【二輪復習】高考數學 重難點13 圓錐曲線?？冀浀湫☆}全歸類（新高考專用）（解析版）

重難點13圓錐曲線?？冀浀湫☆}全歸類【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓錐曲線的定義及應用】 3【題型2圓錐曲線的標準方程的求解】 6【題型3橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍問題】 8【題型4焦半徑問題】 11【題型5焦點三角形問題】 13【題型6圓錐曲線中的最值問題】 17【題型7阿波羅尼斯圓與圓錐曲線】 19【題型8阿基米德三角形】 22【題型9蒙日圓】 26【題型10切線問題】 28【題型11定比點差法與點差法】 32【題型12圓錐曲線的光學性質問題】 35圓錐曲線是高考的熱點內容，其中圓錐曲線的定義、方程與幾何性質是每年高考必考的內容.從近幾年的高考情況來看，在選擇、填空題中的考查主要有三個方面：一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關的問題；三是拋物線的性質及應用問題；難度中等.通過對圓錐曲線的定義、方程及幾何性質的考查，著重考查了數學抽象、邏輯推理與數學運算等核心素養(yǎng)．【知識點1圓錐曲線的定義及應用】1.利用圓錐曲線的定義求軌跡方程

在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據定義判定軌跡曲線并寫出方程．有時還要注意軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制．2.圓錐曲線定義的應用(1)圓錐曲線定義的應用主要有：求標準方程，將定義和余弦定理等結合使用，研究焦點三角形的周長、面積，求弦長、最值和離心率等．(2)應用圓錐曲線的定義時，要注意定義中的限制條件．在橢圓的定義中，要求；在雙曲線的定義中，要求；在拋物線的定義中，定直線不經過定點．此外，通過到定點和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統(tǒng)一在一起，稱為圓錐曲線．【知識點2圓錐曲線的幾何性質的研究】1.解析法研究圓錐曲線的幾何性質：用解析法研究圓錐曲線的幾何性質是通過方程進行討論的，再通過方程來研究圓錐曲線的幾何性質．不僅要能由方程研究曲線的幾何性質，還要能運用兒何性質解決有關問題，如利用坐標范圍構造函數或不等關系等．【知識點3圓錐曲線的標準方程的求解方法】1.橢圓標準方程的求解(1)用定義法求橢圓的標準方程

根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.2.雙曲線標準方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標準方程

根據雙曲線的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.(2)用待定系數法求雙曲線的標準方程

用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為或，再根據條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為.3.拋物線標準方程的求解待定系數法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.【知識點4橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】1.求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關鍵是借助圖形建立關于a,b,c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關系求離心率，利用變形公式求解.(3)構造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.2.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解.【知識點5圓錐曲線中的最值問題的解題策略】1.橢圓中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.2.雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.3.與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略(1)轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.(2)轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.【題型1圓錐曲線的定義及應用】【例1】（2023·陜西西安·模擬預測）P為橢圓x26+y22=1上一點，曲線x2+y=1與坐標軸的交點為A，B，C，D，若PA+PB+PC+PD=4A．913 B．813 C．219【解題思路】先得到A，B，C，D四個點的坐標，不妨設A-2,0，B2,0，C0,-1由橢圓定義得到PA+PB=26，進而求出PC+PD=26，由橢圓定義可知，P點在以C【解答過程】x2+y=1中，令x=0得y不妨設A-2,0，B2,0，C0,-1，D0,1，則A則PA+因為PA+PB+又CD=2，PC由橢圓定義可知，P點在以C0,-1，D其中2a=26,2c所以P為橢圓x2由x26+y22=1x25+故選：D.【變式1-1】（2023·四川達州·二模）設F1，F2是雙曲線C：x24-y23=1的左、右焦點，過F2的直線與A．5 B．6 C．8 D．12【解題思路】由雙曲線的定義知F1P-PF2=2a【解答過程】雙曲線C：x24-y2由雙曲線的定義知：F1P-PQ=所以F=F故選：C.【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)，直線l:x=32與拋物線C相交于A，B兩點，點A為x軸上方一點，過點AA．12 B．1 C．2 D．【解題思路】易得點A的橫坐標為32，再利用拋物線的定義得到|AF|=|AD|=32+p2，再根據∠【解答過程】解：如圖所示：根據題意，得點A的橫坐標為32由拋物線的性質，得|AF又因為∠DFO=π所以△AFD而|DF|cos所以|AF解得p=1故選：B．【變式1-3】（2023·廣東廣州·模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1,F2.A．23 B．45 C．57【解題思路】先根據點關于直線的對稱點求法求出點P3c5,-4c5【解答過程】設F1-c,0關于直線由y1x1

