江西省九江市永修縣2024年中考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

江西省九江市永修縣2024年中考數(shù)學(xué)一模試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四五六總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．已知△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12．將拋物線y=?2xA．y=?2(x+2)2?3C．y=?2(x?2)2+33．若一個(gè)扇形的半徑是6，扇形的圓心角的度數(shù)是120°，則這個(gè)扇形的面積是（）A．4π B．6π C．12π D．24π4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠CAD=70°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．40° B．30° C．20° D．10°5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=?ax+bA． B．C． D．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點(diǎn)A，B在x軸上，且PA⊥PB，PA交y軸于點(diǎn)C，AO=BO=BP.若△ABPA．1 B．2 C．3 D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．一元二次方程x2?2x=0的根是8．如圖，半徑為2的⊙A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)C，B是y軸左側(cè)⊙A上的一點(diǎn)，且∠OBC=20°，則OC的長(zhǎng)為.9．若拋物線y=mx2?6x?9與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m10．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若CD=16，EB=4，則⊙O的半徑為.11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則cos∠ACB的值是12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AD在y軸的正半軸上，邊BC在第一象限內(nèi)，且點(diǎn)A(0,3)，B(5,3)，將正方形ABCD繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<180°)，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)C三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）計(jì)算：tan45°+4（2）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.14．一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面觀察這個(gè)幾何體，其俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置的小正方體的個(gè)數(shù).請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出該幾何體的主視圖和左視圖.15．已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?m=0，若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β=5，求16．暑假期間，小張和小美一起到南昌旅游，晚上他們?nèi)ヌ厣止浣植⒊渣c(diǎn)小吃，看到滿大街各式各樣的美食，卻不知道選擇哪一個(gè)，于是通過(guò)抽卡片的游戲來(lái)決定吃什么.他們制作了四張背面完全相同的卡片，在正面上分別寫著：A.白糖糕；B.炒螺螄；C.三杯雞；D.南昌炒粉.將這四張卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗勻放好，小張先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后洗勻，小美再?gòu)倪@四張卡片中隨機(jī)抽取一張.（1）小張抽到卡片正面寫著“南昌炒粉”的概率是.（2）請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求小張、小美兩個(gè)人抽到不同特色美食的概率.17．如圖一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=?4x的圖象相交于點(diǎn)A(?1,（1）求一次函數(shù)的解析式.（2）結(jié)合圖象，直接寫出不等式kx+b>?4四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，點(diǎn)A，B是某條河上一座橋的兩端，某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)從點(diǎn)A豎直上升到點(diǎn)C時(shí)，測(cè)得點(diǎn)C到橋的另一端點(diǎn)B的俯角為28°，無(wú)人機(jī)由點(diǎn)C繼續(xù)豎直上升10米到點(diǎn)D，測(cè)得點(diǎn)D到橋的另一端點(diǎn)B的俯角為37°，求橋AB的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈019．“元宵節(jié)”吃元宵是中國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，某超市購(gòu)進(jìn)一種品牌元宵，每盒進(jìn)價(jià)是30元，并規(guī)定每盒售價(jià)不得少于40元，日銷售量不低于350盒.根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒售價(jià)定為40元時(shí)，日銷售量為500盒，且每盒售價(jià)每提高1元，日銷售量就減少10盒.設(shè)每盒售價(jià)為x元，日銷售量為p盒.（1）當(dāng)x=50時(shí)，p=.（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)W（元）最大？最大利潤(rùn)是多少？20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作⊙O，且AB與⊙O相切于點(diǎn)H，連接AO.（1）求證：AO平分∠BAC.（2）若AB=5，tan∠OAC=12五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0<t<5）.（1）求證：△ACD∽△BAC.（2）求DC的長(zhǎng).（3）試探究：△BEF能為等腰三角形嗎？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．定義概念：在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax?a為拋物線y=ax2+bx+c的“衍生直線”.如圖1，拋物線y=?x2+bx+c與其“衍生直線”交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)（1）求拋物線和“衍生直線”的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo).（2）如圖2，拋物線y=?x2+bx+c的“衍生直線”與y軸交于點(diǎn)D1，依次作正方形D1E1F1O，正方形D2E2F2F1，…，正方形DnEnF①直接寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：E1▲，E2▲，E3▲，②試判斷點(diǎn)E1，E2，…，六、解答題（本大題共12分）23．新定義：若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱這個(gè)三角形為比例三角形.例如：△ABC三邊的長(zhǎng)分別為AB=1，BC=2，AC=2.因?yàn)锳C2（1）【問(wèn)題提出】

已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=4，求AC的長(zhǎng).（2）【問(wèn)題探究】如圖1，P是矩形ABCD的邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，AQ平分∠PAD，交邊BC于點(diǎn)Q，∠APD=∠PQD.①求證：△APD∽△DQP，②求證：△APD是比例三角形.（3）【問(wèn)題延伸】如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AB=1，PQ=a時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)Q能否重合？若能，求出a2

