平面幾何基礎(chǔ)知識基本定理

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試講義（組編）

平面幾何

1.勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）（I）銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的i邊

和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍.（2）鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊

在這邊上的射影乘積的兩倍.

2.射影定理（歐幾里得定理）

3.中線定理（巴布斯定理）設(shè)△△8c的邊8c的中點為P,則有人+人。2=2（八/>2+初2）：

中線長：〃?，二叵三三

“2

4.垂線定理：ABrCD<^>AC2-AD2=BC2-BD2.

Gr

高線長：ha=—4p（p—a）（p—b）（p—c）=，sinA=csin8=bsinC.

aa

5.角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角為兩邊對應(yīng)成比例.

如△A8C中，4。平分N84C,則殷=絲；（外角平分線定理）.

DCAC

角平分線長：ia=—Jbcp（p-a）=-cos-（其中〃為周長一半）.

b+cb+c2

6.正弦定理：=2R,（其中R為三角形外接圓半徑）.

sinAsinBsinC

7.余弦定理：c2=a2+b2-labcosC.

8張角定理.sinNAAC_sinNBAZ）sinZD/4C

AD―ACAB

9.斯特瓦爾特（Se卬小力定理：設(shè)已知及其底邊上B、C兩點間的一點D,則有AB--DC+AC2-BD-AD2-BC=

BC?DC?BD.

10.圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半.（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

11.弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角.

12.圓冢定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線K定理：）

13.布拉美?占塔（BM加定理：在圓內(nèi)接四邊形A8C。中，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延

長線必平分對邊.

14.點到圓的暴：設(shè)〃為。。所在平面上任意一點，PO=d,。。的半徑為r,則小一戶就是點P對于。。的舞.過P

任作一直線與交于點4、3,則以/8=|十一內(nèi).“到兩圓等幕的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，

如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論.這條直線稱為兩圓的“根軸”.三個圓兩兩的根

軸如果小互相平行，則它們交十一點，這一點稱為三圓的“根心”.三個網(wǎng)的根心對十三個圓等?暴.當(dāng)三個圓明兩相

交時：三條公共弦（就是兩兩的根軸）所在直線交于一點.

15.托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即ACBD=ABC。+八。小。，（逆命題成

立）.（廣義托勒密定理）ABCD+ADBC^ACBD.

16.蝴蝶定理.：A8是。。的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M,CF、。上交A8于P、Q,求證：MP=QM.

17.費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離：不在等邊三角

形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離.定理2三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三

角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°,該點到三頂點距離和達(dá)到最小，稱為“費馬點”，當(dāng)三角形有

一內(nèi)用不小于120°時，此角的頂點即為費馬點.

18.拿破侖三角形：在任意AAB。的外側(cè)，分別作等邊△AB。、ABCE、△CAR則4E、AB、C。三線共點，并且AE

=BF=CD,這個命題稱為拿破侖定理.以△ABC的三條邊分別向外作等邊△AZ?。、4BCE、△CA”,它們的外接

圓。Ci、的圓心構(gòu)成的△----外拿破侖的三角形，?Ci、三圓共點，外拿破侖三角形是

一個等邊三角形：4ABe的三條邊分別向8c的內(nèi)側(cè)作等邊△AB/）、ABCE、△C4尸，它們的外接圓OC2、O

42、的圓心構(gòu)成的△一一內(nèi)拿破侖三角形，0C2、042、。生三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三

角形.這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心.

19.九點圓（Nine”川加〃0或歐拉圓或彼爾巴赫阿）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以

及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：

（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接網(wǎng)半徑之半；

（2）九點圓的圓心在歐拉線匕且恰為垂心與外心連線的中點；

（3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切風(fēng)三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）.

20.歐拉（Eider）線:三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上.

21.歐拉（EW〃）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)心的距離為4,則/-

22.銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和.

