2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式61-70-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

若即時(shí),由于在上單調(diào)遞增，所以為方程的較大根,所以.綜上可知【例3】集合是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)成的:對(duì)于任意的且,都有(1)分別判斷函數(shù)及是否在集合中?并說(shuō)明理由;設(shè)函數(shù),且求證:當(dāng)時(shí)【解析】(1)任取.且則因?yàn)樗?所以亦即;對(duì)于只需取則,而,所以.(2)因?yàn)閷儆诩?所以任取且則也即①設(shè)則上式化為②.因?yàn)樗?式對(duì)任意的恒成立，即②式對(duì)恒成立。所以故可以證明事實(shí)上,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí).所以當(dāng)時(shí)，七、奇偶與周期【例1】設(shè)是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù),對(duì)用表示區(qū)間,已知當(dāng)時(shí)(1)求在上的解析式(2)對(duì)求集合。【解析】f(x)是以2為周期的函數(shù),當(dāng)時(shí),2k是的周期.當(dāng)時(shí)故.即對(duì)當(dāng)時(shí).（2）解法1：當(dāng)且時(shí)，利用（1）的結(jié)論可得方程整理得上述方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是滿足化簡(jiǎn)得由①知或.當(dāng)時(shí),因?yàn)楣蕪蘑冖劭傻?即即即當(dāng)時(shí)易知無(wú)解.綜上所述,應(yīng)滿足.故所求集合解法2:用參數(shù)分離法.分離參數(shù)得,畫(huà)出函數(shù)和的圖象,如圖,即得所求集合為解法3:用參數(shù)不完全分離法.令畫(huà)出兩函數(shù)的圖象,如圖，由題意知，需要滿足解得所求集合為【評(píng)注】解法1時(shí)當(dāng)年高考的標(biāo)準(zhǔn)答案，是通法，但十分復(fù)雜；解法2和解法3利用參數(shù)分離并數(shù)形結(jié)合求解,更加簡(jiǎn)捷明快.【例2】設(shè)函數(shù)表示實(shí)數(shù)與的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對(duì)值.(1)當(dāng)時(shí),求出的解析式$;$當(dāng)時(shí),寫(xiě)出用絕對(duì)值符號(hào)表示的的解析式,并說(shuō)明理由;(2)用定義證明函數(shù)是偶函數(shù);(3)若,求證:方程有且只有一個(gè)實(shí)根.【解析】(1)當(dāng)時(shí),由定義知,與0距離最近,.當(dāng)時(shí),由定義知,k為與最近的一個(gè)整數(shù)，故(2)對(duì)任何函數(shù)都存在,且存在滿足.由得即.由（1）的結(jié)論，，即是偶函數(shù)(3)即(i)當(dāng)時(shí)沒(méi)有大于1的實(shí)根(ii)容易驗(yàn)證為方程的實(shí)根;(iii)當(dāng)時(shí),方程即為設(shè)則所以當(dāng)時(shí)為減函數(shù),所以方程沒(méi)有的實(shí)根;（IV）當(dāng)時(shí),方程即為.設(shè)，為減函數(shù)，所以方程沒(méi)有的實(shí)根.綜上可知,若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根,為1.八、二次函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)【例1】對(duì)于函數(shù)若存在使得成立,則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn),已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;（3）在（2）條件下，若圖象上的A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),求的最小值.【解析】(1)當(dāng)時(shí)由題意有解得或故當(dāng)時(shí)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為(2)因?yàn)楹阌袃蓚€(gè)不動(dòng)點(diǎn),所以即恒有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,得恒成立,于是解得所以當(dāng)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),的取值范圍是（3）由題意知A,B兩點(diǎn)應(yīng)在直線上.設(shè)的中點(diǎn)為,因?yàn)锳,B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),所以.因?yàn)槭欠匠痰膬筛?所以,由點(diǎn)在直線上,得.因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故的最小值為.【規(guī)律探究】函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)：已知函數(shù)若存在使得則稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).不動(dòng)點(diǎn)實(shí)際上是方程組的解的橫坐標(biāo),或兩者圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),當(dāng)然,這個(gè)方程組根據(jù)函數(shù)的不同，可能有多解.【例2】設(shè)集合.(1)求證;(2)單調(diào)遞增時(shí),是否有證明你的結(jié)論.【解析】(1)任取則,所以因此命題得證.（2）由(1)知，只需妥證明.任取則若因?yàn)閱握{(diào)遞增,所以這與假設(shè)矛盾,因此同理可得;故所以命題得證.【評(píng)注】由此我們可以看出：的零點(diǎn)一定是的零點(diǎn)，但是反之不真（例如：設(shè)則易見(jiàn)定義域中的每個(gè)值都是的不動(dòng)點(diǎn),但是沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)).由千的零點(diǎn)一定是的零點(diǎn),故當(dāng)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),中一定含有項(xiàng).特別地,如果.$$【規(guī)律探究】函數(shù)穩(wěn)定點(diǎn)：已知函數(shù)若存在使得則稱(chēng)為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).很顯然,若為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),則必為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).證明方法非常簡(jiǎn)單:因?yàn)樗?即故也是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).反之，有沒(méi)有不是不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn)呢?