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4，故選A【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得將拋物線y=?2x2故答案為：D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的幾何變換結(jié)合拋物線y=?2x3．【答案】C【解析】【解答】解：∵扇形的半徑為6，圓心角為120°，∴扇形的面積為120·π×6故答案為：C【分析】根據(jù)扇形的面積公式結(jié)合扇形的半徑和圓心角即可求解。4．【答案】C【解析】【解答】解：連接BD，如圖所示：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∵∠CAD=70°，∴∠CBD=∠CAD=70°，∴∠ABC=∠ABD?∠CBD=20°，故答案為：C【分析】連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD=90°，進(jìn)而運(yùn)用角的運(yùn)算結(jié)合題意即可求解。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向上，∴a>0，∴?a<0，∵拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴b>0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，∴c<0，∴直線y=?ax+b經(jīng)過(guò)第一，二，四象限，反比例函數(shù)y=c故答案為：A【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系得到a>0，b>0，c<0，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)圖象即可得到直線y=?ax+b經(jīng)過(guò)第一，二，四象限，反比例函數(shù)y=c6．【答案】B【解析】【解答】解：連接OP，作PD⊥x軸于D，如圖所示：∵△ABP的面積是4，AO=BO，∴△OBP的面積為2，∵PA⊥PB，AO=BO=BP，∴sin∠PAB=1∵sin30°=1∴∠PAB=30°，∴∠PBA=60°，∴△POB為等邊三角形，∴S∴|k|∴k=±2，∵反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，∴k=2．故答案為：B【分析】連接OP，作PD⊥x軸于D，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到△OBP的面積為2，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可得到∠PAB=30°，進(jìn)而得到∠PBA=60°，從而根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得到S△7．【答案】x1=2【解析】【解答】解：由題意得原方程可化為xx?2=0，

∴x故答案為：x1=2，【分析】根據(jù)題意因式分解，進(jìn)而即可求解。8．【答案】4【解析】【解答】解：連接OA，CA，如圖所示：∵∠OBC=20°，∴∠OAC=2∠OBC=40°，∴OC的長(zhǎng)為40π×2180故答案為：49【分析】連接OA，CA，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得到∠OAC=2∠OBC=40°，再根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可求解。9．【答案】-1【解析】【解答】解：∵拋物線y=mx2?6x?9∴m≠0Δ=解得m=?1，故答案為：?1【分析】根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合一元二次方程根的判別式即可求解。10．【答案】10【解析】【解答】解：連接OC，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∴CE=1設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OB=r，由勾股定理得r解得r=10，故答案為：10【分析】連接OC，先根據(jù)垂徑定理得到CE=12CD=8，設(shè)⊙O的半徑為r11．【答案】5【解析】【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，如圖所示：則∠ABD=90°,∵AO=∴AD=2∵AB=4∴BD=∴故答案為：5【分析】連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD=90°,12．【答案】（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）【解析】【解答】解：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊AD在y軸正半軸上，邊BC在第一象限，且點(diǎn)A（0，3）、B（5，3），則AB=5-0=5，C（5，8），D（0，8），所以畫圖如下：當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），作CE⊥x軸于E，分三種情況①點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在x軸正半軸上時(shí)，如圖，∵AB'＝AB＝5，OA＝3，∴OB'＝52∵∠AB'O+∠OAB'＝90°，∠AB'O+∠C'B'E＝90°，∴∠OAB'＝∠C'B'E，在△AB'O和△EB'C'中，∠AOB∴△AB'O≌△EB'C'（AAS），∴B'E＝OA＝3，EC'＝OB'＝4，∴OE＝OB'+B'E＝4+3＝7，∴點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（7，4）；②點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在y軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖，B'C'＝AB＝BC'＝5，yC=3-5=-2，xC=AB=5，∴點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（5，﹣2）；③點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在x軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖，∵∠AB'O+∠OAB'＝90°，∠AB'O+∠C'B'E＝90°，∴∠OAB'＝∠C'B'E，在△AB'O和△EB'C'中，∠AOB△AB'O≌△EB'C'（AAS），∴B'E＝OA＝3，EC'＝OB'＝4，∴OE＝OB'﹣B'E＝4﹣3＝1，∴點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；綜上所述：點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．故答案為：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合題意求出AB長(zhǎng)，進(jìn)而得到C（5，8），D（0，8），再結(jié)合題意畫出圖形：當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），分類討論：①點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在x軸正半軸上時(shí)，②點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在y軸負(fù)半軸上時(shí)，③點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在x軸負(fù)半軸上時(shí)，再根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求解。13．【答案】（1）解：原式=1+4×=1+=（2）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形.【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）先根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形OCED是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC=OD，從而根據(jù)菱形的判定即可求解。14．【答案】解：主視圖和左視圖如圖所示.【解析】【分析】先根據(jù)俯視圖結(jié)合題意畫出組合體，進(jìn)而即可畫出主視圖和左視圖。15．【答案】解：∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可知，α+β=2，α?β=?m∵α+2β=5，∴α+β+β=5，即2+β=5，解得β=3，∴α=?1，∴m=?α?β=3【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=2，α?β=?m，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解。16．【答案】（1）1（2）解：畫樹(shù)狀圖如下.由上可得，共有16種等可能的結(jié)果，其中抽到不同特色美食的結(jié)果有12種，∴小張、小美兩個(gè)人抽到不同特色美食的概率P=【解析】【解答】解：（1）由題意得從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，小張抽到卡片正面寫著“南昌炒粉”的概率是14，