23.重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；仃色+2%以+%+）匕）

3'3

重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△AbC的重心，連結(jié)八G并延長交8C于。，則〃為8。的中點，則4G:G￡>=2:1；

（2）設(shè)G為AABC的重心，則SM

8CJ

（3）設(shè)G為AAAC的重心，過G作OE〃8C交A3于。，交AC于E,過G作P〃〃AC交A3于P,交,BC

,,…DEFPKH2DEFPKH。

十八過G作M“K〃八8交47于K,交8C于H,則——=—=——=-；——+—4-——=2：

BCCAAB3BCCAAB

（4）設(shè)G為△48C的重心，則

①8c2+3GA2=CA2+3GB，=AB?+3GC2；

（2）GA2+GR2+GC2=-（AfS2+BC2+CA2）：

③PA?+PB?+PC?=GA2+GB2+GC2+3PG2（P為△48C內(nèi)任意一點）；

④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA2+GB2+GC2最??；

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心：反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△A8C的重心）.

babc

-X+--------x+---------x

AncM25打+力義

24.垂心：三角形的三條高線的交點:H(cosAcosBcosC

abc

---------+--------+--------

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一唄點到全心的即.離，等十外心到對邊的）離的2倍:

（2）垂心”關(guān)于△八8。的三邊的對稱點，均在△人8c的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H,則△A8C,△ABH,△BCH,△AC”的外接圓是等圓:

（4）設(shè)。，，分別為△ABC的外心和垂心，則N8AO=N〃4CNC8O=ZA8”,N8CO=N〃C4.

25.內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點一內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等：

^ax+bx+cx」”+%+c%

ABc)

a+b+ca+b-ic

內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)/為△A8c的內(nèi)心，則/到△AZ?C三邊的距離相等，反之亦然;

（2：設(shè)/為△A8c的內(nèi)心，WOZ^/C=90°+ZA,ZA/C=90°+=90°+：

（3：三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若NA平分線交△八8。

外接圓十點K,/為線段4K上的點且滿足K/=K8,則/為△48C的內(nèi)心；

（4）設(shè)/為△ABC的內(nèi)心，BC=a,AC=b,AB=c,/4平分線交BC于D,交AABC外接圓于點K,則

AI_AK_IK_b+c

（5）設(shè)/為△八BC的內(nèi)心，3c=?AC=AA5=c,/在8cMeAB上的射影分別為內(nèi)切圓半徑為八

令〃=；（〃+/?+c）,則①S&3=〃/*：②AE=AF=p-a:BD=BF=p-biCE=CD=p-c：③

abcr=pAIBICI.

26.外心：三角形的三條中垂線的交點一一外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

?sin2AX]+sin2Aj+sin2Crsin2Ay+sin2By+sin2Cy

0(------------------------------------ABc

sin2A+sin2B+sin2Csin2A+sin2B+sin2C

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等:

（2）設(shè)。為△48C的外心，貝!N8OC=2NA或N8OC=360°—2NA：

（3）R=￡絲：（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和.

4,“

27.旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點一一旁切圓圓心：設(shè)△A8C的三邊BC=a,AC=0,48=c?，令

〃=；（。+〃+。），分別與3cAeA8外側(cè)相切的旁切圓圓心記為/A，〃，％，其半徑分別記為乙,加，心.

旁心性質(zhì)：（1）/B，C=90。-gNA,N8/8C=N8/cC=g/A,（對于頂角&C也有類似的式子）；

（2）N/J〃c=g（NA+Q

（3）設(shè)4/4的連線交4同6。的外接回丁/）,則?！ㄒ?。4一。。（對丁皿8，。%有同樣的結(jié)論）:

（4）△ABC是△/〃/丸的垂足三角形，且△〃/"c的外接圓半徑H'等于AABC的直徑為2R.

2

28.三角形面積公式：S^RC=—ah=—absinC=^^-=2RsinAsinBsinC=------"+""-------

224R4(cotA+cotfl+cotC)

=pr=yjp（p—?）（p—b）（p—c）,其中兒表示BC邊上的高,R為外接圓半徑，廠為內(nèi)切圓半徑,〃=g（a+8+c）.