答案是肯定的，如:(1)的解兵有一個(gè)故函數(shù)有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)1;(2)的解為故函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn);(3)設(shè)今解得故函數(shù)有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)1;(4)令因?yàn)椴粍?dòng)點(diǎn)必為穩(wěn)定點(diǎn),所以該方程一定有兩解因式分解,可得還有另外兩解故函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)有其中是穩(wěn)定點(diǎn),但不是不動(dòng)點(diǎn).請(qǐng)看下面四個(gè)圖形,分別對(duì)應(yīng)以上(1)由此,清晰可見(jiàn),不動(dòng)點(diǎn)是函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),而穩(wěn)定點(diǎn)是函數(shù)圖象與它的反函數(shù)(可以是多值的)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).根據(jù)例1和例3,我們可以給出命題:若函數(shù)單調(diào)遞增,則它的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)是完全等價(jià)的.證明:若函數(shù)有不動(dòng)點(diǎn)顯然它也有穩(wěn)定點(diǎn)若函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)即設(shè)則,即和都在函數(shù)的圖象上，假設(shè)因?yàn)槭窃龊瘮?shù),則即與假設(shè)矛盾;假設(shè),因?yàn)槭窃龊瘮?shù),則,即,與假設(shè)矛盾;故即即有不動(dòng)點(diǎn).變式訓(xùn)練1.設(shè)如果求.2.已知函數(shù),且沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則是否有實(shí)數(shù)根?證明你的結(jié)論.3.設(shè)且求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例3】求證:若有唯一不動(dòng)點(diǎn),則也有唯一不動(dòng)點(diǎn).【解析】存在性:設(shè)是的唯一不動(dòng),點(diǎn),記則所以,故也是的不動(dòng)點(diǎn).由只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)可知因此即有不動(dòng).點(diǎn).唯一性:假設(shè)也是的不動(dòng),點(diǎn),易見(jiàn)也是的不動(dòng)點(diǎn),這與已知矛盾.故有唯一不動(dòng)點(diǎn).【例4】設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若曲線上存在點(diǎn))使則的取值范圍是A.B.C.D.【解析】易知單調(diào)遞增，所以，①因?yàn)橛幸饬x,所以,②因?yàn)樗寓?，由①②③知在[0,1]上有解,從而在[0,1]上有解，記則,所以當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),所以因此在[0,1]上單調(diào)遞增.所以即故選變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若存在使成立,則的取值范圍是A.B.C.D.[0,1]【例5】已知函數(shù)為常數(shù)且若滿足但則稱(chēng)為函數(shù)的二階周期點(diǎn),如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)試確定的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)由解得而故不是二階周期點(diǎn),所以不合題意.當(dāng)時(shí)有解集而當(dāng)時(shí)恒成立,所以不合題意.由解得或或或,又所以恰有兩個(gè)二階周期點(diǎn),綜上,的取值范圍是【例6】已知,設(shè).求證:如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)滿足則對(duì)一切有成立;若實(shí)數(shù)滿足則稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)，試求出所有的不動(dòng)點(diǎn);是否存在區(qū)間,使得對(duì)任意當(dāng)時(shí),都有證明你的結(jié)論.【解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí)顯然成立;假設(shè)當(dāng)時(shí))成立，則當(dāng)時(shí)也成立.命題得證.(2)由(1)可知當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)為不動(dòng)點(diǎn).由解得或.(3)即解得或,由知或,因此要使對(duì)一切都有成立,只需或,而由得或,由得,所以,取區(qū)間或即可滿足題意.【例7】定義:在平面上,縱、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作“格點(diǎn)".已知二次函數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)且函數(shù)是偶函數(shù),則在該二次函數(shù)的圖象上,縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)的“格點(diǎn)"有A.無(wú)數(shù)個(gè)B.8個(gè)C.4個(gè)D.2個(gè)【答案】D【解析】依題意得，設(shè)符合條件的點(diǎn)為，則有所以有或或解得或或或則符合條件的點(diǎn)為(10,121)和故選.九、反解系數(shù)法很多學(xué)生遇到函數(shù)含絕對(duì)值放縮問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手,此時(shí)運(yùn)用反解系數(shù)法可以快速破解.【例1】已知a,b為實(shí)數(shù),函數(shù)滿足:對(duì)任意有則的最大值為【答案】【解析】易知?jiǎng)t當(dāng)即時(shí)故ab的最大值為.變式訓(xùn)練已知函數(shù)若對(duì)任意有則的取值范圍為（）A.B.C.D.【例2】已知且滿足求的取值范圍.【解析】本題中所給條件不足以確定參數(shù)a，b的值，但應(yīng)該注意單：所要求的的結(jié)論不是的確定值,而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”,因此，我們可以把和當(dāng)成兩個(gè)獨(dú)立條件,先用和來(lái)表示a,b.由可解得將以上兩式代入并整理得,所以又因?yàn)樗浴纠?】設(shè)若求證:對(duì)于任意有【解析】同上題,可以用來(lái)表示a,b,c.由所以,所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，問(wèn)題獲證.變式訓(xùn)練如果對(duì)任意的恒成立,求的最大值.【例4】已知二次函數(shù)當(dāng)時(shí),有求證:當(dāng)時(shí),有.【解析】研究的性質(zhì),最好能的得出其解析式,從這個(gè)意義上說(shuō),應(yīng)該盡量用已知條件來(lái)表達(dá)參數(shù)a,b,c.確定三個(gè)參數(shù),只需