2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式201-210-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

七、賦值法當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對(duì)具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，從而求得解析式．【例1】已知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，等式恒成立，求的解析式．【解析】對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，等式恒成立，不妨令則有再令，得函數(shù)解析式為八、遞推法若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過(guò)累加、累乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式．【例1】若二次函數(shù)滿足且則__________．【答案】【解析】設(shè)由可知又則，即．故且解得所以．變式訓(xùn)練若的定義域是正整數(shù)集且求的解析式．【例2】設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足且對(duì)任意的自然數(shù)a，b都有求的解析式．【解析】由不妨令則有，又故=1\*GB3①分別令@式中的得，將上述各式相加得，則所以．【例3】已知其中，求．【解析】即，所以是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故，所以九、利用函數(shù)圖象變換【例1】將函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象又和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，曲線的圖象與關(guān)于直線對(duì)稱，求的解析式．【答案】【例2】設(shè)函數(shù)且當(dāng)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)．（1)寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（2)若當(dāng)時(shí)，恒有試確定的取值范圍．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則即所以．（2）由題意得，又且故，因?yàn)椋裕衷谏蠟闇p函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，從而，于是所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解．由解得由解得，綜上，所求的取值范圍是．十、應(yīng)用問(wèn)題【例1】動(dòng)點(diǎn)從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)出發(fā)，順次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，D再回到A，設(shè)表示點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程表示PA的長(zhǎng)表示的面積，求和，并作出的簡(jiǎn)圖．【解析】如圖，當(dāng)，點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得當(dāng)點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得當(dāng)點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，故由于點(diǎn)在折線ABCD上不同位置時(shí)，的形狀各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對(duì)，點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解．當(dāng)點(diǎn)在AB上時(shí);當(dāng)點(diǎn)在BC上，即時(shí);當(dāng)點(diǎn)在CD上，即時(shí);當(dāng)，點(diǎn)在DA上，即時(shí)．故圖象如圖所示．【例2】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意有成立．（1）函數(shù)是否屬于集合M?請(qǐng)說(shuō)明理由;（2）設(shè)，且．已知當(dāng)時(shí)求當(dāng)時(shí)的解析式．【解析】（1）假設(shè)函數(shù)屬于集合M，則存在非零常數(shù)T，對(duì)任意有成立，即成立．令則與題意矛盾．故．(2)且則對(duì)任意有，設(shè)則，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)．變式訓(xùn)練某蔬菜基地種植西紅鹽，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅鹽的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間之間的關(guān)系用圖甲的折線表示，西紅鹽的種植成本與上市時(shí)間之間的關(guān)系用圖乙的拋物線段表示．（1）寫(xiě)出圖甲表示的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;寫(xiě)出圖乙表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;（2）若設(shè)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元／102kg，時(shí)間單位：天）．第八章函數(shù)零點(diǎn)，六大類型一、基本函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題(一)指數(shù)函數(shù)型零點(diǎn)【例1】已知函數(shù)的零點(diǎn)其中常數(shù)a，b滿足，則等于A．-1B．-2C．1D．2【答案】A【解析】令，因此函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．易知所以直線與的交點(diǎn)應(yīng)在軸的左側(cè)，排除若則，即這說(shuō)明故選【例2】若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0．25，則可以是A．C．D．【答案】C【解析】的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為現(xiàn)在我們來(lái)估算的零點(diǎn)，因?yàn)椋缘牧?，點(diǎn)又函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0．25，只有的零，點(diǎn)適合，故選C．【例3】函數(shù)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B【解析】令即則．在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出和的圖象，由圖可知兩個(gè)圖象在區(qū)間(0，1)內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)．所以函數(shù)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有一個(gè)零，點(diǎn)，故選B．