廣東省潮州市數(shù)學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-6-1構(gòu)造與論證

廣東省潮州市數(shù)學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-6-1構(gòu)造與論證

姓名:班級:成績:

蜜f親愛的小朋友們，這一段時間的學(xué)習(xí)，你們收獲怎么樣呢？今天就讓我們來檢驗一下吧！

一、最佳安排和選擇方案（共20題；共103分）

1.（1分）德國隊、意大利隊、荷蘭隊進行一次足球比賽，每隊與另兩支隊各賽一場。已知：⑴意大利隊總

進球數(shù)是0,并且有一場打了平局；⑵荷蘭隊總進球數(shù)是1,總失球數(shù)是2,并且咳隊恰好勝了一場。按規(guī)則：勝一

場得2分，平一場得1分，負一場得。分。同德國隊得了_______分。

2.（5分）木材加工廠堆放原木（堆放方式如下圖所示），每上一層都比原來一層少4根。已知最上層有4根,

最下層有20根。

0

層

oooooooocioooooooo

（1）這堆原木堆放了多少層？

（2）一共有多少根原木？

3.（5分）在下面的方格中，每行、每列都有1?4這四個數(shù)，并且每個數(shù)在每行、每列都只出現(xiàn)一次。13、C

應(yīng)該是幾?

14

A4

3

2C

4.（5分）小華在一個文具店里買了5支鉛筆，4塊橡皮，8個練習(xí)本，付給售貨員2元錢，售貨員叔叔找給

他5角5分.小華看了看鉛筆的價格是每支8分，就說：“叔叔，您把帳算錯啦！”請問：小華怎么知道這筆帳算

錯了？

5.（10分）世界杯足球賽，每個小組有4支球隊，每兩支球隊之間各賽一場，勝一場得3分，負一場得0

分，平局各得1分.每個小組總分最多的兩支球隊出線.如果在第一小組比賽中出現(xiàn)了一場平局，問：在第一小組

中一支球隊至少得多少分，一定能夠出線？

6.（5分）某次會議有25人參加，每人至少認識一個人.在這25人中至少有兩人認識的人數(shù)相同.你知道

為什么嗎？

7.（5分）甲、乙、丙三人，一個總說謊，一個從不說謊，一個有時說謊.有一次談到他們的職業(yè).甲說：

“我是油漆匠，乙是鋼琴師，丙是建筑師.”乙說：“我是醫(yī)生，丙是警察，你如果問甲，甲會說他是油漆匠.”

丙說：“乙是鋼琴師，甲是建筑師，我是警察.”你知道誰總說謊嗎？

8.（10分）有六個大小相同的彩球，三個紅，三個白，分別放入三個皤子里，一個罐里放兩紅球，一個罐里

放兩白球，另一罐放一紅一白.然后將寫有“兩紅”、“兩向”、“紅白”的三個標簽貼在三個罐子上，由于粗心，

三個標簽全貼錯了.試問此時最少要從解子中取出幾個球，才能確定三個罐分別裝的是什么彩球？

9.（5分）有一個年輕人，他要過一條河去辦事：但是，這條河沒有船也沒有橋。于是他便在上午游泳過河，

只一個小時的時間他便游到了對岸，當天下午，河水的寬度以及流速都沒有變，更重要的是他的游泳速度也沒有變，

可是他竟用了兩個半小時才游到河對岸.

10.（2分）求證：對于任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a,b,c,d,e,f,使得（。一以《一㈤

是105的倍數(shù).

11.（5分）劉剛、馬輝、李強三個男孩各有一個妹妹，六個人進行乒乓球混合雙打比賽.事先規(guī)定：兄妹二

人不許搭伴.第一盤：劉剛和小麗對李強和小英；第二盤：李強和小紅對劉剛和馬輝的妹妹.問：三個男孩的妹妹

分別是誰？

12.（5分）煙鬼甲每天抽50支煙，煙鬼乙每天抽10支煙。5年后，煙鬼乙抽的煙比煙鬼甲抽的還多，為什

么？

13.（5分）趣味滑冰錦標賽最后進行的是花樣滑冰雙人滑的表演，規(guī)定男女雙方都不能和自己的原搭檔在一

起表演.男士用X、月、C表示，女士用甲、乙、丙表示.已知前面表演過程中A和甲一起滑過，R和丙

一起滑過，C和甲一起滑過，月和乙一起滑過，C的新搭檔不可能是丙，那么乙的新搭檔是誰？

14.（5分）（2011?廣州模擬）某路公共汽車，包括起點和終點共有15個車站，有一輛車除終點外，每一站

上車的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下車，為了使每位乘客都有座位，問這輛公共汽車最少要有多少個

座位?