29.三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：

.A.8.C.ABC5A.BCAB.C

r=4i/n?sin—sin—sin—=4A/?nsin—cos—cos—,r.=4/?cos—sin—cos—,r.=4A/n?cos—cos—sin—;

222”222222c222

/―H_C，r,>-AC，"~~jg，

tan—tan—tan—tan—tan—tan—

222222

30.梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點

分別為尸、Q、R則有—?—（逆定理也成立）

PCQARB

31.梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理上設(shè)AA8c的NA的外角平分線交邊CA于0,NC的平分線交邊48于R,N8的平分

線交力C4于。，則尸、Q、R三點共線.

32.梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意AA8C的三個頂點4、B、C作它的外接圓的切線，分別和8C、C448的延

長線交于點P、。、R,則〃、Q、R三點共線.

33.塞瓦（Ceva）定理：設(shè)X、八Z分別為6c的邊8C、CA.4B上的一點，則4X、BY、CZ所在直線交于一點的充

AZBXCY

要條件是麗?而4L

34.塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△A3C的邊3。的直線與兩邊A3、ACH勺交點分別是￡）、E,又設(shè)3E和CQ交于S,

則4s一定過邊BC的中點M.

35.塞瓦定理的逆定理：（略）

36.塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線

交于一點.

37.塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)CABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T,則AH、BS、CT

交于一點.

38.西摩松（Simson）定理：從△4BC的外接圓上任意一點尸向三邊BC、CA.A3或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別

是D、E、R,則。、E、?共線,（這條直線叫西摩松線Si35〃“e）.

39.西摩松定理的逆定理：（略）

40.關(guān)于西摩松線的定理1：aABC的外接圓的兩個端點P、。關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上.

41.關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角

形的西摩松線，這些西摩松線交于一點.

42.史坦納定理：設(shè)^ABC的垂心為H,其外接圓的任意點P,這時關(guān)于^ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心.

43.史坦納定理的應(yīng)用定理：的外接圓上的一點P的關(guān)于邊EC、C448的對稱點和△AAC的垂心〃同在一-條

（與西摩松線平行的）直線上.這條直線被叫做點P關(guān)于△48。的鏡象線.

44.牛頓定理I：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線.這條直線叫做這個

四邊形的牛頓線.

45.牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線.

46.笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△48C、△DEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和。、8和E、C和尸）的連線交于一

點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線.

47.笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△48C、△DEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和。、8和E、。和尸）的連線交

于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線.

48.波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為兒Q、R,則Q、R關(guān)于△A8C交于一點的充要條件是：弧

AP+弧8Q+弧CR=0（mod2萬）.

49.波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)凡Q、火為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△/WC的西摩松線交于一點，

則A、B、。三點關(guān)于△?（2&的的四摩松線交十與前相同的一點.

50.波朗杰、騰卜定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是人、B、C、P、。、R六點任取三點所作的三角形的

垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點.

51.波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接網(wǎng)上的一點P的關(guān)于AABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩

松線咳外接圓的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△A8C的西摩松線交于一點.

52.波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊8C、CA.AB引垂線，設(shè)垂足分別是。、E、F,且設(shè)邊BC、CA、

A8的中點分別是L、M、M則O、E、尸、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩

松線交于一點.

53.卡諾定理：通過AAAC的外接圓的一點P,引與△AAC的三邊8C、CA、AZ?分別成同向的等角的直線P。、PE、

PF,與三邊的交點分別是。、E、人則。、E、”三點共線.

54.奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與AA8C的外接圓的交點分別是L、M、N,

在△八8C的外接圓上取?點P,則77,、PM、PN與AABC的三邊BC、CA.48或其延長線的交點分別是。、E、F,

則。、E、尸三點共線.

55.清宮定理：設(shè)P、。為△A8C的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊8C、04、的對稱點分別是U、

V、W,這時，QU、QV、QW和邊SC、CA、4B或其延長線的交點分別是。、E、F,則。、E、尸三點共線.

56.他拿定理：設(shè)/＞、。為關(guān)于△A8C的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊8C、CA、48的對稱點分別是。、V、W,

這時，如果QU、QV.0W和邊BC、CA.A8或其延長線的交點分別是。、E、F,則。、E、戶三點共線.(反點：

P、。分別為圓。的半徑0C和其延長線的兩點，如果0C2=0Qx0P則稱P、。兩點關(guān)于圓?；榉袋c)

57.朗古來定理：在同一圓周上有4、Bi、Ci.Di四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P,作尸點的關(guān)于這4

個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上.

