2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營-第3節(jié)-直線、平面的平行判定與性質(zhì)

第3節(jié)直線、平面的平行判定與性質(zhì)A級(jí)(基礎(chǔ)應(yīng)用練)1．(2022·浙江寧波模擬)下列命題正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α答案：D解析：A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．2．(2022·濟(jì)南高三模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能答案：B解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.3．(2022·哈爾濱市模擬)“平面α∥平面β”的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案：D解析：對(duì)于A，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行．故A不對(duì)；對(duì)于B，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故B不對(duì)；對(duì)于C，兩個(gè)平面中的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面，不能保證兩個(gè)平面平行，故C不對(duì)；對(duì)于D，兩個(gè)平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故D正確．4．(2022·浙江寧波質(zhì)檢)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1答案：D解析：由中位線定理可知GH∥D1C，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；由中位線定理可知EF∥A1B，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；由中位線定理可知EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，故平面EFGH與平面ABCD相交，故C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；由三角形中位線定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，因此平面EFGH∥平面A1BCD1，故本題選D.5．(2022·福州檢測)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)．則下列敘述正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案：B解析：過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))，連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ與平面EFG相交于點(diǎn)Q，故A錯(cuò)誤；∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正確；AP?平面ADD1A1，HG?平面ADD1A1，延長HG與PA必相交，故C錯(cuò)誤；易知平面A1BQ與平面EFG有交點(diǎn)Q，故D錯(cuò)誤．故選B.6．(2022·湖北襄陽月考)在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．答案：平面ABC，平面ABD解析：如圖，連接AM并延長交CD于點(diǎn)E，連接BN并延長交CD于點(diǎn)F，由重心性質(zhì)可知E，F(xiàn)重合，且E為CD的中點(diǎn)，∵eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,BN)＝eq\f(1,2)，∴MN∥AB，又AB?平面ABD，MN?平面ABD，∴MN∥平面ABD，又AB?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC.7.(2022·浙江省模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則EF＝________．答案：eq\r(2)解析：根據(jù)題意，因?yàn)镋F∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中點(diǎn)，所以F是CD的中點(diǎn)．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq\r(2).8．(2022·蘭州模擬)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號(hào))．答案：①或③解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確．B級(jí)(綜合創(chuàng)新練)9．(多選題)(2022·山東煙臺(tái)模擬)在下面四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是()答案：AD解析：對(duì)于A，如圖①，連接BC，可得BC∥MN，AC∥NP，從而得AC∥平面MNP，BC∥平面MNP，又AC∩CB＝C，∴平面ABC∥平面MNP，∴AB∥平面MNP；對(duì)于B，如圖②，連接BC交MP于點(diǎn)O，連接ON，易知在底面正方形中，O不是BC的中點(diǎn)(實(shí)際上是四等分點(diǎn)中靠近C的一個(gè))，而N是AC的中點(diǎn)，因此AB與ON不平行，在平面ABC內(nèi)，AB與ON必相交，此交點(diǎn)也是直線AB與平面MNP的公共點(diǎn)，直線AB與平面MNP相交而不平行；對(duì)于C，如圖③，連接BN，在正方體中有PN∥BM，因此B在平面MNP內(nèi)，直線AB與平面MNP相交而不平行；對(duì)于D，如圖④，連接CD，可得AB∥CD，CD∥NP，即AB∥NP，直線AB與平面MNP平行．故選AD.10．(多選題)(2022·江蘇南通高三模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則以下四個(gè)說法中正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APC答案：BC解析：對(duì)于A項(xiàng)，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知M，N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，AN?平面APC，所以C1Q∥平面APC是正確的；對(duì)于C項(xiàng)，由A項(xiàng)知A，P，M三點(diǎn)共線是正確的；對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．故選BC.11.(2022·山西模擬)如圖，這是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為P3A，P2D，P4C，P4B的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案：①②③④解析：先把平面展開圖還原為一個(gè)四棱錐，如圖所示．∵E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，∴EF∥AD，GH∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF，GH確定平面EFGH，∵EF?平面EFGH，AD?平面EFGH，∴AD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，平面EFGH∥平面ABCD，所以①正確；連接AC，BD交于O點(diǎn)，則O為AC的中點(diǎn)，連接OG，G為PC的中點(diǎn)，∴OG∥PA，OG?平面BDG，PA?平面BDG，∴PA∥平面BDG，∴②正確；同②同理可證EF∥平面PBC，∴③正確；同②同理可證FH∥平面BDG，∴④正確；EF∥GH，GH與平面BDG相交，∴EF與平面BDG相交，∴⑤不正確．12.(2022·河南安陽模擬)如圖，M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列命題：①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交；②過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1都相交；③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1都平行．其中真命題的序號(hào)為________．答案：①③解析：①假設(shè)有兩條直線m，n與直線AB，B1C1都相交，則此兩條相交直線m，n確定平面α，并且直線AB，B1C1均在此面內(nèi)，與直線AB，B1C1是異面直線矛盾，故①正確．②過M點(diǎn)與對(duì)角面AA1C1C平行的平面與AB，B1C1均相交，旋轉(zhuǎn)該面仍可能與AB，B1C1均相交，故②不正確．③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1都平行，此平面為過M點(diǎn)且與兩個(gè)底面平行的平面，故③正確．13.(2022·河北衡水模考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1上的一點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)當(dāng)BC1∥平面AB1D1時(shí)，求證：平面BC1D∥平面AB1D1.解：(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.如圖，此時(shí)D1為線段A1C1的中點(diǎn)，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的定義知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.故當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)證明：由(1)知，當(dāng)BC1∥平面AB1D1時(shí)，點(diǎn)D1是線段A1C1的中點(diǎn)，則有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，∴四邊形ADC1D1是平行四邊形．∴AD1∥DC1.又DC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1.又BC1∥平面AB1D1，BC1?平面BC1D，DC1?平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，∴平面BC1D∥平面AB1D1.14.(2022·煙臺(tái)模擬)如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求證：當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，線段MN總平行于平面FAD；(2)“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)證明；如果不正確，請(qǐng)說明能否改變個(gè)別已知條件使上述結(jié)論成立，并給出理由．解：(1)證明：在平面圖形中，連接MN(圖略)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)G.∵四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴AE∥DB.又AM＝DN，∴四邊形ADNM是平行四邊形，∴MN∥AD.當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，如圖，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.又MN?平面GNM，∴MN∥平面ADF.故當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，線段MN總平行于平面FAD.(2)這個(gè)結(jié)論不正確．要使上述結(jié)論成立，M，N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn)．理由如下：當(dāng)點(diǎn)F，A，D共線時(shí)，如題圖，易證得MN∥FD.當(dāng)點(diǎn)F，A，D不