2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分解析幾何161-170-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

【例62】如圖14，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）線段是橢圓過點(diǎn)的弦，且，求內(nèi)切圓面積最大時(shí),實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)闄E圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以。又，所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然直線不與軸重合。當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，;當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線:代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理得：.。因?yàn)椋?，故所以?dāng)直線與軸垂直時(shí)最大，且最大面積為3.設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則≤3，即，此時(shí)直線與軸垂直.內(nèi)切圓面積最大，所以.【例63】如圖15，橢圓的中心為原點(diǎn).長軸在軸上，離心率。過左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，=4.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.求△的面積的最大值，并寫出對應(yīng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在橢圓上，則，從而，由，從而故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。由橢圓的對稱性，可設(shè)，又設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則。設(shè)，由題意，是橢圓上到的距離最小的點(diǎn)，因此上式中當(dāng)時(shí)取得最小值。又因?yàn)?，所以上式中，?dāng)時(shí)取得最小值，從而，且。由對稱性知，故。所以當(dāng)時(shí)，△的面積取得最大值。因此，這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為【例64】如圖16，設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)滿足（其中不重合）。求點(diǎn)的軌跡的方程；過直線，上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為。若直線與（1）中的曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍。【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，得.由于點(diǎn)在上，則。故點(diǎn)的軌跡的方程為。（2）解法1設(shè)點(diǎn)，則所在直線的方程為：又點(diǎn)在上，則有：①②由①②知所在直線的方程為：設(shè)點(diǎn)，則圓心到的距離又由得于是于是設(shè)，則，于是設(shè)，于是設(shè)令，得。得在上單調(diào)遞增，故。即的范圍為。解法2用極坐標(biāo)法由知。結(jié)論：當(dāng)長軸時(shí)，達(dá)到最大值，當(dāng)與長軸重合時(shí)達(dá)到最小值1.【例65】如圖17，已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，設(shè)直線分別與軸交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值。【解析】解法1坐標(biāo)法設(shè)，則，且。將代入，可得為定值。解法2仿射變換利用仿射變換，將橢圓變?yōu)閳A，如圖18，由于，于是四點(diǎn)共圓，進(jìn)而有因此與相似，進(jìn)而為定值?！纠?6】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦距為2。（1）求橢圓的方程；（2）如圖19，動(dòng)直線交橢圓與兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，圓的半徑為，是圓的兩條切線，切點(diǎn)分為，求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率。【分析】（1）本小題由確定的值即可。（2）通過聯(lián)立方程組化簡得到一元二次方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，應(yīng)用弦長公式確定及圓的半徑的表達(dá)式。進(jìn)一步求得直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，確定得到的表達(dá)式，在研究其取值范圍這個(gè)過程中，可以考慮利用換元思想，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式。【解析】（1）由題意知，，所以因此橢圓的方程為。（2）設(shè)，聯(lián)立方程得。由題意知，且，，所以。由題意可知圓的半徑。由題設(shè)知，所以，因此直線的方程為聯(lián)立方程得因此由題意可知而令，則。因此當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立。此時(shí)，所以，因此。所以的最大值為。綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)，直線的斜率為?！驹u注】本題對考生的計(jì)算能力要求較高，是一道難題。解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法——如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解，本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足。本題能較好地考查考生的邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力，分析問題、解決問題的能力等?！纠?7】一種作圖工具如圖20所示，是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動(dòng)。且.當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周(不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng))，處的筆尖畫出的曲線記為，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖21所示的平面直角坐標(biāo)系。(1)求曲線的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)。若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）如圖22，設(shè)點(diǎn)，依題意，，且，所以，且即且由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得。即所求曲線的方程為。（2）如圖23，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線。由消去，可得因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=，即①又由可得，同理可得。由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得②將①代入②得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.綜上可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△的面積取得最小值8.第五章雙曲線拉檔經(jīng)典題例本章對雙曲線的六大基本問題，以例題的形式進(jìn)行系統(tǒng)梳理，尤其是與雙曲線漸近線相關(guān)的問題，理清概念、校正錯(cuò)誤、歸類題型及破招技巧。例題也是學(xué)生作業(yè)易錯(cuò)題，難度中等，錯(cuò)誤也有代表性，題型全面。雙曲線的漸近線是橢圓拋物線都不具備的特性，應(yīng)引起足夠重視。為了讓同學(xué)們消除錯(cuò)誤及鞏固知識，設(shè)置了與例題有關(guān)聯(lián)的“變式訓(xùn)練"。對于有一般規(guī)律的典型問題還給出了“規(guī)律探索”，涉及的重要知識給出了“概念梳理"。為滿足不同層次同學(xué)的需求還給出了“拓展提升"問題，有一定難度。一、標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)問題【例1】若實(shí)數(shù)滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等B.虛半軸長相等C.實(shí)半軸長相等D.焦距相等【答案】D【解析】已知，即，雙曲線的實(shí)半軸長為5，虛半軸長為，焦距為，離心率為；雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為3，焦距為，離心率為。因此,兩雙曲線的焦距相等，故選D【評注】雙曲線系數(shù)符號定實(shí)軸，橢圓系數(shù)大小定長軸?！靖拍钍崂怼侩p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)在軸上：；焦點(diǎn)在軸上：?！纠?】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是?！敬鸢浮俊窘馕觥坑覝?zhǔn)線方程為，漸近線為，則，，，則?！驹u注】已知雙曲線，則漸近線；2.已知漸近線，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；3.雙曲線焦點(diǎn)到漸近線距離為，垂足為對應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn).【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為。【答案】【解析】由于，故。聯(lián)立方程消去并整理得。所以，即，所以漸近線方程為。【拓展提升】已知是三角形的—個(gè)內(nèi)角，且，則方程表示（）焦點(diǎn)在軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在軸上的橢圓焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線【答案】B【解析】由，得，故，故選B?！咀兪接?xùn)練】l.設(shè)是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，是左、右焦點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為。2.已知雙曲線的離心率為2,是左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.雙曲線的虛軸長為4，離心率，是它的左、右焦點(diǎn)，若過的直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，且是與的等差中項(xiàng),則。離心率系列之探求【例4】已知是雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)，是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，且，則的離心率為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)雙曲線方程為，易得。故，得，所以?！驹u注】線段成比，求點(diǎn)代入。【變式訓(xùn)練】l已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為,過作雙曲線的—條漸近線的垂線，垂足為，若的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率為（）B.C.2D.3過雙曲線：的右焦點(diǎn)作—條漸近線的乖線垂足為，交雙曲線于點(diǎn)，若。則雙曲線的離心率為。3.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的漸近線與拋物線：（）交于點(diǎn)，若△的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為。【拓展提升】1.設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是?！敬鸢浮俊窘馕觥拷夥?由已知得雙曲線的漸近線方程為，分別與聯(lián)立方程組，解得。設(shè)