58.從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心.

59.一個圓周上有〃個點，從其中任意〃一1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點.

60.康托爾定理1：一個圓周上有〃個點，從其中任意〃一2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點.

61.康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、。四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB.

△4次7中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上.這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形44CD的康托爾線.

62.康托爾定理3：一個圓周上有A、B、。、。四點及M、N、L三點,則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABC。的康托爾線、

L、N兩點的關(guān)于四邊形A3CQ的康托爾線、M、上兩點的關(guān)于四邊形ABC。的康托爾線交于一點.這個點叫做M、

N、L三點關(guān)于四邊形A8C。的康托爾點.

63.康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、。、E五點及M、N、L三點,則M、N、L三點關(guān)于四邊形ACQE、CDEA.

DEAB、E48c中的每一個康托爾點在一-條直線上.這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康

托爾線.

64.費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切.

65.莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一

個止三角形.這個三角形常被稱作莫利正三角形.

66.布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形48c。加■相對的頂點A和。、6和E、C和居則這三線共點.

67.帕斯卡(Paskal)定理：圓內(nèi)接六邊形48a加尸相對的邊48和。E、BC和"'、CO和切的(或延長線的)交點

共線.

68.阿波羅尼斯(Apolbnius)定理：到兩定點A、8的距離之比為定比加：〃(值不為I)的點R位于將線段48分成

，〃：〃的內(nèi)分點C和外分點。為直徑西端點的定圓周上.這個圓稱為阿波羅尼斯圓.

69.庫立奇*大上定理：(園內(nèi)接四邊形的九點圓)圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心

都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓.

70.密格爾(Miquel)點：若AE、AF.ED、FB四條直線相交十人、B、CD、E、尸六點，構(gòu)成四個三角形，它們是

△人E。、△8C￡、△OCR則這四個三角形的外接圓共點，這人點稱為密格爾點.

71.葛爾剛(Gergonne)點:△ABC的內(nèi)切圓分別切邊人B、BC、CA于點D、E、F,則A￡、BF、CD三線共點、,這個

點稱為葛爾剛點.

72.歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：。是三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過M向三邊作垂線，三個垂足

形成的三角形的面積，其公式：邑D￡JJR2解|

S'ABC4R2

平面幾何的意義

就個人經(jīng)驗而言，我相信人的智力惜懂的大門獲得開悟往往緣于一些不經(jīng)意的偶然事件.

羅素說過：”?個人越是研究兒何學(xué)，就越能行出它們是多么值得贊賞."我想羅素之所以這么說，是因為平面兒何

曾經(jīng)救了他i命的緣故.

天知道是什么緣故，這個養(yǎng)尊處優(yōu)的貴族子弟鬼迷心竅，想要自殺來結(jié)束自己那份下層社會人家的孩子巴望一輩子

都夠不到的幸福生活.在上吊或者抹脖了?之前，頭戴假發(fā)的小子想到做最后i件事情，那就是了解一下平面幾何到

底有多大迷人的魅力.而這個魅力是之前他的哥哥向他吹噓的.估計他的哥哥將平面兒何與人生的意義攪和在一起

向他做了推介，不然萬念俱灰的的頭腦怎么會在離開之前想到去做最后為光顧？而羅素真的一下被迷住了，厭世的

念頭因為沉湎于平面幾何而被淡化，最后竟被遺忘了.

羅素豐竟是羅素.平面幾何對于我的意義只是發(fā)掘了一個成績本來不錯的中學(xué)生的潛力，為我解開了智力上的扭結(jié)：

而在羅素那里，這門知識從一開始就使這個未來的偉大的懷疑論者顯露了執(zhí)拗的本性.他反對不加考察就接受平面

幾何的公理，在與哥哥的反復(fù)爭論之后，只是他的哥哥使他確信不可能用其他的方法一步步由這樣的公理來構(gòu)建龐

大的平面幾何的體系的以后，他才同意接受這些公理.