15.（5分）甲、乙、丙三個小學(xué)生都是少先隊的干部，一個是大隊長，一個是中隊長，一個是小隊長.一次

數(shù)學(xué)測驗，這三個人的成績是：（D丙比大隊長的成績好.（2）甲和中隊長的成績不相同.（3）中隊長比乙的成績差.請

你根據(jù)這三個人的成績，判斷一下，誰是大隊長呢？

16.（5分）三個小朋友跳繩，分別跳765下、60下和56下，他們?nèi)烁魈硕嗌傧拢?/p>

我跳的比］

鐘

小明小蘭

17.（5分）老師讓小新把小胖、小貝、小丸子、小淘氣、小馬虎的作業(yè)本帶回去，小新見到這五人后就一人

給了一本，結(jié)果全發(fā)錯了.現(xiàn)在知道：

⑴小胖拿的不是小貝的，也不是小淘氣的；

⑵小貝拿的不是小丸子的，也不是小淘氣的；

⑶小丸子拿的不是小貝的，也不是小馬虎的；

（4）小淘氣拿的不是小丸子的，也不是小馬虎的；

⑸小馬虎拿的不是小淘氣的，也不是小胖的.另外，沒有兩人相互拿錯（例如小胖拿小貝的，小貝拿小胖的）.

問：小丸子拿的是誰的本？小丸子的本被誰拿走了？

18.15分）四名同學(xué)參加區(qū)里圍棋比賽，每兩名選手都要比賽一局，規(guī)則規(guī)定勝一局得2分，平一局得1分,

負一局得0分.如果每個人最后得的總分都不相同，且第一名不是全勝，那么最多有幾局平局？

19.（5分）排隊游戲。

小冰、小亮、小強、小風(fēng)四人一起排隊上車。小風(fēng)在小冰和小亮的中間，小強在最后，小冰不是第一個。請把

他們的名字從前往后寫下來。

20.（5分）4名運動員參加一項比賽，賽前，甲說：“我肯定是最后一名.”乙說：“我不可能是第一名，

也不可能是最后一名.”丙說：“我絕對不會得最后一名.”丁說：“我肯定得第一名.”賽后，發(fā)現(xiàn)他們4人

的預(yù)測中只有一人是錯誤的.請問誰的預(yù)測是錯誤的？

二、染色與賦值問題（共13題；共70分）

21.（5分）一位法官在審理一起盜竊案中，對涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進行了審問.四人分別供

述如下：

甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中.”

乙說：“我沒有作案，是丙偷的.”

丙說：“在甲和丁中間有一人是罪犯.”

丁說：“乙說的是事實.”

經(jīng)過充分的調(diào)查，證實這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話.

同學(xué)們，請你做一名公正的法官，對此案進行裁決，確認誰是罪犯？

22.（5分）甲、乙、丙、丁在談?wù)撍麄兗八麄兊耐瑢W(xué)何偉的居住地.

甲說：“我和乙都住在北京，丙住在天津.”

乙說：“我和丁都住在上海，丙住在天津.”

丙說：“我和甲都不住在北京，何偉住在南京.”

丁說：“甲和乙都住在北京，我住在廣州.”

