2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分解析幾何181-190-專項訓練【含答案】

四、兩種焦半徑焦點弦【例16】如圖1，雙曲線（）的左焦點引圓的切線,切點為,延長交雙曲線右支于點,若為線段的中點,為坐標原點,則與的大小關系為（）A.B.C.D.不確定答案：B【解析】設已知故,由題意可知即,所以[評注]雙曲線焦半徑與圓相切所隱含的重要性質(zhì)要熟記,并結(jié)合定義快速作答.【例17】若雙曲線的左、在頂點分別為點A,B,P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點.若直線PA,PB的傾斜角分別為,且,那么的值是_________.答案：【解析】由得即從而得以下過程略.【評注】這里用了對偶運算，用兩式積運算時破解的關鍵。【例18】已知：雙曲線的離心率，左右焦點分別為,左準線為L，能否在雙曲線的左支上找到一點P,使得是點到L的距離與的等比中項?【解析】設因為又所以.所以所以，所以所以.是使成立的充要條件.故不存在,點滿足題意.【評注】利用雙曲線的第二定義是快速解題的關鍵。181【變式訓練】已知雙曲線的左、右焦點分別是其一條漸近線方程為點在雙曲線線，則等于（）A.-12B.-2C.0D.4【拓展提升】若點和點分別是雙曲線的中心和左焦點,為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為（）A.C.D.答案：B【解析】因為F（-2,0）是已知雙曲線的左焦點，所以，即所以雙曲線方程為.設點則有解得.因為所以此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸方程為，因為,所以當時取得最小值.故的取值范圍是故選.182五、中點弦的相關問題【例19】已知等腰三角形ABC的底邊端點A,B在雙曲線的右支上，頂點C在X軸上，且AB不垂直于X軸，則頂點C的橫坐標t的取值范圍_________.$AB$不垂直于軸,則頂點的橫坐標的取值范圍是【答案】【解析】設弦AB的垂直平分線交軸于點.設的中點,于是即即又故.【拓展提升】設點A,B是雙曲線同支上兩點（AB不垂直于x軸），求證：弦AB的垂直平分線一定不過焦點?！窘馕觥吭O,點A,B同在右支上,弦AB的垂直乎分線交軸點于點.設的中點,，即即，故即或所以.故弦AB的垂直平分線一定不過焦點.【評注】本問題的背景實質(zhì)也是以點Q為圓心的圓與雙曲線恰有一個公共點，圓心位置的范圍t.【例20】雙曲線的動弦AB所在的直線的斜率為2，則AB中點M的軌跡方程是_________【答案】【解析】設已知則183兩式相減,得故即,即?！纠?1】雙曲線的動弦AB所在直線過定點P（4,0），則AB中點M的軌跡方程是__________【答案】【解析】設A已知：，則兩式相減得即。【評注】一般地，直線過點，并且交雙曲線于兩點，則的中點軌跡方程為;直線過點并且交橢圓于A,B兩點,則AB中點的軌跡方程為；直線過點并且交拋物線于A,B兩點，則AB中點的軌跡方程為?！纠?2】雙曲線的動弦AB所在的直線的斜率為k，則AB中點為M，則___________.【答案】【解析】設已知則兩式相減得，故即即.【評注】一般地,雙曲線的動弦AB所在直線的斜率為k,AB中點為M則橢圓的動弦AB所在直線的斜率為k,AB中點為M,則.【例23】試確定的取值范圍,使得雙曲線上有不同的兩點關于直線對稱.【解析】設關于直線對稱的兩點為中點.已知則184兩式相減得即若點A,B在同支上,則中點在曲線內(nèi)，于是無解;若點A,B在異支上,則中點在曲線外得【拓展提升】設平面點集其中,則所表示的平面劉形的面積為________.【答案】由圖形割補即得所表示的平面圖形的面積為圖2圖2【例24】設直線與橢圓交于不同兩點A,B,與雙曲線相交于不同兩點C,D問是否存在直線，使得若存在,指出這樣的直線條數(shù);若不存在,請說明理由.【解析】設則.①設則.②因為所以此時.由得.所以或.由上式解得或當時，由①和②得。因為m為整數(shù)，所以m的值為-3，-2，-1,0,1,2,3;當m=0，由①和②得，因為k是整數(shù)，所以k=-1,0，1.于是滿足條件的直線共有9條。185第六章拋物線拉檔經(jīng)典題例一、拋物線的神奇性質(zhì)掠影本節(jié)對拋物線基本問題，以例題引出問題，探索總結(jié)規(guī)律并上升到定理的經(jīng)典形式，展示了具有重要特性的拋物線性質(zhì)，理清概念、校正錯誤、歸類題型及破招技巧，例題也是學生作業(yè)易錯題，難度中等，錯誤也有代表性，題型全面.為了讓同學們消除錯誤及鞏固知識，設置了與例題有關聯(lián)的“變式訓練”.對于有一般規(guī)律的典型問題還給出了“規(guī)律探索”，為滿足不同層次同學的需求還給出了“拓展提升”問題，有一定難度.【例1】已知A，B為拋物線y=2x上兩動點，且AB過拋物線內(nèi)定點T（3，1）.過點A，B分別作拋物線的切線，相交于點Q.