公元前334年，年輕的亞歷山大從丐其頓麾師東進(jìn)，短短的時間就建立了一個從尼羅河到印度河的龐大帝國.隨著

他的征服，希臘文明傳播到了東方，尸始了一個新的文明時代即“希臘化時代“，這時希臘文明的中心也從希臘本土

轉(zhuǎn)移到了東方，準(zhǔn)確地說，是從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城.正是在這個城市，誕生了“希臘化時代”最為杰出

的科學(xué)成就，其中就包括歐幾里德的幾何學(xué).因為他的成就，平面幾何也被叫作“歐氏幾何

“歐氏幾何"以它無與倫比的完美體系一直被視為演繹知識的典范，哲學(xué)史家更愿意把它看作是古代希臘文化的結(jié)

品.它由人類理性不可辯駁的幾個極其簡單的“自明性公理.”出發(fā)，通過嚴(yán)密的邏輯推理，演繹出一連串的定理，

這些在結(jié)構(gòu)上緊密依存的定理和作為基礎(chǔ)的幾個公理一起構(gòu)筑了一個龐大的知識體系.世間事物的簡潔之美無出其

右.

★費馬點：法國著名數(shù)學(xué)家費爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，便該點到三

角形三個頂點距離之和最小.人們稱這個點為''費馬點”.這是一個歷史名題，近幾年仍有不少文獻(xiàn)對此介紹.

★拿破侖三角形：讀了這個題目，你一定覺得很奇怪.還有三角形用拿破侖這個名子來命名的呢！拿破侖與我們的

幾何圖形三角形有什么關(guān)系？少年朋友知道拿破侖是法國著名的軍事家、政治家、大革命的領(lǐng)導(dǎo)者、法蘭西共

和國的締造者，但對他任過炮兵軍官，對與射擊、測量有關(guān)的幾何等知識素有研究，卻知道得就不多了吧！

史料記載，拿破侖攻占意大利之后，把意大利圖書館中有價值的文獻(xiàn)，包括歐幾里德的名著《幾何原本》都

送回了巴黎，他還對法國數(shù)學(xué)家提出了“如何用圓規(guī)將圓周四等分”的問題，被法國數(shù)學(xué)家曼徹羅尼所解決.據(jù)

說拿破侖在統(tǒng)治法國之前，曾與法國大數(shù)學(xué)家拉格朗日及拉普拉斯一起討論過數(shù)學(xué)問題.拿破侖在數(shù)學(xué)上的真知

灼見竟使他們驚服，以至于他們向拿破侖提出了這樣一個要求：“將軍，我們最后有個請求，你來給大家上?次

幾何課吧！”

你大概不會想到拿破侖還是這樣一位有相當(dāng)造詣的數(shù)學(xué)愛好者吧！不少幾何史上有名的題目還和拿破侖有著

關(guān)朕，他曾經(jīng)研究過的三角形稱為“拿破侖三角形”，而且還是一個很有趣的三角形.

在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊AABD、ABCE.ACAF,則AE、AB>CD三線共點，并且AE=BF=

CD,如下圖.這個命題稱為拿破侖定理.

以4ABC的三條邊分別向外作等邊AABD、ABCE.ACAF,它們的外接圓。、。、。、的同心構(gòu)成的

△一一外拿破侖的三角形.。。三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形，如卜.圖.

△ABC的三條邊分別向AABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、ABCE>ACAF,它們的外接圓。,0.0的圓

心溝成的4一一內(nèi)拿破侖三角形。.0.0三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形.如下圖.

由于外拿破侖三角形和內(nèi)拿破侖三角形都是正三角形，這兩個三角形還具有相同的中心.少年朋友，你是

否京訝拿破侖是一位軍事家、政治家，同時還是一位受異M籍、熱愛知識的數(shù)學(xué)家呢？拿破侖定理、拿破侖三角

形及其性質(zhì)是否更讓你非常驚訝、有趣呢？

★歐拉圓：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連結(jié)三帶形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點

共圓（通常稱這個圓為九點圓（nine-pointcircle）,或歐拉圓,費爾巴哈圓.