假定他們每個人都說了兩句真話，一句假話.問：不在場的何偉住在哪兒？

23.（5分）張紅因病在家休息了幾天，這期間的氣候是：⑴下了8次雨，時間是上午或下午；⑵當下午下雨

時，當天上午是晴天；⑶有9個下午是晴天；⑷有13個上午是晴天。問她一共在家休息了幾天？

24.（5分）從A,B,C,D,E,F六種產(chǎn)品中挑選出部分產(chǎn)品去參加博覽會。根據(jù)挑選規(guī)則，參展產(chǎn)品滿足

下列要求：

（1）A,B兩種產(chǎn)品中至少選一種；

（2）A,D兩種產(chǎn)品不能同時入選；

（3）A,E,F三種產(chǎn)品中要選兩種；

（4）B,C兩種產(chǎn)品都入選或都不能入選:

（5）C,D兩種產(chǎn)品中選一種;

（6）若D種產(chǎn)品不入選，則E種也不能入選。

問：哪幾種產(chǎn)品被選中參展？

25.（5分）三名學(xué)生進行了若干科目的考試，以考得的名次進行記分.考得第一名得分最多，其次是第二名，

第三名得分最少。各科都是如此記分.已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分.并且已知乙英語考試

得了第一名，問數(shù)學(xué)第二是誰？

26.（5分）三個小朋友去買文具，他們分別要買鉛筆、轉(zhuǎn)筆刀和尺子。

K手〔工是忸筆JI是什么？

Ba

小軍小制小函

27.（5分）學(xué)校組織了足球、書法和舞蹈興趣小組。淘氣、笑笑和晶晶根據(jù)自己的興趣，分別參加了其中一

個興趣小組。笑笑不喜歡踢足球，晶晶不是舞蹈興趣小組的，淘氣喜歡書法。他們分別參加了哪個興趣小組？

28.（5分）先填一填，再說說我的新發(fā)現(xiàn).

觀察表，我發(fā)現(xiàn)了：

29.（10分）2003年7月25日，世界青年女籃錦標賽在克羅地亞開戰(zhàn)，參加這屆世青賽的隊伍共有12支。

（1）第一階段分兩組進行單循環(huán)比賽，每個小組有_______支球隊，兩個小組一共進行________場比賽。

（2）中青隊、阿根廷隊、澳大利亞隊、俄羅斯隊、拉托維亞隊、突尼斯隊在這次比賽中被分在一組，則這一

小組需要賽幾場?請畫出示意圖。

（3）第二階段由小組前四名晉級八強，進行交叉淘汰賽。

把8支球隊依次編為A、B、C、D、E、F、C、H,補全八強比賽的示意圖；

ABCDEFGH

I]IIIIIJII]I-----第一輪

j你能寫出第二飛

I產(chǎn)三輪---嗎？I

（4）一共要比賽輪，就可以決出冠軍和亞軍來。

（5）第二階段一共要賽場，H以決出冠軍亞軍來。

（6）如果這12支球隊一支采用單循環(huán)制，則一共要賽場。如果每天安排3場比賽，全部比賽大約

需要天。

30.（5分）學(xué)校新來了一位老師，五人學(xué)生分別聽到如下的情況：

⑴是一位姓王的中年女老師，教語文課；

⑵是一位姓丁的中年男老師，教數(shù)學(xué)課；

⑶是一位姓劉的青年男老師，教外語課；

⑷是一位姓李的青年男老師，教數(shù)學(xué)課；

⑸是一位姓王的老年男老師，教外語課.

他們每人聽到的四項情況中各有?項正確.問：真實情況如何?

31.（5分）給三個非常聰明的人各戴了一頂帽子.并且告訴他們，他們的帽子的顏色可能是紅色的，也可能

是藍色的，沒有其他顏色.且三人中至少有一個人的帽子是紅色的.三人互相看了看，沒有人能很快地說出自己戴

的是什么顏色的帽子.三人又冥思苦想了一陣，幾乎同時都猜到了自己戴了什么顏色的帽子.你知道他們?nèi)烁鞔?/p>

了什么顏色的帽子嗎？請說明理由.

