上海市上海中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.填空題（每題3分）1．不等式（a2+1）x＜3的解為．2．用描述法表示所有十進(jìn)制下個位為9的正整數(shù)．3．設(shè)正實數(shù)x，y滿足xy＝20，則x+4y的最小值為．4．給定正實數(shù)a，b，化簡代數(shù)式?（）﹣1＝．5．已知實數(shù)a，b滿足log2a＝log5b＝，則lg（）＝．6．設(shè)集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m﹣1}．若A∩B＝A．則m的取值范圍是．7．已知集合A＝{（x，y）x2+y2＝50，x，y是自然數(shù)}，則A的真子集共有個．8．設(shè)集合A＝N，B＝{x|＞0，x∈R}，則A∩?RB＝．9．若不等式ax2+bx﹣7＜0的解集為（﹣∞，2）∪（7，+∞），則不等式﹣7x2+bx+a＞0的解集為．10．設(shè)x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）＝0，則log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）＝．11．已知a、b、c均為正實數(shù)，則的最大值為．12．集合A＝{1，2，4，…，26194}共有個數(shù)在十進(jìn)制下的最高位為1．二、選擇題（每題4分）13．（4分）設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，下列說法正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a＞b＞0，c＞d＞0，則＞ C．若＞b，則a＞b2 D．若a＞b＞0，則a2＞ab＞b214．（4分）已知實數(shù)a，b，則“＞0”是“|a|＞|b|”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要15．（4分）設(shè)a＝log35，b＝log57，則＝（）A． B． C． D．16．（4分）已知實數(shù)a，b，c滿足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|＝6，，則a2+b2+c2的最大值為（）A．3 B．9 C．18 D．27三、解答題（共48分）17．（6分）若實數(shù)x，y滿足集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．18．（8分）解下列不等式：（1）x2﹣5x+7＜|2x﹣5|；（2）+2x＜5．19．（10分）已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y＝4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值時x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值時x，y的值．20．（10分）某廠家在“雙11”中擬舉辦促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠家的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足關(guān)系式x＝3﹣（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動；則該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．己知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定年投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的售價定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本只包括固定投入和再投入兩部分資金）．（1）求k的值，并將該產(chǎn)品的年利潤y（萬元）表示為年促銷費用m（萬元）的函數(shù)；（2）該廠家年利潤的最大值為多少萬元？為此需要投入多少萬元的年促銷費用？21．（14分）已知實數(shù)a，b，c，d不全為0，給定函數(shù)f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．記方程f（x）＝0的解集為A，方程g（f（x））＝0的解集為B，若滿足A＝B≠?，則稱f（x），g（x）為一對“太極函數(shù)”．問：（1）當(dāng)a＝c＝d＝1，b＝0時，驗證f（x），g（x）是否為一對“太極函數(shù)”；（2）若f（x），g（x）為一對，“太極函數(shù)”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）為一對“太極函數(shù)”，若a＝1，c＞0，方程f（x）＝0存在正根m，求c的取值范圍（用含有m的代數(shù)式表示）．

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題（每題3分）1．不等式（a2+1）x＜3的解為（﹣∞，）．【分析】根據(jù)a2+1＞0，結(jié)合不等式性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為a2+1＞0，所以該不等式解為x＜，故答案為：（﹣∞，）．2．用描述法表示所有十進(jìn)制下個位為9的正整數(shù){x|x＝10n﹣1，（n∈N*）}．【分析】十進(jìn)制下個位為9的正整數(shù)為10n﹣1，（n∈N*），用描述法寫入集合即可．【解答】解：十進(jìn)制下個位為9的正整數(shù)為10n﹣1，（n∈N*），用描述法表示為{x|x＝10n﹣1，（n∈N*）}，故答案為：{x|x＝10n﹣1，（n∈N*）}．3．設(shè)正實數(shù)x，y滿足xy＝20，則x+4y的最小值為8．【分析】由基本不等式，即可得解．【解答】解：因為x＞0，y＞0，所以x+4y≥2＝2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y，即x＝4，y＝時，等號成立，所以x+4y的最小值為8．故答案為：8．4．給定正實數(shù)a，b，化簡代數(shù)式?（）﹣1＝．【分析】由＝，＝?，）﹣1＝代入化簡即可．【解答】解：?（）﹣1＝??＝?＝，故答案為：．5．已知實數(shù)a，b滿足log2a＝log5b＝，則lg（）＝2．【分析】先把已知的對數(shù)式化為指數(shù)式，求出a，b的值，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【解答】解：∵log2a＝log5b＝，∴a＝2，b＝，∴（ab）＝（2）＝102，∴l(xiāng)g（）＝lg102＝2，故答案為：2．