2025高考數(shù)學二輪復習-三角函數(shù)與平面向量91-100-專項訓練【含答案】

【例18】在中,內角的對邊分別為若且求的面積.【解析】解法1：如圖，作，交于點，令，則由知，在中，由余弦定理得,化簡得，由正弦定理得,則,所以.，，由正弦定理得:即，從而有,即即解得.故，所以.【評注】解法1中,若設則運算更簡捷.(五)兩元和積,韋達突圍【例19】在中,內角成等差數(shù)列，且，，求三邊的長.【解析】由，得，則由得,則得,所以得,所以又,從而是方程的兩個根，設兩根為故有,所以或者【例20】如圖，在中,已知求內角的大小;又知頂點的對邊上的高等于，求三角形各邊的長.【解析】由和,得,所以為方程的兩個根，解方程,得或所以或若則，若則,，所以或【例21】在中,已知求三角形的邊的長.【解析】由,得,從而有即是方程的兩根，所以或,進而可得(六)公式變形,突顯奇功【例22】已知在中分別是內角的對邊，.(1)求的值；(2)若求邊的長.【解析】（1）,由得由得,所以.所以.(2)由得=1\*GB3①,又所以=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②兩式解得又故即的長為.（七）扇形模型，設角破解【例23】如圖，在半徑為1，圓心角為的扇形中，是上的動點，設.（1）用表示平行四邊形的面積（2）求平行四邊形面積的最大值.【解析】設由題意得則所以.(2)當時，平行四邊形的面積達最大值，則得,即當時，平行四邊形的面積達到最大值.(八)邊長最值,建模放縮【例24】已知為的三個內角,其對邊分別為且（1）若的面積求的值;（2）求的取值范圍.【解析】因為且.所以即又所以.又由得,由余弦定理得從而有故(2)解法1:弦定理得又,所以.又則則，所以的取值范圍是 解法二：由（1）知，所以即經(jīng)驗證等號能取到，所以即【變式訓練】在中,內角所對的邊分別為，已知（1）求角的大小;（2）若求的取值范圍.【例25】已知為的三個內角,向量且求的值；求的最大值,并判斷此時的形狀.【解析】(1)因為,所以,即,即,所以由于可得.(2)由知,當且僅當即時取得最大值.所以角的最大值為此時為等腰三角形.【變式訓練】在中，內角所對的邊分別為，已知且最長邊的長為1.（1）求角的大??；（2）最短邊的長.【例26】已知在中,內角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小;(2)若試求的最小值.【解析】（1）由得,即即所以.又所以.(2)因為所以因為所以從而.所以當即時取得最小值，所以.【例27】已知銳角三個內角為，向量與向量是共線向量.(1)求角的大小;(2)求函數(shù)的最大值.【解析】因為共線，所以得，又為銳角，所以得.（2）因為則當時取得最大值，所以當時.（九）中線范圍，背景顯形【例28】在銳角中,內角所對的邊分別為，且.(1)求角C的大小;(2)當時,求的取值范圍；(3)當時,求的取值范圍.【解析】（1）由得所以,又為銳角三角形,所以.(2)由題意，有,從而有，又因為在銳角中，所以.(3)由(1)知,則,可得，所以，又因為在銳角中,所以.【評注】在（2）中，由知點的軌跡是圓的優(yōu)弧，特別是注意到“銳角”，立即得；在(3)中，由柯西不等式及極端原理即得【變式訓練】如圖,在中，已知邊上的中線則(十)求角大小,勿忘范圍【例29】設的內角內角所對的邊分別為，且(1)求角的大小;(2)若求角的大小.【解析】(1)由條件得即所以,又所以(2)則進而有,從而.又所以或所以或.【變式訓練】已知在中求三個內角的大小.【例30】已知在中，內角的對邊分別為，且,求.【解析】由正弦定理得,因為所以即,所以=1\*GB3①又由已知條件及余弦定理知:=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②可知整理得因為所以即又,所以.【評注】化齊次是關鍵.【變式訓練】已知的內角，內角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)求的值.2.在中，內角的對邊分別為，已知.(1)求的值;(2)若求的值.【例31】如圖，已知在中點在邊上，且，（1）求的大小;（2）求的長.【解析】(1)在中，因為所以,.(2)在中，由正弦定理得則,在中，由余弦定理得，所以【評注】考點為同角三角函數(shù)的關系、兩角差的正弦公式、正弦定理與余弦定理.【變式訓練】1.如圖,已知在四邊形中.（1）求的值；（2）若，，求的值.2.已知在中，內角的對邊分別為，（1）求的值;（2）若求的值.【例