿的穩(wěn)定校核〔1〕壓桿的許用壓力：忸］=些」內(nèi)為許可壓力，〃”為工作平安系數(shù)。

(2)壓桿的

穩(wěn)定條件：P?［川

提高壓桿穩(wěn)定性的措施：選擇合理的截面形狀，改變壓桿的約束條件，合理選擇材料

=9549卜皿

外力偶"忖'2矩計算公式〔P功率，n轉(zhuǎn)速〕

d'M(x)dFs(x)

;-=-:--------4(x)

彎矩、剪力和荷載集度之間的關(guān)系式山:---------dx

軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計算公式A〔桿件橫截面軸力椒,橫截面面積A,拉應(yīng)力為正〕

軸向拉壓桿斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力計算公式〔夾角a從“軸正方向逆時針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為

]。a

a=p.cuia-crcosa=-(1+cos2a)r=osina-acasasina="sin2a

正〕22

縱向變形和橫向變形〔拉伸前試樣標(biāo)距I,拉伸后試樣標(biāo)距II；拉伸前試樣直徑d,拉伸后試樣直徑dl

j81=h-IM=d「d

AZ,M

縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變一了一彳泊松比

AZ=

胡克定律EAa=Ec

=的您

受多介力作用的桿件縱向變形計算公式

承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計算公式

=(與)…二團(tuán)

軸向拉壓桿的強(qiáng)度計算公式G

許用應(yīng)力"，脆性材料％=5,塑性材料4=%

(5=^^xlOO%

延伸率1

3=---------xlOO%

截面收縮率A

剪切胡克定律〔切變模量G，切應(yīng)變g)r=Gy

拉壓彈性模量E、泊松比卜和切變模量G之間關(guān)系式2(1+V)

j=也

圖截面對圓心的極慣性矩〔a〕實(shí)心圓’32

ED-。m.

乙=~=五八")

(b)空心圓

T

K廣〒

國軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)切應(yīng)力計算公式〔扭矩T,所求點(diǎn)到圓心距離r)。

TT

=—Rn~~~

國截面周邊各點(diǎn)處最大切應(yīng)力計算公式“外

扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)"‘一至，〔a〕實(shí)心圓"‘一"不〔b〕空心圓一次"一

T

薄壁圓管〔壁厚Ro/10,Ro為圓管的平均半徑〕扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算公式2咽(5

TI

G/

圓軸扭轉(zhuǎn)角中與扭矩7；桿長4扭轉(zhuǎn)剛度GHP的關(guān)系式>

同一材料制成的圓軸各段內(nèi)的扭矩不同或各段的直徑不同〔如階梯軸〕時或

m24

等直圓軸強(qiáng)度條件％;盼如

塑性材料舊=3~°6)15；脆性材料=(08~1615

扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度條件―八或G/>11

1.庭PD

受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應(yīng)力計算公式IS

平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面應(yīng)力的一般公式

巴.0、

—-_-mlaA-x,cos2a

2

平面應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力

丁-丐+%

tan2%=

主平面方位的計算公式

受扭圓軸外表某點(diǎn)的三個主應(yīng)力5=T,5=。，巧=一點(diǎn)

三向應(yīng)力狀態(tài)最大與最小正應(yīng)力

三向應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力2

_…士一一】二石1巧-M%+RI。=后15-M巧+卬舊二石I，一N5+RI

廣義胡克XE律匕匕也

?=5

%=5-M5+5）

（=5一』

%=*【（可一巧—?（巧-5）、。一巧）”

四種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力，2

-種常見的應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件為=J5十，'"同,%=J『+婷"回

EA/ciN4s

y=----------4=------------

組合圖形的形心坐標(biāo)計算公式’c

任意截面圖形對一點(diǎn)的極慣性矩與以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和的關(guān)系式

截面圖形對軸z和軸卜的慣性半徑

平行移軸公式〔形心軸2C與平行軸zl的距離為a,圖形面積為A｝々=1

。=—My

純彎曲梁的正應(yīng)力計算公式乙

橫力彎曲最大正應(yīng)力計算公式

矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)'"一12'2-664232,

x64232'"

幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計算公式〔口2為中性軸一側(cè)的橫截面對中性軸z的靜矩，6為橫截

T=?

面在中性軸處的寬度〕”

j=Yk=也

矩形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處IbhIA

工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式bh

3勺

軋制工字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計算公式M，Js03）

4Q45

圖形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處“3（必/4）3.4

J-2人

圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處2禍（5

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件I匕

幾種常見截面梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件白乙

彎曲梁危險點(diǎn)上既有正應(yīng)力。又有切應(yīng)力T作用時的強(qiáng)度條件4=tc'團(tuán)或

q<=qd+3/^[o][5=]

d'wM(x)

梁的撓曲線近似微分方程ivEI

。上T幽

梁的轉(zhuǎn)角方程hJET

w=-[[dxik+C.x+Z)j

梁的撓曲線方程”EI

軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應(yīng)力計算公式

"a1_冬_土A?！?/p>

-]=±區(qū)土竺

偏心拉伸〔壓縮〕'匕