6．設(shè)集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m﹣1}．若A∩B＝A．則m的取值范圍是[4，+∞）．【分析】推導(dǎo)出A?B，列出方程組，能求出m的取值范圍．【解答】解：集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m﹣1}，A∩B＝A，∴A?B，∴，解得m≥4．∴m的取值范圍是[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．7．已知集合A＝{（x，y）x2+y2＝50，x，y是自然數(shù)}，則A的真子集共有7個．【分析】采用列舉法，列舉出A中的元素，再計算真子集個數(shù)．【解答】解：∵A＝{（x，y）|x2+y2＝50，x，y是自然數(shù)}．∴A＝{（1，7），（5，5），（7，1）}共3個元素．∴A的真子集有23﹣1＝7個．故答案為：7．8．設(shè)集合A＝N，B＝{x|＞0，x∈R}，則A∩?RB＝{0，1，2，3}．【分析】先解一元二次不等式求出集合B，再根據(jù)集合的基本運算即可求解．【解答】解：∵B＝{x|＞0，x∈R}＝{x|（x+2）（x﹣3）＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，∴?RB＝{x|﹣2≤x≤3}，∵A＝N，∴A∩（?RB）＝{0，1，2，3}，故答案為：{0，1，2，3}．9．若不等式ax2+bx﹣7＜0的解集為（﹣∞，2）∪（7，+∞），則不等式﹣7x2+bx+a＞0的解集為（，）．【分析】設(shè)y＝ax2+bx﹣7，ax2+bx﹣7＜0的解集為（﹣∞，2）∪（7，+∞），得到開口向下，2和7為函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a與b的關(guān)系，化簡不等式﹣7x2+bx+a＞0即可求得答案．【解答】解：因為不等式ax2+bx﹣7＜0的解集為（﹣∞，2）∪（7，+∞），所以，解得，則不等式﹣7x2+bx+a＞0即為14x2﹣9x+1＜0，解得，故﹣7x2+bx+a＞0的解集為（，）．故答案為：（，）．10．設(shè)x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）＝0，則log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）＝﹣．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【解答】解：∵log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）＝0，∴++log2（log2x）＝0，∴＝0，∴??＝1，∴＝4，∵log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）＝＝＝＝﹣，故答案為：﹣．11．已知a、b、c均為正實數(shù)，則的最大值為．【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，利用a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，即可求出的最大值．【解答】解：a、b、c均為正實數(shù)，則a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，∴＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝b時，等號成立，∴的最大值為．故答案為：12．集合A＝{1，2，4，…，26194}共有1859個數(shù)在十進(jìn)制下的最高位為1．【分析】由2m的最高位為1，得到2mx（210）n的最高位也為1，構(gòu)成以指數(shù)冪為10的周期性，得到前三個數(shù)最高位數(shù)字為l的數(shù)為20，24，27，結(jié)合周期性，即可求解．【解答】解：若2m的最高位為1，由210＝1024，其中210的最高位為1，可得2m×（210）n的最高位也為1，所以構(gòu)成以指數(shù)冪為10的周期性，其中前三個數(shù)最高位數(shù)字為1的數(shù)為20，24，27，即每個周期內(nèi)有3個最高位為1的數(shù)字，又由26190＝20×210×619，26194＝24×210×619的最高位為1，所以在集合A＝{1，2，4…，26194}中最高位為1的共有619×3+2＝1859個．故答案為：1859．二、選擇題（每題4分）13．（4分）設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，下列說法正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a＞b＞0，c＞d＞0，則＞ C．若＞b，則a＞b2 D．若a＞b＞0，則a2＞ab＞b2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】解：對于A，令a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b，但a2＝b2，故A錯誤，對于B，令a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，滿足a＞b＞0，c＞d＞0，但，故B錯誤，對于C，令a＝1，b＝﹣1，滿足＞b，但a＝b2，故C錯誤，對于D，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，a2＞b2，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正確．故選：D．14．（4分）已知實數(shù)a，b，則“＞0”是“|a|＞|b|”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】由分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，結(jié)合平方差公式和絕對值不等式，由充分必要條件的定義可得結(jié)論．【解答】解：已知實數(shù)a，b，不等式＞0等價為（a+b）（a﹣b）＞0，即為a2﹣b2＞0，即a2＞b2，即為|a|＞|b|，所以“＞0”是“|a|＞|b|”的充要條件．故選：C．15．（4分）設(shè)a＝log35，b＝log57，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式求解．