故答案為：14

【分析】（1）根據(jù)簡(jiǎn)單事件的概率結(jié)合題意即可求解；17．【答案】（1）解：∵點(diǎn)A(?1,m)，B(n,∴m=4，n=4，即點(diǎn)A(?1,4)把點(diǎn)A(?1,4)，B(4,得?k+b=4,4k+b=?1∴一次函數(shù)的解析式為y=?x+3（2）解：x<?1或0<x<4【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而即可求出m和n，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可得到一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求解。18．【答案】解：根據(jù)題意，得∠ABD=37°，∠ABC=28°，CD=10米.在Rt△ABD中，tan∠ABD=∴AD=AB?在Rt△ABC中，tan∠ABC=∴AC=AB?∵CD=AD?AC=10米，∴0.75AB?0.答：橋AB的長(zhǎng)約為45.5米.【解析】【分析】根據(jù)題意得∠ABD=37°，∠ABC=28°，CD=10米，進(jìn)而解直角三角形表示出AD和AC即可求解。19．【答案】（1）400（2）解：由題意，得p=500?10(x?40)=?10x+900日銷售利潤(rùn)W=(x?30)p=(x?30)(?10x+900)=?10由題意可知，日銷售量不低于350盒，∴p≥350，即?10x+900≥350，解得x≤55，∴40≤x≤55∵?10<0，對(duì)稱軸為直線x=60，∴在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=55時(shí)，日銷售利潤(rùn)W取得最大值，最大利潤(rùn)為?10×(55?60)【解析】【解答】解：（1）由題意得p=500?(50?40)×10=400；故答案為：400；【分析】（1）根據(jù)題目信息進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)題意得到p與x的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而即可得到W與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍，從而根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解。20．【答案】（1）證明：如圖，連接OH.由題意可知，∠AHO=∠ACO=90°.又∵OH=OC，∴∠CAO=∠HAO，∴AO平分∠BAC（2）解：∵tan∴設(shè)OC=OH=r，則AC=AH=2r∵∠BHO=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BHO∽△BCA，∴BH∴BC=2BH.∵BH=AB?AH=5?2r，∴BC=10?4r在Rt△ABC中，AC2+B解得r=32或∴⊙O的半徑為32【解析】【分析】（1）連接OH，由題意可知∠AHO=∠ACO=90°，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義即可求解；

（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義設(shè)OC=OH=r，則AC=AH=2r，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△BHO∽△BCA得到BC=2BH，再結(jié)合題意運(yùn)用勾股定理即可求出r.21．【答案】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA.∵AC⊥BC，∠D=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC.（2）解：在Rt△ABC中，AC=A由（1）知△ACD∽△BAC，∴DCAC=AC（3）解：能.由題意，得BF=10?2t，BE=t.當(dāng)△EFB為等腰三角形時(shí)，可分下列三種情況：①當(dāng)BF=BE時(shí)，10?2t=t，解得t=10②如圖1，當(dāng)EF=EB時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，∴BG=1易得△BEG∽△BAC，∴BEAB=BGBC③如圖2，當(dāng)FB=FE時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H，∴BH=1易得△BFH∽△BAC，∴BFAB=BHBC綜上所述，當(dāng)△EFB為等腰三角形時(shí)，t的值為103或258【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC=∠DCA，進(jìn)而結(jié)合題意即可得到∠D=∠ACB=90°，再根據(jù)相似三角形的判定即可求解；

（2）先根據(jù)勾股定理求出AC，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合題意代入數(shù)值即可求出DC；

（3）由題意得BF=10?2t，BE=t，當(dāng)△EFB為等腰三角形時(shí)，可分三種情況：①當(dāng)BF=BE時(shí)，②當(dāng)EF=EB時(shí)，③當(dāng)FB=FE時(shí)，進(jìn)而根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)列出方程，解方程即可求解。22．【答案】（1）解：∵拋物線為y=?x2+bx+c∴“衍生直線”的表達(dá)式為y=?x+1∵“衍生直線”y=?x+1與x軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B(1∴拋物線的表達(dá)式為y=?(x?1)(x+3)=?令?x2?2x+3=?x+1，解得x=1把x=?2代入y=?x+1，得y=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2（2）解：①(?1,1)；(?3,2)；②點(diǎn)E1，E2，…，令x=1?2n，∴2∴這條直線的表達(dá)式為y=1【解析】【解答】解：（2）①對(duì)于y=?x+1，令x=0，則y=1，∴D1∴OD∵四邊形D1∴D1∴E1∵點(diǎn)D1，D2，D3