可知PF1=所以PF12由題意，點P恰好在C上，根據橢圓定義PF1+QF1+QF在直角三角形△QPF2解得m=45所以cos∠故選：D．【題型2圓錐曲線的標準方程的求解】【例2】（2023·河南安陽·二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F2A．x2-yC．2x23【解題思路】求出c=3，利用題干條件得到PF2=2c3，P【解答過程】設雙曲線C的半焦距為cc>0．由題可知2c因為PF1的中點為Q，所以F2Q=F1故PF2⊥F1所以PF1-PF2=所以雙曲線C的方程為x2故選：A.【變式2-1】（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，C上一點A．y2=2x B．y2=x【解題思路】根據點Mx0,x【解答過程】解：依題意得x0因為x0≠0，所以又|MF|=x所以拋物線C的方程為y2故選：D.【變式2-2】（2023·安徽合肥·三模）已知O為坐標原點，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，平行四邊形OACB的三個頂點A，B，C在橢圓E上，若直線ABA．x28+C．x24+【解題思路】利用三角換元設A(acosα,b【解答過程】先證三角形面積公式的向量形式：在△AOB中，OA則cos∠AOB=∴sin∠設A(acosα,b所以C(將C坐標代入橢圓方程有(cosα+則sin所以四邊形OACB的面積為S=2即32ab=362，又根據AB和所以b2a2=1故選：B.【變式2-3】（2023·天津河西·模擬預測）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(A．x22-C．x24-【解題思路】確定拋物線焦點為1,0，且a=b，根據距離得到a【解答過程】雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為-1,-1故拋物線的準線方程為x=-1，即拋物線焦點為1,0漸近線方程y=bax過雙曲線的左頂點與拋物線焦點距離是3，則左頂點為-2,0，即a故雙曲線方程為x2故選：B.【題型3橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍問題】【例3】（2023·廣西南寧·模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分別為橢圓的左右焦點，直線A．33 B．3 C．3-1【解題思路】根據四點共圓及y=3x的傾斜角得到△AOF2【解答過程】因為F1、A、F2、B四點共圓，O為圓心，所以故AO=c，又y=故△AOF2由勾股定理得AF由橢圓定義可得AF1+解得ca故選：C.【變式3-1】（2023·全國·模擬預測）雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1,A．2 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據“△PQF1與△PQF2的周長之和”、“△PQF1與【解答過程】記△PQF1與△PQF設△PQF1與△則S△根據S△PQF又△PQF1與△所以C△因為C△PQF又PF1-PF所以F1由S△PQF即23a+所以離心率e=故選：A.【變式3-2】（2023·全國·模擬預測）已知F1,F2是橢圓C1:x212+yA．52 B．5 C．102 D【解題思路】由橢圓和雙曲線的定義及條件可求a=22【解答過程】因為C1:xPF1+由PF解得a=22，而c=10，所以雙曲線故選：A．【變式3-3】（2023·湖南永州·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2，點PA．217 B．3311 C．77【解題思路】由P點坐標求得Q點坐標，然后代入橢圓C的方程，化簡求得橢圓C的離心率.【解答過程】由x2a2+y由于PF2與y軸平行，且P在第一象限，所以由于2P所以OQ=即Q-95c,-2b81c77c所以離心率e=故選：B.【題型4焦半徑問題】【例4】（2023·西藏拉薩·一模）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M在拋物線C上，且MF=4，O為坐標原點，則A．5 B．25 C．4 D．【解題思路】根據拋物線的定義求得M點的坐標，進而求得OM.【解答過程】設Mx0,y0，由MF=4得所以M2,±4，OM故選：B.【變式4-1】（2023·全國·模擬預測）設F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，點P為C上第四象限的點．若直線A．6 B．4 C．3 D．2【解題思路】先根據焦點位置求出拋物線方程，再將直線和拋物線方程聯立求出點P坐標，再根據焦半徑公式可得答案.【解答過程】由題意可知，F(2,0)，則p2=2，所以p將y=22(x-2)代入y2則y1=22因為點P為C上第四象限的點，所以P1,-2根據拋物線的定義可知，|PF故選：C．【變式4-2】（2023·四川·模擬預測）設O為坐標原點，點P2,y0在拋物線C:y2=2px(p>0)上，若【解題思路】根據P到準線的距離求解出p的值，再根據拋物線方程求解出P的坐標，由此可求OP.【解答過程】依題意P到C的準線的距離為52，所以2+p2所以C:y2=2所以OP=故答案為：22【變式4-3】（2023·廣東茂名·三模）已知O為坐標原點，直線l過拋物線D:y2=2px(p>0)的焦點F，與拋物線D及其準線依次交于A,B,C三點（其中點B【解題思路】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結合圖形依次求得∠MCB=30°與p=2，從而求得直線AB的方程，聯立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點線距離公式求得AB與【解答過程】過點B作BM垂直于準線，垂足為M，過點A作AN垂直于準線，垂足為N，設準線與x軸相交于點P，如圖，