【解答】解：∵a＝log35，b＝log57，∴ab＝log37，∴＝log1549﹣log1545＝2log157﹣log155﹣2log153＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣﹣＝，故選：D．16．（4分）已知實數(shù)a，b，c滿足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|＝6，，則a2+b2+c2的最大值為（）A．3 B．9 C．18 D．27【分析】利用絕對值的性質(zhì)可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a，b，c＝±3，不合題意，再取a＝3，b＝﹣3，c＝0，符合題意，即可得解．【解答】解：∵6＝|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c）﹣a﹣b+c|＝2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a，b，c＝±3，顯然不可能；若a＝3，b＝﹣3，c＝0，此時符合題意，則a2+b2+c2＝18．故選：C．三、解答題（共48分）17．（6分）若實數(shù)x，y滿足集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．【分析】由集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等知，xy＝1，此時，{0，1，x}＝{0，|x|，y}，由此能夠求出x，y的值．【解答】解：由集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等知，lg（xy）＝0，即xy＝1，此時，{0，1，x}＝{0，|x|，y}．所以或，解得x＝y(tǒng)＝1或x＝y(tǒng)＝﹣1．當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，A＝B＝{0，1，1}，與集合元素互異性矛盾，應(yīng)舍去；當(dāng)x＝y(tǒng)＝﹣1時，A＝B＝{﹣1，0，1}，故x＝y(tǒng)＝﹣1．18．（8分）解下列不等式：（1）x2﹣5x+7＜|2x﹣5|；（2）+2x＜5．【分析】（1）結(jié)合不等式的特征，利用函數(shù)的對稱性去掉絕對值符號求解不等式即可；（2）將不等式進(jìn)行變形，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在特殊點的函數(shù)值可得不等式的解集．【解答】解：（1）當(dāng)時，不等式即：x2﹣5x+7＜2x﹣5，整理可得x2﹣7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）＝x2﹣5x+7，g（x）＝2x﹣5注意到函數(shù)f（x），g（x）均關(guān)于直線對稱，由函數(shù)的對稱性可得當(dāng)時不等式的解集為1＜x＜2，綜上可得，不等式的解集為（1，2）?（3，4）．（2）不等式即，不等式有解時，x≥1，注意到函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）＝﹣2x+5單調(diào)遞減，且f（2）＝g（2）＝1，結(jié)合函數(shù)的定義域可得不等式的解集為{x|1≤x＜2}．19．（10分）已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y＝4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值時x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值時x，y的值．【分析】（1）由已知得4﹣xy＝2x+y，然后結(jié)合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y表示x，然后代入后結(jié)合基本不等式可求．【解答】解：（1）因為xy+2x+y＝4，所以4﹣xy＝2x+y，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時取等號，解得，故xy的最大值8﹣4，此時x＝，y＝2﹣2；（2）因為xy+2x+y＝4，所以x＝＝﹣1+，所以x+y＝﹣1++y＝﹣3++y+2＝﹣3+2，當(dāng)且僅當(dāng)y+2＝，即y＝﹣2，x＝﹣1時取等號，x+y的最小值3+2．20．（10分）某廠家在“雙11”中擬舉辦促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠家的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足關(guān)系式x＝3﹣（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動；則該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．己知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定年投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的售價定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本只包括固定投入和再投入兩部分資金）．（1）求k的值，并將該產(chǎn)品的年利潤y（萬元）表示為年促銷費用m（萬元）的函數(shù)；（2）該廠家年利潤的最大值為多少萬元？為此需要投入多少萬元的年促銷費用？【分析】（1）當(dāng)m＝0時，x＝1，求出k的值，從而得到x，然后利用每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×元，列出y的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）由題意可知，當(dāng)m＝0時，x＝1，則1＝3﹣k，解得k＝2，所以x＝3﹣，因為每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×元，∴利潤函數(shù)y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因為利潤函數(shù)y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，當(dāng)m≥0時，+（m+1）≥2＝8，∴y≤﹣8+29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m+1，即m＝3（萬