九點圓是幾何學(xué)史上的一個著名問題，最早提出九點圓的是英國的培亞敏.俾幾（BenjaminBeven）,問題發(fā)表在1804

年的?本英國朵志上.第?個完全證明此定理的是法國數(shù)學(xué)家彭賽列（1788—1867）.也有說是1820—IX2I年間由

法國數(shù)學(xué)家熱而工（1771-1859）與彭賽列首先發(fā)表的.一位高中教師費爾巴哈（1800—1834）也曾研究了九點圓,

他的證明發(fā)表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質(zhì)》一文里，文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要

性質(zhì)（如下列的性質(zhì)3）,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓.

九點圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：

1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；

2.九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；

3.三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切風(fēng)三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）.

數(shù)論

一、數(shù)學(xué)競賽中數(shù)論問題的基本內(nèi)容

主要有8個定義、15條定理.

定義1（帶余除法）給定整數(shù)。力，力工0,如果有整數(shù)即滿足

a=qb+r,

則夕和，?分別稱為。除以〃的商和余數(shù).特別的，廠=0時，則稱。被Z?整除，記作可。，或者說〃是。的倍數(shù)，而b

是。的約數(shù).

定義2（最小公倍數(shù)）非零整數(shù)%,小，，%的最小公倍數(shù)是能被其中每個q（l所整除的最小正整

數(shù),記作［q,4,…,qj.

定義3（最大公約數(shù)）設(shè)整數(shù)%,生，，勺中至少有一個不等于零，這〃個數(shù)的最大公約數(shù)是能整除其中每一

個整數(shù)的最大正整數(shù)，記作（“，。2，，，?）.

定理1對任意的正整數(shù)，有

定義4如果整數(shù)滿足則稱。與〃是互素的（以前也稱為互質(zhì)）.

定義5大于1且除1及其自身外沒有別的正整數(shù)因子的正整數(shù)，稱為素數(shù)（以前也稱為質(zhì)數(shù)）.其余大于I的正

整數(shù)稱為合數(shù)：數(shù)1既不是素數(shù)也不是合數(shù).

定理2素數(shù)有無窮多個，2是唯一的偶素數(shù).

定義6對于整數(shù)4,b,c,且cwO,若。|(。一人)，則稱出/?關(guān)于模c同余，記。三/mode)作若則稱4,。

關(guān)于模c不同余，記作。美儀mode),ca-b

定理3(整除的性質(zhì))設(shè)整數(shù)a,〃,c為非零整數(shù)，

(1)若小，b\a,則電：

(2)若c|a,則〃c|a/?：

(3)若則對任意整數(shù)7%,〃，有d〃?a+〃Z?；

(4)若=且。匠，則a|c：

(5)若(4力)=1,且〃卜,。卜，則而|c

(6)若4為素數(shù)，且則“心或〃卜.

定理4(同余的性質(zhì))設(shè)Ac,d,m為整數(shù)，m>0,

(1)若。三力(modtn)且b=c(modm),則。三c(modm)；

(2)若。三伙mod機)且。三d(modtn)，則。+c三人+d(modm)且ac=Z?d(modm).

(3)若。三/?(modm),則對任意的正整數(shù)n有a1'=b"(modm),且an=/7/?(modmn)：

(4)若。三伙modm),且對非零整數(shù)左有《(〃,〃,/%),則@=2/mod'.

kk\k

定理5設(shè)a,〃為整數(shù)，〃為正整數(shù)，

(1)若a于b,則(〃一/川(優(yōu)一〃")；

(2)若aw-b,則g+Z?)上產(chǎn)-+/尸i)：

(3)若aH-b,則(〃+人)|(/_廬)

定義7設(shè)〃為正整數(shù)，左為大于2的正整數(shù)，q,。?，，，。加是小于女的非負(fù)整數(shù)，且q>0.若

n,2

n=+a2k~+??+am_}k+am,

則稱數(shù)a,n為〃的人進(jìn)制表示.

定理6給定整數(shù)Z22,對任意的正整數(shù)〃，都有唯一的Z進(jìn)制表示.

定理7任意一個正整數(shù)n與它的十進(jìn)制表示中的所有數(shù)字之和關(guān)于模9同余.

定理8（分解唯一性）每個大于1的正整數(shù)都可分解為素數(shù)的乘積，而且不計因數(shù)的順序時，這種表示是唯一的

〃=P/P2—?pJ*.