則BM=在△MBC中，BC=2BF，所以BC故在△ANC中，AC=2AN=8，所以又CN⊥x軸，∠MCB又拋物線D:y2=2px所以拋物線D:y2因為∠MCB=30°，所以直線AB的斜率k=-與拋物線方程聯立y=-3x-1易得Δ>0，設點Ax1則AB=又直線AB:y=-則點O到直線AB的距離d=所以S△故選：B.【題型5焦點三角形問題】【例5】（2023·廣東梅州·三模）已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線A．23 B．13 C．4 D．【解題思路】根據給定條件，利用橢圓定義求出|AF1|【解答過程】橢圓C:x29+y2

因此△AF1所以△AF1故選：D.【變式5-1】（2023·廣東廣州·一模）雙曲線C:x2-y2=4的左，右焦點分別為F1,F2，過F2作垂直于A．62-8 B．62-4【解題思路】由題意畫出圖，由已知求出c的值，找出A,B的坐標，由△AF1F【解答過程】由題意如圖所示：由雙曲線C:x2所以c2所以F2(2所以過F2作垂直于x軸的直線為x代入C中，解出A2由題知△A且AF1=B的連線垂直于x軸于點P，設為r，在△A1由雙曲線的定義可知：A由AF2=2所以12解得：r=因為F1F2為△所以O3一定在F1F2上，即x軸上，令圓在△A12又A所以12所以R=所以PFO3所以S=r故選：A.【變式5-2】（2023·安徽·一模）已知橢圓C:x2a2+y2=1a>1的左、右焦點分別為F1、F2，過FA．32 B．3 C．23 D【解題思路】利用橢圓的定義求出a的值，進而可得出c的值，由此可求得△MF1F【解答過程】由橢圓的定義可得△MNF2∴a=2，則則△MF1故選：B.【變式5-3】（2023·四川成都·模擬預測）已知F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A．52 B．12 C．5-【解題思路】設IA⊥F1F2，IB⊥PF2，IC⊥【解答過程】如圖所示：

由題意I為△P設IA⊥F1F2，IB⊥P所以IA=IB=即12化簡得PF由雙曲線定義可知PF1-注意到F1F2=2聯立并化簡得c2-a2解得λ=ac=-故選：C.【題型6圓錐曲線中的最值問題】【例6】（2023·廣西柳州·模擬預測）已知F1,F2是橢圓x24+y2【解題思路】利用橢圓的定義知PF1+P【解答過程】因為F1,F2是橢圓所以PF所以4=PF1+PF所以1P即1PF故答案為：1.【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，M4,0，過點M作直線x+a-3y-3a-【解題思路】本題先求出直線必過的定點，再求出Q的軌跡方程，再數形結合求最值即可.【解答過程】