32.（5分）將100顆綠豆和100顆黃豆混在一起又一分為二，需要幾次才能使A堆中黃豆和B堆中的綠豆相

等呢？

33.（5分）去年頒獎大會上，很多同學(xué)都過來領(lǐng)獎了。崔夢迪老師在讓所有獲獎的同學(xué)就座后，突

然突發(fā)奇想，讓所有同學(xué)用一張紙寫下來在會場里的其他同學(xué)中，自己認識的人數(shù)。崔老師把同學(xué)們寫好的紙條收

走后，看了一遍，說：“真巧，咱們所有同學(xué)在這里認識的人數(shù)都剛好不一樣?！边@時下面有個特別聰明的同學(xué)，

立刻說道：“不可能，肯定是有人統(tǒng)計錯了！”當他解釋過自己這樣說的原因后，教室里的其他同學(xué)們和崔老師都

很佩服這個同學(xué)。那么同學(xué)們能夠說出這個同學(xué)這樣說的原因嗎？

參考答案

一、最佳安排和選擇方案（共20題；共103分）

1-K【第1空】3

（20-4）+4=4（層）4，1=5（層）

2-1、答：這堆原木堆放了5層.

解：（4+20）*5+2=60（根）

2-2、答：一共有60根原木.

3一1、答：B是1,C是3

4-1、

婚：因為每支鉛篤的價格是8分，所以5支鉛筆的價錢是8X5=40（分），40是4的倍數(shù)；4塊檢皮和8個塞記本，不管它們各

自的單價是多少，總共應(yīng)付的錢也是4的倍數(shù).但是，J中給了售貨員2元錢，找回5角5分,實際付給售貨員1元4角5分，因為

145（分）不是4的倍數(shù)，所以4、華新定售貨員把這筆帳尊錯了.

5-1、

解：考察兩支隊之間進行比賽所獲得的分數(shù),如果產(chǎn)生勝負關(guān)系，那么兩隊總得分為3分,如果平局，則總靄分為2分.四支隊

伍相互間進行了6場比賽,如杲不出現(xiàn)平局，應(yīng)當?shù)梅挚偤蜑?8分，但是B現(xiàn)了一場平局，因此總得分為18-1=17分.一支

隊伍要確保出愛,必須保證不可能出現(xiàn)兩支比自己圖分鬲的球隊.因此其得分應(yīng)大于息得分的1,因此這支球隊至少要得

17-3=sj分，即至少薪分.很容易說明得6分一定出線，因為如果存在兄外兩支隊伍出法,那么他們的得分應(yīng)不小于6分，

因此總得分將不小于18分，多盾.另外，如果再分不到6分,那么這支球隊最多只能得4分（因為得5分意味藕兩場平局,題目

中修訴我們只有一場平局），這時候其他三支球隊忌得分為13分，如果分別為6分，6分，1分，那么4分的球隊就不能出線了.

6-1、

婚：善加會議的人，認識的人數(shù)可以是：1人、2人、3人......24人，共有24種情況.現(xiàn)在有25人，所以至少有2個人認識的

人數(shù)相同.

7-1、

解：甲.如果甲從不說謊，那么乙的最后一句、丙的第一句都對，沒有總說謊的人，矛底；同理，如果丙從不說謊，也將推出

矛盾.

s1

婚：因為所有at子上的標筌都和罐中實物不符，所以在貼有?紅白"標簽的at子中只能是兩紅或兩白.月弘只需在"紅白"罐

子中取出一個彩球，若是紅色球，則可知罐中是兩紅，那么標有"兩白”的窿子中就是"一紅一白"，標育??兩紅”的罐子中

就是“兩白?；若是白色球,則可知罐中是“兩白~,月以標有"兩紅”的庭子中就是?一紅一白.，而標有,兩白”的罐子

中就是‘兩紅??

答：最少從寫有“紅白”的娓子中取出1個球，才能確定三個罐分別裝的什么彩球.

9一1、解：兩個半小就是一小時啊.

解:105=3x5x7,

對于任意的8個自然數(shù),必可選出2個數(shù)，使它們的空是7的倍數(shù)；

在剩下的&b數(shù)中,又可選出2個數(shù)，使它們的差是5的倍數(shù)；

再在河下的4個數(shù)中，又可選出2個數(shù),使它們的差是3的臉.

10-1,則（。一"50”7）由是3、5.7m?,即（0-以《一。"/）是105&^5.

11-1、

解：因為兄妹二人不許搭伴，所以襄目條件表明：劉剛與小麗、李強與“疾、李強與都不是兄妹.由第二盤看出,小紅不

是馬輝的妹妹.將這些關(guān)系畫在左下表中，由左下表可得右下表.