定理9若正整數(shù)〃的素數(shù)分解式為n=p”,則n的約數(shù)的個數(shù)為

〃5）=（4+1）（生+1）3+1），

n的一切約數(shù)之和等于

/V-l/V2-lP」T

-1〃2-10-1

定義8對任意實數(shù)X,國是不超過R的最大整數(shù).亦稱國為X的整數(shù)部分，[x]Wx<[x]+l.

定理10在正整數(shù)加的素因子分解式中，素數(shù)〃作為因子出現(xiàn)的次數(shù)是

川升圖+?

定理11如果素數(shù)〃不能整除整數(shù)〃，則-1）.

定理12設(shè)〃為素數(shù)，對任意的整數(shù)。，有?！ㄈǎ╩od〃）.

定理13設(shè)正整數(shù)〃=〃2“'.P；”.，則不大丁〃且與〃互素的正整數(shù)個數(shù)0（〃）為

（1V!A（1、

（pin）=n111.

I4八的JI

定理14整系數(shù)二元一次方程at+Z?y=c?存在整數(shù)解的充分必要條件是d（|《，網(wǎng)）.

定理15若（不，是整系數(shù)二元一次方程ar+〃y=c的一個整數(shù)解，則方程的一切整數(shù)解可以表示為

二.數(shù)學(xué)競賽中數(shù)論問題的重點類型

主要出現(xiàn)8類問題.：

1.奇數(shù)與偶數(shù)（奇偶分析法、01法）;

2.約數(shù)與倍數(shù)、素數(shù)與合數(shù)；

3.平方數(shù);

4.整除；

5.同余；

6.不定方程;

7.數(shù)論函數(shù)、［工］高斯函數(shù)、0（"）歐拉函數(shù)：

8.進(jìn)位制（十進(jìn)制、二進(jìn)制）.

三.例題選講

例1有?100盞電燈，排成一橫行，從左到右，我們給電燈編上號碼1,2,…，99,100.每盞燈由一個拉線開關(guān)控

制著.最初，電燈全是關(guān)著的.另外有100個學(xué)生，第一個學(xué)生走過來，把凡是號碼為1的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下：

接著第2個學(xué)生走過米，把凡是號碼為2的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下：第3個學(xué)生走過來，把凡是號碼為2的倍數(shù)的

電燈的開關(guān)拉了一下，如此等等，最后那個學(xué)生走過來，把編號能被100整除的電燈的開關(guān)拉了一下，這樣過去之后，

問哪些燈是亮的？

講解（1）直接計算100次記錄，會眼花繚亂.

（2）拉電燈的開關(guān)有什么規(guī)律：電燈編號包含的正約數(shù)（學(xué)生）才能受、不是正約數(shù)（學(xué)生）不能拉，有幾個正

約數(shù)就被拉幾次.

（3）燈被拉的次數(shù)與亮不亮（開、關(guān)）有什么關(guān)系:

0123456789

關(guān)開關(guān)開關(guān)開美開關(guān)開

燈被拉奇數(shù)次的亮！

（4）哪些數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)：平方數(shù).

（5）1?100中有哪些平方數(shù)：共10個:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

答案：編號為1,4,9,16,25,36,49,64,81,100共10個還亮.

例2用［可表示不大于戈的最大整數(shù)，求

2004

----+------+…+

366J1366~366

366

講解題目的內(nèi)層有2004個高斯記號，外層1個高斯記號.關(guān)鍵是弄清［丫］的含義,進(jìn)而弄清加法誰與誹加、除法

誰與誰除：

（1）分子是那些數(shù)相加，求出和來；

由366x5=1830v2004v2196=366x6,知分子是。?5的整數(shù)相加，弄清加數(shù)各有幾個

1-3650365個

366?7311366個

732?10972366個

1098?14633366個

1464?18294366個

1830?20045175個

（2）除法誰除以366,求出商的整數(shù)部分.

0x365+366（1-2+3+4）+5x175

原式=

366

10x366+875

366

好+費

12.

命題背景2004年有12個月、366天.