由x+a-所以直線x+a-連接AM，則AM=1+3=2，由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，設Qx,y，所以點記圓x-922+y-322=1的圓心為N92,32，過點Q，P，N分別作準線x=-2的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則PF故答案為;112【變式6-2】（2022高三·江蘇·專題練習）已知橢圓E:x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F2，P【解題思路】由橢圓方程求出F2坐標，結合橢圓定義將PF1+PQ轉化為6-|P【解答過程】由橢圓E:x29+橢圓E在圓N:x2+y2=9易知MN=25+16=41>3+1而|PF1要求PF1+而Q在圓M:只需求|PM|-|PF2此時|F2M則|PF1則|PF1故答案為：12.【變式6-3】（2022·河北邯鄲·一模）已知點P在雙曲線x24-y25=1的右支上，A0,2，動點B滿足AB=2【解題思路】由題意可知B的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，利用雙曲線定義將PF-PB轉化為P【解答過程】動點B滿足AB=2，則點B的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓設雙曲線的左焦點為F1，由題知PF則PF-當且僅當A，P，F1所以PF-PB的最大值為故答案為：13-【題型7阿波羅尼斯圓與圓錐曲線】【例7】（2023·貴州畢節(jié)·二模）古希臘數學家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦法．如圖，已知圓錐的高與底面半徑均為2，過軸OO1的截面為平面OAB，平行于平面OAB的平面α與圓錐側面的交線為雙曲線C的一部分．若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于OA,OB，則建立恰當的坐標系后，雙曲線A．y2-xC．y2-x【解題思路】建立坐標系，由kOB=-2-0【解答過程】設雙曲線OC的方程為y2將題設中雙曲線C的一部分平移到平面OAB內，以點O為坐標原點，建立如下圖所示的坐標系：因為圓錐的高與底面半徑均為2，所以B2,-2，則k即漸近線OB的方程為y=-x，即ab選項ABCD中滿足a=b故選：C.【變式7-1】（22-23高三下·湖北武漢·期中）古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點．設橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，A．12 B．22 C．32【解題思路】由題意，作圖，利用三角函數的性質，可設線段的表示，根據齊次方程的思想，可得答案.【解答過程】由題意，可作圖如下：則cos∠ABF1=可設AB=3k，AF由AB+AF1+AF2=2a-則e=故選：D.【變式7-2】（2023·湖南·模擬預測）兩千多年前，古希臘數學家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面α∥PQ，平面α截圓錐側面所得曲線記為C，則曲線C所在雙曲線的離心率為（A．233 B．133 C．3【解題思路】根據題意，建立平面直角坐標系，得到點E的坐標，從而得到雙曲線方程，然后結合離心率公式，即可得到結果.【解答過程】如圖，設平面α∥PQ，平面α與圓錐側面的交線為C，過P垂直于EF的母線與曲線C交于M，不妨延長PM至A，使