小麗小英慎小麗小英恒

劉剛X劉剛XXJ

馬律XXJX

李強XXJXX

劉剛與〃也、馬輝與“庚、李等與〃曲分別是兄妹.

12-1、解：煙再甲抽得太多了早死了.

解：根據(jù)皂意可列出以下表格，表示二者不可能是新播檔.

中乙為

AX

BXX

CXX

13-1、由上啊以發(fā)現(xiàn)甲瞰前橙是5，C的新搭檔不可能是丙，所以丙的新搭檔是a，乙0朔播檔是C.

14-1、

斛：起點站后有14站，可知起點站有14人上車，0人下車，以下情況：起點站上14人，下0人；第2站上13人，下1人；第3站

上12人，下2人;第4站上11,下3人；第5站±10，下4人；第6站上9人，下5人；第7站上8人，下6人；第8站上7人，下

7人；第班上6人，下8人；從第9站時開始上的人比下車的少，可知在第8站后車上人數(shù)為最多，應(yīng)該;隹備的座位是:

14*13*12+11+10*9*8+7-0-1-2-3-4-5-6-7=84-28=56（個）.

答:這輛公共汽車最少要有5&b座位.

15-1、

解：根據(jù)條件（2閑期），甲和中隊長的成績不相同，中隊長比乙的蝴差,可以斷定，甲不是中隊長,乙位不是中隊長，只有丙

是中隊長了（也可以列表確定中隊長）.甲和乙滿人誰是大隊長呢?由（1函］（3）,丙比大隊長的成績好,中隊長比乙的蜘差.

可以推斷想接成緩鬲期例的話,乙的的比中隊長（丙）的成*,丙的成績比大隊長的成翅.這樣，乙、丙就都不是大

隊長，月修，大隊長肯定是甲?

16-1、答：小紅跳了60下，小明跳了56下，小蘭第了65下.

鰭：根比一全發(fā)錯了”及條件（i）~（5）,可以得到下表：

小胖的本小貝的本小丸子的本小海氣的本小馬虎

小胖XXX

小貝XXX

小丸子XXX

小淘氣XXX

小馬虎XXX

由表1看出，小海氣的本被小丸子拿了.此時,再繼續(xù)推理分析不大好下手，我們可用假設(shè)法.

田上表知，〃用拿的本不是小丸子的就是〃0虎的.先假設(shè)小胖拿了小丸子的本.于是得到下表，

表中小貝拿虎的本，4但＞虎拿小貝的本.兩人相互拿錯，不合通息.

小胖的本小貝的本小丸子的本小淘氣的本小馬虎

小林XXJXX

小貝XXXXV

小丸子XXXJX

小海氣XXXX

小馬虎X7XXX

再假設(shè)小胖拿〃弓虎的本.于是又可得表，經(jīng)檢獨，下表符合副?.

小胖的本小貝的本小丸子的本小洵氣的本小馬虎

小肝XXXXJ

小貝XXXX

小丸子XXX7X

小海氣XXXX

小馬虎XXVXX

17-1、所以小丸子拿了小育鶴本，小丸子的本梭小馬虎拿去了.

18-1

解：四人共賽6局，總分為6x2=12（分）.因為總分各不相同，分配得：12=5+4+2+］或12=5+4+3+0*平局

最多的皮該是5、4.2、1的情況?總分是奇數(shù)的心有一局平局，當?shù)梅质?分、1分的同學(xué)分另歸得分是4分、2分的

同學(xué)打平后，得分是4分、2分的同學(xué)就還剩下3分、1分，互相打平就正好,所以平局最多是3局.

答：最多有3局平局.

19-1、小亮、小風(fēng)、小冰、小強

20-1、

斛：假設(shè)中的預(yù)測是攆的，再陷怎他三人的預(yù)測都是對的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名,這樣

的話沒有人是最后一名，矛盾.所以甲的網(wǎng)是對的，甲是最后一名，那么丙的耐也是對的.如果乙的預(yù)測是錯的，月隱乙

是第一名,而丁的預(yù)測是對的，丁也是第一名，矛盾.所以乙的預(yù)瀉是對的，丁的預(yù)測是后的.