21〃+4

例3（1959,/M。-）證明對任意E整數(shù)〃，分?jǐn)?shù)不可約.

14〃+3

21〃+4

證明1（反證法）假若--------可約，則存在

14n+3

d>1,①

使（21〃+4,14〃+3）=4

從而存在〃，4，（〃均）=1,使

21n+4=dp,②

14〃+3=dq,③

消去〃，（3）x3-（2）x2,得

1=。四—2〃）

的d=\⑤

由（1）、（5）矛盾，得〃=1.

解題分析：

（1）去抻反證法的假設(shè)與矛盾就是一個正面證法

（2）式④是實質(zhì)性的進(jìn)展，表明

1=3（14〃+3）-2（25+4）

可見（2歷+4/4〃+3）=1.

由此獲得2個解法.

證明2設(shè)(21〃+4,14〃+3)=小存在〃應(yīng),(〃,“)=1,使

21ft+4=dp,①

14〃+3=血②

消去"，②X3YDX2,得

l=d(3q-2〃)③

得d=\.

證明3由1=3(14〃+3)—2(21〃+4)

得(2山+4,14〃+3)=1.

證明4(2山+4,14〃+3)

=(7〃+1,14〃+3)④

=(7〃+1,1)⑤

=1.

解題分析：第④相當(dāng)于①-②;：第⑤相當(dāng)于②~2(①-②)=②X3-①X2；所以③式與⑤式的效果是一樣的.

例4(1906,匈牙利)假設(shè)卬，%，，%是12，"的某種排列，證明：如果〃是奇數(shù)，則乘積

(4-1)(%-2)…

是偶數(shù).

解法1(反證法)假設(shè)(q—1)(%—2)(凡一〃)為奇數(shù)，則q—，均為奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)

奇數(shù)=(4.1)+(生-2)+…+(。〃_〃)

=(q+%+-+?！?一(1+2+…+〃)=0,

這與“奇數(shù)w偶數(shù)”矛盾.所以%-1)(%—2)…(可一〃)是偶數(shù).

評析這個解法說明(4-1)(42-2)???(可一〃)不為偶數(shù)是不行的，體現(xiàn)了整體處理的優(yōu)點，但掩蓋了“乘枳”

為偶數(shù)的原因.

解法2(反證法)假設(shè)(4-1)他一2)…(4—〃)為奇數(shù)，貝!q—?均為奇數(shù)，出與i的奇偶性相反，

{1,2,中奇數(shù)與偶數(shù)一樣多，〃為偶數(shù)但已知條件〃為奇數(shù)，矛盾.所以(4-1)(4-2)(4一〃)是偶數(shù).

評析這個解法揭示了（q—1）（生一2）?（〃“一〃）為偶數(shù)的原因是“〃為奇數(shù)”.那么為什么“〃為奇數(shù)”時

“乘積”就為偶數(shù)呢？

解法31,2,…，小q,/，???，〃〃中有〃+1個奇數(shù)，放到〃個括號，必有兩個奇數(shù)在同一個括號，這兩個奇數(shù)的

差為偶數(shù)，得（q-1）（%-2）…（4一拉）為偶數(shù).

例4-1(1986,英國）設(shè)4，%，，%是整數(shù)，4也，M是它們的一個排列，證明

（4一4）（生一人）（。7—4）是偶數(shù).

例4-271的前24位數(shù)字為4=3.14159265358979323846264，記“，仁,…,生4為該24個數(shù)字的任一

排列,求證（q_/）（%—q）?（%—%!）必為偶數(shù)。

例5（1979,）設(shè)〃與4為正整數(shù)，滿足

11

￡=1-1.1--------+--------

q2313181319

求證〃可被1979整除（1979|/；）

P?141\lb2-4ac

q2313181319

(111111

=1H-----1-----F-+-------+---------2-++-------

I2313181319J(241318

11),1I1)

1+-+-++-------+--------1+-+--+------

2313181319；I23659J

111

-------1-------+...-I----------p

66066113181319

660+1319661+1318989+990

------------------1--------------------FH-----------------

660x1319661x1318989x990

M

=1979x

660x66lx...xl3l9

0”659!A/

=1979x---