過A垂直于PQ的截面交曲線C為E,設P在平面α內的投影為點O，以O為原點，PQ投影為x軸建立平面直角坐標系，易知點M為雙曲線頂點.設OM=a，則可求E點坐標為2a,a，代入方程：x故選:A.【變式7-3】（2023·新疆烏魯木齊·三模）希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現“平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值λλ≠1的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，點A-32,12，B-32,2，若點P是滿足λ=A．34 B．37 C．42 D．3【解題思路】先求出點P的軌跡方程，再結合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得|PB|+2|【解答過程】設Px,y化簡整理得x+所以點P的軌跡為以-32,0拋物線C:y2=6x則|=2|當且僅當A,P,Q,所以|PB|+2|PQ故選：B.【題型8阿基米德三角形】【例8】（2023·青海西寧·二模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點，△ABQA．p22 B．p2 C．2【解題思路】設A(x1,y1),B(x2,y2)，設直線AB為x=my+p2，代入拋物線方程，由韋達定理得y1+y2=2pm,y1【解答過程】設Ax1,y1,B整理得y2-2設過點A的切線方程為y-y1整理得y2-2pk則過A的切線為：y-y1=py1同理可得過點B的切線斜率為py2，過點B的切線方程為：聯立兩切線py1x所以兩條切線的交點Q在準線上，則y1兩式相減得y1∴y=y1+又因為直線AB的斜率為1m(m≠0)，如圖，設準線與x軸的交點為M，△ABQ的面積S當AB⊥x軸時，AB最短（最短為2p），QF此時△ABQ的面積取最小值p故選：B.【變式8-1】（2023·河北唐山·模擬預測）阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(A．x29+4y227=1 B【解題思路】由題意有ab=183且b【解答過程】由題意知：ab=183且ba=3所以橢圓標準方程x2故選：B.【變式8-2】（2023·山西·模擬預測）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①點P必在拋物線的準線上；②△PAB為直角三角形，且∠APB為直角；③PF⊥AB，已知P為拋物線A．12 B．14 C．2 D【解題思路】設直線AB的方程為x=my+14，A(y12,y1)，B(y22,y2)，y1>0,y2<0，P-【解答過程】易知，焦點F(14設直線AB的方程為x=my+14，A(y聯立y2=xx=my則Δ>0，y又PF⊥AB，可得PF?AB=0，即1過P點作PM//x軸交AB于則yM=y0=y1故S=1當且僅當y1故三角形PAB的面積的最小值為14故選：B．【變式8-3】（2024·陜西銅川·一模）古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的π倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓C的面積為125π，離心率為23，F1，F2是橢圓C的兩個焦點，A①橢圓C的標準方程可以為x236+y220③存在點A，使得∠F1AF2A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【解題思路】由橢圓的性質判斷A；由定義結合余弦定理、三角形面積公式判斷B；由余弦定理得出∠F1AF【解答過程】對于①：由ab=125c則橢圓C的標準方程為x236+對于②：由定義可知AF由余弦定理可得：cos=122-則S△F1對于③：設AsF1-=36-95t0≤t則不存在點A，使得∠F1A對于④：2AF1+1即AF1=故選：D.【題型9蒙日圓】【例9】（2023·青海西寧·二模）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：x2a2+y2b2=1A．22 B．32 C．33【解題思路】找過右頂點的切線和過上頂點的切線，得到這兩條切線的交點在蒙日圓上，再建立關于a,b【解答過程】如圖，AC,BC分別與橢圓相切，顯然所以點Ca,b所以a2+b2=所以橢圓Γ的離心率e=故選：D.【變式9-1】（2023·四川·三模）19世紀法國著名數學家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓x2a2+y2b2=1a>bA．±3 B．±4 C．±5 D．2【解題思路】根據題意，得到蒙日圓的方程為x2+【解答過程】由題意得，橢圓x23+所以橢圓x23+因為圓x-32可得兩圓外切，所以32+b故選：B.【變式9-2】（2023·江西·模擬預測）定義：圓錐曲線C:x2a2+y2b2=1的兩條相互垂直的切線的交點Q的軌跡是以坐標原點為圓心，a2+b2為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓C的方程為x25+y24=1，A．-34或43 B．125或0 C．-95或【解題思路】求出蒙日圓的方程，求出直線l與蒙日圓的交點A、B的坐標，求出直線OA、OB的斜率，分析可知當點P與點A、B重合時，∠MPN為直角，即可得出kOP【解答過程】根據蒙日圓定義，圓O方程為x2因為直線l與圓O交于A、B兩點，聯立x+2y-3=0x即點A-95當點P與點A或B重合時，∠MPN為直角，且kOA=-所以，直線OP的斜率為-43或故選：D.【變式9-3】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形G的四邊均與橢圓M:x2