【例4】函數(shù)且有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】設(shè)函數(shù)且)與函數(shù)，則函數(shù)且有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)且)與函數(shù)有兩個(gè)交，點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意;當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)而直線所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0，1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【例5】設(shè)函數(shù)其中若存在唯一的整數(shù)使得則的取值范圍為A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，令則“存在唯一的整數(shù)使得”等價(jià)于“存在唯一的整數(shù)使”，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可知解得故選【評(píng)注】本題考查函數(shù)與不等式，為中檔題函數(shù)與不等式是高考的重要內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)與不等式問(wèn)題的重要途徑，通常可把所有的數(shù)學(xué)表達(dá)式移到不等式的一邊，構(gòu)造函數(shù)，作圖解決，也可像本題這樣把變量放在不等式的兩邊，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象求解．（二）對(duì)數(shù)函數(shù)型零點(diǎn)【例1】判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明．【解析】令得．令則．令則，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，即所以單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)．變式訓(xùn)紙已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)則方程的解所在的區(qū)間是A．B．【例2】已知函數(shù)且)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)則______．【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，所以的零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi)，故．【例3】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．0B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】C【解析】由得，由得故有2個(gè)零點(diǎn)．故選．【例4】已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)則關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)是A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)【答案】C【解析】設(shè)方程在上解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)和的圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．由得故原函數(shù)的周期又當(dāng)[0，1]時(shí)由以上條件，可畫(huà)出在上的圖象．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，在[0，9]上的圖象共有9個(gè)交點(diǎn)，即在[0，9]上，原方程有9個(gè)根，故選C．【例5】若方程僅有一個(gè)實(shí)根，那么的取值范圍是【答案】或【解析】題設(shè)條件等價(jià)于對(duì)（3）式由求根公式得（4）得或結(jié)合(1)式知或(i)當(dāng)時(shí)，由@式得所以同為負(fù)根，又由@式知所以原方程有一個(gè)解．(ii)當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解．(iii)當(dāng)時(shí)，由(3)式得所以同為正根，且不合題意，舍去．綜上可得或?yàn)樗螅夥?：參數(shù)不完全分離法．由題意知即由得由圖分析即得：一解一解兩解無(wú)解綜上可得：或?yàn)樗螅夥?：參數(shù)完全分離法由題意知得．由圖分析即得：一解一解兩解無(wú)解綜上可得：或?yàn)樗螅驹u(píng)注】上述三種解法是最典型的處理含參問(wèn)題的有效套路，顯然解法3最為簡(jiǎn)捷．【例6】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足以下條件：=1\*GB3①對(duì)任意，;=2\*GB3②=3\*GB3③當(dāng)時(shí)若方程且在[0，+)上至少有5個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．B．【答案】【解析】由知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由知的周期結(jié)合作出的圖象與函數(shù)的圖象，則“方程在[0，+)上至少有5個(gè)不等的實(shí)根”等價(jià)于“函數(shù)的圖象與函數(shù)1)的圖象至少有5個(gè)交點(diǎn)”，如圖所示，則所以選．【評(píng)注】本題考點(diǎn)為函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與方程．在解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根等問(wèn)題時(shí)，一般把方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，其中一個(gè)函數(shù)要求是確定的函數(shù)，參數(shù)只在其中一個(gè)函數(shù)中出現(xiàn)，且隨參數(shù)的變化，函數(shù)的圖象變化規(guī)律易找，如能轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點(diǎn)更好．本題函數(shù)是確定的，函數(shù)變化規(guī)律也易知，這樣就容易得出結(jié)論．拓展提升若用[]表示不大于的最大整數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是______個(gè)．【例7】已知函數(shù)若存在使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】解法1：由題意得當(dāng)時(shí)，存在三解，當(dāng)時(shí)，存在一解，由得，所以故選解法2：由題意得，令，由則得當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不同的根，即有兩個(gè)不同的根時(shí)只有一個(gè)根)，存在使之成立．所以即故．選．【例8】已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】由題意知當(dāng)時(shí)，令解得此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)則是的一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)，令此方程無(wú)解，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．綜上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選．（三）指對(duì)混臺(tái)型零點(diǎn)【例1】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B．【解析】令，得，作出和的圖象，由圖即得有2個(gè)交點(diǎn)(圖略)，即有2個(gè)零，點(diǎn)，故