（1）求點Q的軌跡方程；（2）求過T點的中點弦所在直線的方程；（3）設過定點T平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點N，求點N處的切線方程；（4）求證點N的切線與（1）中軌跡和中點弦平行且等距離.【解析】（1）點Q的軌跡方程是x一y+3=0；（2）過T點的中點弦所在直線的方程是x一y一2=0；（3）點N處的切線方程是2x-2y+1=0；（4）由直線方程知它們平行且等距離。詳細過程略，思路可參考定理1的證明?！驹u注】這是拋物線一點一線最神奇的性質(zhì)，要深刻體會，熟練應用?！疽?guī)律探索】定理1過拋物線內(nèi)一定點的直線交拋物線于點A,B，過A,B兩點分別作拋物線的切線，相較于點Q點Q的軌跡必為定直線；軌跡直線必與過T點的中點弦平行設過定點T平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點N，則點N處的切線也與軌跡直線平行；點N的切線與軌跡直線和中點弦等距離?！窘馕觥吭O,點則切線AQ,BQ的方程為:由得整理得故由得整理得即即,從而,得到.解法由,得,即即可得186得由得解法由得.即故從而由得.（2)過點的中點弦.(3)則切線方程(4)略當定點跑到拋物線對稱軸上時，即得例2【規(guī)律探索】中的定理2.【變式訓練】如圖1,過拋物線外一定點的直線交拋物線于A,B兩點,過A,B兩點分別作切線BQ,AQ，且BQ,AQ的交點為Q.求點Q的軌跡方程；過點Q平行于拋物線對稱軸的直線交弦AB于點P，求證：點P為弦AB的中點；設過定點T平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點N，求點N處的切線方程；求證：點N的切線Q與點軌跡直線平行?！纠?】過拋物線對稱軸上一定點的直線交拋物線于點A,B,過A,B兩點分別作拋物線的切線,交于點,求點的軌跡方程.【答案】點Q的軌跡方程為[評注]本題是上述一般情形的特例，再特殊一點,當點與焦點重合時,點的軌跡即為拋物線準線.【規(guī)律探索】定理2如圖2，過拋物線對稱軸上一定點T（t,0）的直線交拋物線于點A,B，過A,B兩點分別作拋物線的切線，交于點Q，則點Q的軌跡必為定直線x=-t，當點與焦點重合時，軌跡直線與準線重合.【解析】設點則切線AQ,BQ方程為：由得于是由187整理得,即即從而得.當定點T與拋物線焦點重合時，即得下述重要定理3.定理3如圖3，拋物線焦點弦端點AB處的切線BQ,AQ的交點Q的軌跡必為準線【解析】參考定理2的一般證法.【例3】過定直線上動點作拋物線的切線,切點為A,B，則求證：AB所過定點的坐標;求證：AB中點軌跡為過定點的拋物線;（3)設過定點平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點,則點處的切線與定直線平行：（4)求證:過定點的中點弦CD與定直線平行(5)求證:點的切線與定直線和中點弦等距離.【解析】設點在直線上.則由切點弦公式得直線AB的方程為.又所以得定點T(2)AB中點軌跡為過定點（3）設過定點T平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點N，則點N處的切線方程為(4)過定點的中點弦CD所在直線的方程為與定直線平行.(5)由中點弦CD方程為點的切線與定直線知它們平行且等距離.【評注】參考定理4的證明過程.【規(guī)律探索】點和拋物線切點弦的重要直線關系：點在拋物線外直線為過點的切點弦點在拋物線上直線為過點的切點弦點在拋物線內(nèi)直線為與拋物線相離的直線（與切線平行）【定理4】過定直線上動點作拋物線的切線,切點為M,N，則（1）MN所在直線過定點;（2）MN中點軌跡為過定點的拋物線;（3）設過定點T，平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點R，而則點R處的切線與定直線平行；（4）過定點的中點弦CD與定直線平行;（5）R點的切線與定直線和中點弦等距離.【解析】（1）設，則切點連線MN所在直線方程為：由于在直線上.所以由得故則從而定點.(2)設過定點的弦MN的中點坐標為.188設則.即,從而即（3）同定理1證明.(4)由已知得定點設如圖4.故即故,【定理5】拋物線的焦點在切線AP上的投影的軌跡為過頂點的切線OP.【解析】如圖5設,點則切線AP方程為:因為故即即即得【定理6】拋物線的焦點關于切線AP的對稱點的軌跡為準線.【解析】如圖6,設,點.則切線AP的方程為.因為則.由得,由得即,手是得由得.設由于點與點關于直線AP對稱，所以.189【定理7】拋物線的焦點關于切線AP的對稱點與切點的連線必平行于拋物線的對稱軸.【解析】如圖7，由定理6的結(jié)論即得證說明:上述三題均可由定義法結(jié)合平面幾何性質(zhì)快速得證.【定理8】拋物線焦點弦端點AB在準線上的投影為,則.【解析】如圖8，設易得定理拋物線焦點弦端點AB在準線上的投影為I,H,則I,O,B三點共線,H,O,A三點共線.【解析】如圖9，設由定理