A．橢圓M的離心率為33 B．橢圓M的蒙日圓方程為C．若G為正方形，則G的邊長為25 D．長方形G的面積的最大值為【解題思路】由橢圓標準方程求得a,b后再求得【解答過程】由橢圓方程知a=6，b=2，則c=6-4當長方形G的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為26和4，其對角線長為24+16=210，因此蒙日圓半徑為10，圓方程為x設矩形的邊長分別為m,n，因此m2+n2=40≥2mn，即mn≤20，當且僅當m=n時取等號，所以長方形G故選：D．【題型10切線問題】【例10】（2024·江蘇·模擬預測）已知P為拋物線x2=4y上一點，過P作圓x2+(y-3)A．12 B．23 C．34【解題思路】設Pt,t24，由PC取得最小值，則【解答過程】如圖所示：因為∠APB=2∠APC設Pt則PC2當t2=4時，PC取得最小值此時∠APB最大，cos且cos∠APBmin=1-2故選：C.【變式10-1】（2023·湖北·一模）已知圓C1:x2+y2=b2b>0與雙曲線C2:x2a2-A．1,52 BC．1,3 D．【解題思路】連接OA、OB、OP，則OA⊥AP，OB⊥BP，設點Px,y，則y2=b【解答過程】連接OA、OB、OP，則OA⊥AP，由切線長定理可知，PA=又因為OA=OB，OP=所以，∠APO=∠BPO設點Px,y，則y所以，OP=2所以，ba≥1故選：B.【變式10-2】（2022·河南·模擬預測）已知Ma,3是拋物線C：x2=2pyp>0上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點F的距離為4，過點P4,2向拋物線C作兩條切線，切點分別為A．-1 B．1 C．16 D．【解題思路】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設Ax1,y1,【解答過程】如示意圖，由拋物線的定義可知點M到拋物線準線y=-p2的距離為4，則3+p2設Ax1,y1,B由y=x24?y'因為點P4,2在這兩條直線上，所以x1?4-2?2-2y1=0x1?4-2?2-2y1于是AF→故選：B.【變式10-3】（2024·河南·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓C：x2a2+y2b2a>b>0的左、右焦點分別為F1-c,0，F2c,0，過點F2作圓O：x2+yA．12 B．64 C．22【解題思路】根據條件先表示出MN，然后在△MNF1中根據等面積法表示出內切圓的半徑，結合S1:【解答過程】因為F2c,0在圓O由x=cx2a設△MNF1由等面積法可知：12所以12×2c又因為S1所以c2=4所以c2a2故選：C.【題型11定比點差法與點差法】【例11】（2023·河南·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1?(a>0,b>0)的離心率為2，直線lA．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】設出P，Q，D的坐標，利用點差法，結合D為線段PQ的中點，以及兩點之間的斜率公式，通過恒等變換，得到l與OD的斜率的乘積與a,b的關系，根據e【解答過程】設Px1,y1則x1x1所以b2因為D為線段PQ的中點，即x所以c2即e2-1=kl故選：B.【變式11-1】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O為坐標原點，直線l交橢圓于A，B兩點，MA．12 B．22 C．33【解題思路】根據題意，由點差法代入計算，可得b2a【解答過程】設Ax1,y1將A，B兩點坐標代入橢圓C的方程可得x12a兩式相減可得x1又因為M為AB的中點，所以x0所以x0所以kAB=y又直線l與OM的斜率之積為-1所以kAB?k所以橢圓C的離心率e=故選：D.【變式11-2】（2023·四川成都·模擬預測）已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點F1的直線l（斜率為正）交雙曲線于A．26 B．35 C．43【解題思路】根據條件畫出圖形結合圓錐曲線的定義及條件可得tanθ=e2-4【解答過程】由題可知A在左支上B在右支上，如圖，設∠AF1O=θ，則cosθ所以tanθ設Ax1,所以x12-x2所以kAB所以kOM=2e2故選：C.【變式11-3】（2023·全國·模擬預測）已知直線l:y=kx與橢圓E:x2a2+y2b2=1a>A．-22,-C．-32,-【解題思路】先設點A,B,M的坐標，然后將A,M的坐標代入方程中，相減，構造出直線MA，MB的斜率，相乘轉化只含有a,b的表達式，再根據a,b【解答過程】設Mx由直線l:y=kx與橢圓E交于所以B-x1由題意知：x2x2即y2又kMA由橢圓的離心率的取值范圍是33即33所以13即-2故選：D.【題型12圓錐曲線的光學性質問題】【例12】（2023·全國·模擬預測）圓錐曲線的光學性質在實際生活中有著廣泛的應用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F