二、染色與賦值問題（共13題；共70分）

21-1、

解：如果甲說的是假話，那么財下三人中有一人說的也是假話，另外兩人說的是真話.可是乙和丁兩人的觀點一致，所以在對

下的三人中只嚏是丙說了假話,乙和丁說的都是直話.圓”丙是盜竊犯“.這樣一來，甲說的也是對的，不是假話.這樣，前

后就產(chǎn)生了矛盾.所以甲說的不可能是假話,只靛是真話.同理，剩下的三人中只能是丙說真話.乙和丁說的是假話,即丙不

是罪犯,乙是罪犯.又由甲所述為直話，即甲不是罪犯.再由丙所述為真話，即丁是罪犯.所以乙和丁是盜竊犯.

22-1、

解：因為甲、乙都說.丙住在天津J我們可以恁設(shè)這句話是假話，到松甲、乙的前兩句應(yīng)當都是直話，推出乙既住在W年又

住在上痔，矛盾.所以假設(shè)不成立，即“丙住在天津”是真話.

因為甲的前兩句話中有一句假話，而甲、丁兩人的前兩句話相同，所以丁的第三句話“我住在廣州”是真的.

由此知乙的第二句話’丁住在上?！笔羌僭挘谝痪洹拔易≡谏虾！笔钦嬖?；進而推知甲的第二句是假話，第一句”我住在北

烹.是真話；最后推知丙的第二句話是假話,第三句??何住住在南京”是真活.所以,何隹住在南京.

23-1、

婚：因為（2）當下午下雨時，當天上午愴好是晴天,如果上午下雨，下午也必定是晴天因此每天只可能上午或者下午下雨.設(shè)

他休息了妖，（X-9）為下午下雨的次數(shù)，（X-13）為上午下雨的次數(shù)（X-9）+（X-13）=8,2X=3O,X=15,休息了15天

24-1、

婚：用線設(shè)法.從條件（1）開始，有三種情況：

①K設(shè)選A不B選，由（2）知D不能入選，再由（5）知C入選，再由（4）椎知C,B同時入選，與前面假設(shè)不選B矛盾.假設(shè)不

②?設(shè)選B不選A，田（3）知選E,F,由（6）知D入選，再由（5）知C不入選，再由（4）推知B,C都不入選,與假設(shè)選B矛

盾.假設(shè)不成立.

③設(shè)A,B都入選，由（2）知D不入選，由（6）如E也不入選，再由（3）知F入選，由（4）知（:入選.總合題意.因此，

A,B,C,F選中餐展.

25-1

*：由乙英語笫一，至少乙得3分，且總分為冽.所以科目不會多于7科,且每科第一名至多得8分.又由甲m分為22分,所以

考試科目不少于3科.因為三人共得40分,而每科分配得分情況相同，故考試科目數(shù)應(yīng)是40的約數(shù)，而3,6,7都不是40的約

數(shù)，所以只可能是4科或5科.薦附,每科共為1g.按名次分配應(yīng)有4種：(7,2,1).(6,3,1),(5,4,1).

(5,3,2).由甲共存2筠，且至多有3科第一(英語不是第一),則后三種情況不成立，因為即便是3科第一"科第二，總

分也達到不了22分.又由乙得9分，目英諾第一.如果按(7,2,1)分配，即使其他三科都是最后一名,得1分，總分也超過9

分.所以，以上幾種慵況不能成立.若是5科，雌供為8分,按名次分配只有兩種：(5,2,1);(4,3,1),而后Tto

不能成立,原因仍然是不能與甲22分助合.所以只有(5,2,1)苻合題意.按照這種分配方案：乙的得分情況是5,1,1,

1,1.甲的得分情況是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英語,所以數(shù)字第二H能是丙.

26-1,答：小所要買的是鉛筆.

27-1、海氣會加了書法興廛小姐,笑笑參加了籌韶興趣小組，JBgQ了足球興趣小組.

28-1

X123456789

1123456789

224681012141618

3369121518212427

4

【第1空】解：4812162024283236觀察表，我發(fā)現(xiàn)了:(1)1,4,9,16,25,3