浙江專(zhuān)用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理與古典概率第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差練習(xí)含解析

PAGEPAGE9第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若隨機(jī)變量X的分布列為，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()XCP1A．E(X)＝D(X)＝0B．E(X)＝C，D(X)＝0C．E(X)＝0，D(X)＝CD．E(X)＝D(X)＝C解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B.2．(2024·稽陽(yáng)市聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)隨機(jī)變量ξ的分布列如下，且滿(mǎn)意E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為()ξ123PabcA.0 B．1C．2 D．無(wú)法確定，與a，b有關(guān)解析：選B.因?yàn)镋(ξ)＝2，則a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，聯(lián)立兩式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.3．(2024·高考浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，()A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小解析：選D.由題可得E(ξ)＝eq\f(1,2)＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)先增大后減小．故選D.4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2，4，6，8，10)，則D(X)等于()A．5 B．8C．10 D．16解析：選B.因?yàn)镋(X)＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以D(X)＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.5．設(shè)擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ，則()A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝eq\f(35,12)C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝eq\f(35,16)解析：選B.隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)從而E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝3.5，D(ξ)＝(1－3.5)2×eq\f(1,6)＋(2－3.5)2×eq\f(1,6)＋(3－3.5)2×eq\f(1,6)＋(4－3.5)2×eq\f(1,6)＋(5－3.5)2×eq\f(1,6)＋(6－3.5)2×eq\f(1,6)＝eq\f(35,12).6．如圖，將一個(gè)各面都凃了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()A．eq\f(126,125) B．eq\f(6,5)C．eq\f(168,125) D．eq\f(7,5)解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝eq\f(33,125)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(9×6,125)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(3×12,125)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125).故E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).7．(2024·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A.2 B．3C．4 D．5解析：選C.由題意可得：eq\f(1,6)＋p＋eq\f(1,3)＝1，解得p＝eq\f(1,2)，因?yàn)镋(X)＝2，所以0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故選C.8．(2024·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中隨意取3支，設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.9．罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為()A．eq\f(12,5) B．eq\f(24,25)C．eq\f(8,5) D．eq\f(2\r(6),5)解析：選B.因?yàn)槭怯蟹呕氐孛颍悦看蚊?試驗(yàn))摸得紅球(勝利)的概率均為eq\f(3,5)，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，X為取得紅球(勝利)的次數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，所以D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).10．已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1，2)個(gè)球放入甲盒中．(1)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i＝1，2)；(2)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則()A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2) B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)解析：選A.隨機(jī)變量ξ1，ξ2的分布列為ξ112Peq\f(n,m＋n)eq\f(m,m＋n)ξ2123Peq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))eq\f(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))所以E(ξ1)＝eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2m,m＋n)＝eq\f(2m＋n,m＋n)，E(ξ2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))＋eq\f(2Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))＋eq\f(3Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))＝eq\f(3m＋n,m＋n)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．因?yàn)閜1＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2（m＋n）)，p2＝eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))＋eq\f(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))·eq\f(2,3)＋eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))·eq\f(1,3)＝eq\f(3m＋n,3（m＋n）)，p1－p2＝eq\f(n,6（m＋n）)>0，所以p1>p2.11．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊競(jìng)賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ3456Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為_(kāi)___________．解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2.答案：0.212．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，則a的值為_(kāi)_________．解析：E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq\f(1,3)a＋3＝eq\f(7,3)，所以a＝2.答案：213．設(shè)口袋中有黑球、白球共9個(gè)．從中任取2個(gè)球，若取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為eq\f(2,3)，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：設(shè)白球有m個(gè)，則取得白球的數(shù)學(xué)期望是eq\f(Ceq\o\al(2,9)－m,Ceq\o\al(2,9))×0＋eq\f(Ceq\o\al(1,9)－mCeq\o\al(1,m),Ceq\o\al(2,9))×1＋eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,9))×2＝eq\f(2,3)，即eq\f(（9－m）m,36)＋eq\f(\f(m（m－1）,2),36)×2＝eq\f(2,3)，解得m＝3.答案：314．隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝eq\f(1,3)，則D(ξ)的值是________．解析：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1·a＋0·b＋1·c＝\f(1,3)，,a＋b＋c＝1，,2b＝a＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(1,2)，))所以D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)15．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________，設(shè)η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝________．解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).答案：－eq\f(1,6)eq\f(2,3)16．(2024·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校內(nèi)歌手有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，其中3名來(lái)自1班，其余7名來(lái)自其他互不相同的7個(gè)班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參與文藝晚會(huì)，則選出的3名同學(xué)來(lái)自不同班級(jí)的概率為_(kāi)_______，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______．解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同班級(jí)”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).隨機(jī)變量X的全部可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3)．所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(49,60)eq\f(6,5)17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對(duì)數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．解析：①?gòu)?雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝48.②X＝0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(（Ceq\o\al(1,2)）4,Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝1)＝eq\f(48,Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(24,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(3,35).X的分布列為X012Peq\f(8,35)eq\f(24,35)eq\f(3,35)E(X)＝0＋1×eq\f(24,35)＋2×eq\f(3,35)＝eq\f(6,7).答案：48eq\f(6,7)[實(shí)力提升]1．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5，D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))2．設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若Eη＝eq\f(5,3)，Dη＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.解：(1)由題意得ξ＝2，3，4，5，6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以Eη＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，Dη＝(1－eq\f(5,3))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋(2－eq\f(5,3))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋(3－eq\f(5,3))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9)，化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2.(1)求C1，C2有交點(diǎn)的概率P(A)；(2)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)設(shè)圓心(0，0)到直線(xiàn)ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點(diǎn)，則d＝eq\f(b,\r(a2＋1))≤eq\r(2)?b2≤2(a2＋1)．當(dāng)b＝1時(shí)，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝2時(shí)，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝3時(shí)，a＝2，3，4，5；當(dāng)b＝4時(shí)，a＝3，4，5；當(dāng)b＝5時(shí)，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種狀況，所以P(A)＝eq\f(19,5×5)＝eq\f(19,25).(2)當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，直線(xiàn)與圓相離，有6種狀況；當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只