A．2 B．2 C．72 D．【解題思路】根據三角函數的定義表示出F2P，利用勾股定理表示出F1P【解答過程】設雙曲線C的焦距為2c，因為cos∠F所以F2P=所以2a=F故選：B.【變式12-1】（2023·河北張家口·二模）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是80cm，燈深40cm，則光源到反射鏡頂點的距離為（A．20cm B．10cm C．30cm【解題思路】根據已知條件及設出拋物線的標準方程，結合點在拋物線上即可求解.【解答過程】在縱斷面內，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為x軸，建立直角坐標系，如圖所示，由題意可得A40,40設拋物線的標準方程為y2=2px(p所以拋物線的焦點到頂點的距離為p2=10，即光源到反射鏡頂點的距離為故選：B.【變式12-2】（2022·全國·模擬預測）桂林山水甲天下，那里水?山秀，聞名世界，桂林的山奇特險峻，甲、乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內如圖所示的A、B兩點處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質，即從一個焦點發(fā)出光經橢圓反射后經過另一個焦點，現已知橢圓：C:x2100+y216=1上一點M，過點M作切線l，AA．26 B．10 C．310 D【解題思路】如圖，過M作M處切線的垂線交AB于N，過A,O,B分別作切線的垂線交切線于點A1,O1【解答過程】如圖，過M作M處切線的垂線交AB于N，過A,O,由光學性質可知MN平分∠AMB，∠則∠A因為cos∠AMB=45|=1故選：C.【變式12-3】（2023·河南鄭州·模擬預測）雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點F1．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為x2a2-y2b2=1，F1,F2分別為其左、右焦點，若從右焦點FA．2+1 B．2+3 C．5+22【解題思路】設AF1=m，AF2=n，根據題意可得AB=m，由雙曲線定義得【解答過程】易知F1、A、D則m-n=2a.因為則AB=m，則又因為AF1+BF在△AF1F2所以e2故選：D.1．（2023·北京·高考真題）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x=-3的距離為A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】利用拋物線的定義求解即可.【解答過程】因為拋物線C:y2=8x的焦點F2,0，準線方程為所以M到準線x=-2的距離為MF又M到直線x=-3的距離為5所以MF+1=5，故MF故選：D.2．（2023·全國·高考真題）設F1,F2為橢圓C:x25+y2A．1 B．2 C．4 D．5【解題思路】方法一：根據焦點三角形面積公式求出△P方法二：根據橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【解答過程】方法一：因為PF1?從而S△FP故選：B.方法二：因為PF1?PF所以PF12PF12故選：B.3．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，F1,F2為橢圓C:x29+y2A．135 B．302 C．145【解題思路】方法一：根據焦點三角形面積公式求出△PF1F2方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出PF方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出PF【解答過程】方法一：設∠F1P由cos∠F1由橢圓方程可知，a2所以，S△PF即xp2=9×故選：B．方法二：因為PF1+P即PF12+解得：PF而PO=12即PO=故選：B．方法三：因為PF1+P即PF12+PF由中線定理可知，2OP2+F1故選：B．4．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A．55 B．255 C．3【解題思路】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【解答過程】由e=5，則解得ba所以雙曲線的一條漸近線為y=2則圓心(2,3)到漸近線的距離d=所以弦長|AB故選：D.5．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線x2-y29A．1,1 B．-1,2 C．1,3 D．【解題思路】根據點差法分析可得kAB?k=9，對于A、