高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程 第4版 課件 第5章 定積分及其應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第5章定積分及其應(yīng)用在科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)實(shí)生活的許多問題中，經(jīng)常需要計(jì)算某些“和式的極限”。定積分就是從各種計(jì)算“和式的極限”問題抽象出的數(shù)學(xué)概念，它與不定積分是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念。但是，微積分基本定理把這兩個(gè)概念聯(lián)系起來，解決了定積分的計(jì)算問題，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。

圖5-1如何計(jì)算曲邊梯形的面積A呢？在前面我們已經(jīng)作過類似的計(jì)算(見第1章第1。2節(jié)中的引例2)，方法是拆分區(qū)間、近似代替、求和、取極限，計(jì)算曲邊梯形的面積也采用這種方法。圖5-2圖5-3

上述兩個(gè)問題雖然實(shí)際意義不同，但解決問題的基本方法和步驟卻完全相同，最終都?xì)w結(jié)為一種特殊和式的極限。對(duì)于處理類似這種問題的思想方法，給出一個(gè)統(tǒng)一的說法和簡(jiǎn)單具有代表性的記號(hào)，這就是下面要介紹的定積分。

圖5-4

圖5-5

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5.2微積分基本公式

5.3定積分的換元法與分部積分法

使用定積分換元積分法時(shí)，需要注意的是:(1)換元時(shí)，如果積分變量改變了，則積分上、下限必須同時(shí)改變，即“換元必?fù)Q限”。(2)換元時(shí)，如果積分變量不變(例如用湊微分法時(shí))，則積分限不變，即“湊元不換限”。(3)所作代換必須滿足換元法中所限定的條件。

前面研究的定積分，積分區(qū)間有限且被積函數(shù)在積分區(qū)間上是有界的。但是我們還會(huì)遇到積分區(qū)間無限或被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的積分，這就是本節(jié)所要討論的問題。5.4廣義積分

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5.5定積分的應(yīng)用圖5-8

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圖5-10圖5-11計(jì)算平面圖形的面積的一般步驟:(1)畫出的草圖，根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)確定積分變量；(2)求出曲線與坐標(biāo)軸或曲線間的交點(diǎn)，找出積分的上下限；(3)根據(jù)所給公式，求出所求面積。

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5.6提示與提高

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課外學(xué)習(xí)51.在線學(xué)習(xí)（1）侯氏定理背后的84歲老先生：數(shù)學(xué)愛我，我愛數(shù)學(xué)（網(wǎng)頁鏈接見對(duì)應(yīng)配套電子課件）/s/GijDayRte1z1JOaX3vgy6g2.閱讀與寫作（1）閱讀本章“背景聚焦：微積分的發(fā)展歷程”