特殊函數(shù)歸類練- 2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考

特殊函數(shù)歸類練2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考一、單選題1．若函數(shù)fx的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．形如的函數(shù)，圖象很像漢字中的“囧”字，被形象地稱為“囧函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，該“囧函數(shù)”與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．0個(gè) D．3個(gè)3．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（

）A． B．C． D．4．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基人之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：.則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．形如的函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的函數(shù)模型之一，因其圖象上半部分像極了老師批閱作業(yè)所用的“√”，所以也稱為“對勾函數(shù)”．研究證明，對勾函數(shù)可以看作是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，即對勾函數(shù)的圖象是雙曲線，直線是它的一條漸近線．點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處作雙曲線的切線，交漸近線于兩點(diǎn)，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．26．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A．10 B．20 C．15 D．57．函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是一對優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí)（

）A． B．C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足：，且是偶函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．D．二、多選題9．已知函數(shù)(a≠0)，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為C．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镈．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽10．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，如=-2，稱為高斯函數(shù)，記，則下列說法正確的是（

）A．B．的值域?yàn)镃．不等式的解集為D．所有滿足的點(diǎn)組成的區(qū)域的面積和為202411．對勾函數(shù)的圖象可以由焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，因此對勾函數(shù)即為雙曲線.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．漸近線方程為和B．的對稱軸方程為和C．M，N是函數(shù)圖象上兩動(dòng)點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，則直線MN，OP的斜率之積為定值D．Q是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作切線交漸近線于A，B兩點(diǎn)，則的面積為定值三、填空題12．高斯是著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域?yàn)?13．形如的函數(shù)圖像類似于漢字“囧”，稱其為“囧函數(shù)”，并把其與軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”.以囧點(diǎn)為圓心凡是與囧函數(shù)有公共點(diǎn)的圓，稱為“囧圓”.當(dāng)時(shí)，所有的囧圓中面積的最小值為.14．，，則的值域?yàn)椋?5．設(shè)定義在上函數(shù)，滿足：，，且為奇函數(shù)，則，最小正周期．16．對于函數(shù)，下列說法正確的是．(寫出所有正確命題的序號(hào))①函數(shù)為奇函數(shù)；②函數(shù)的值域?yàn)?；③函?shù)在定義域上為增函數(shù)．四、解答題17．一般地，我們把形如的函數(shù)稱為飄帶函數(shù)，若飄帶函數(shù)在上的最小值、最大值分別為和1.(1)確定a，b的值；(2)求的零點(diǎn).18．在研究函數(shù)過程中，經(jīng)常會(huì)週到一類形如為實(shí)常數(shù)且的函數(shù)，我們稱為一次型分式函數(shù)．請根據(jù)條件完成下列問題．(1)設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù)，請根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù)．若成立的一個(gè)充分非必要條件是，求的取值范圍；(3)設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，求的取值范圍．19．在數(shù)學(xué)中，不給出具體解析式，只給出函數(shù)滿足的特殊條件或特征的函數(shù)稱為“抽象函數(shù)”．我們需要研究抽象函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)．對于抽象函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且滿足：，均有(1)證明：在上單調(diào)遞增；(2)若函數(shù)滿足上述函數(shù)的特征，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求證：對任意，都有．

參考答案1．A所以，即，解得，即的定義域是.故選：A.2．B求出當(dāng)時(shí)的囧函數(shù)的表達(dá)式，畫出囧函數(shù)的圖象，再在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用圖象即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)．由題意知，當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)的圖象如圖所示，可知它們有4個(gè)交點(diǎn)．故選：B.3．B由函數(shù)的解析式，可得函數(shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，在上函數(shù)值大于0，排除D選項(xiàng)，再由接近8，排除A，只有B的圖象接近函數(shù)的圖象.解：設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確，B正確.故選：B.4．D先根據(jù)一元二次不等式的解法求出的范圍，再根據(jù)高斯函數(shù)的定義即可得解.由，得，解得，根據(jù)高斯函數(shù)的定義可得，所以不等式的解集為.故選：D.5．D根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可求結(jié)果．因?yàn)椋O(shè)，則處切線的斜率，所以切線方程為，令，可得，即，則；令，可得，即，則；故面積為．故選：D

6．A首先由條件確定，即可判斷函數(shù)的周期，再結(jié)合特殊值，，即可求和.因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，即，則，那么，所以2是函數(shù)的一個(gè)周期，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，且，所以，，所以.故選:A7．A根據(jù)題意可得，利用裂項(xiàng)的思想整理可得，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果.由題意可得：，，則，可得，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，所以當(dāng)，可得.故選：A.8．A由條件可得為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及圖象變換判斷A，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)及圖象變換判斷B，根據(jù)對稱性證明結(jié)論判斷C，根據(jù)周期性，并通過求求結(jié)論判斷D.所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因?yàn)?，代入中，得到，進(jìn)而，因此，故C正確；由可得，函數(shù)fx為周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期，可得，，，由可得，，所以，所以，故D正確．故選：A．9．BCDA.由單調(diào)區(qū)間不能合并判斷；D.由函數(shù)的單調(diào)性判斷；BC.利用函數(shù)的圖象判斷.當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋咴谏蠁握{(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的值域?yàn)镽，故D正確；當(dāng)時(shí)，，其圖象如圖所示：

由圖象知：的單調(diào)遞增區(qū)間為,值域?yàn)椋蔅，C正確．故選：BCD10．ACD分別利用題中的新概念判斷，每一個(gè)選項(xiàng)即可.由題可知，，故A正確；設(shè),，則，若，則，所以與假設(shè)矛盾，故，當(dāng)時(shí)，顯然與假設(shè)矛盾，故，即的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，可知，故無解，當(dāng)時(shí)，，故無解，當(dāng)時(shí)，，故無解，當(dāng)時(shí)，，解不等式，故此時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，故無解，綜上所訴，不等式的解集為，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)滿足點(diǎn)的區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)滿足點(diǎn)的區(qū)域的面積為1；……當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)滿足點(diǎn)的區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，故為一個(gè)點(diǎn)，無面積所以所有滿足的點(diǎn)組成的區(qū)域的面積和為2024，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11．ABD對于A，函數(shù)圖象是雙曲線，由圖象知：函數(shù)的圖象與直線和無限接近，但不相交，則直線和為該雙曲線的漸近線，A正確；對于B，函數(shù)圖象是雙曲線，由雙曲線的性質(zhì)知，雙曲線的對稱軸為其漸近線的角分線，且互相垂直，一條對稱軸的傾斜角為，由二倍角公式可得，整理得，而，解得，斜率，另一條對稱軸的斜率為，對應(yīng)的方程分別為和，B正確；對于C，設(shè)，直線的斜率分別為，則，C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)，求導(dǎo)得，設(shè)，則函數(shù)的圖象在處切線的斜率，切線方程為，令，得，即，則，令，得，即，則，因此的面積（定值），D正確．故選：ABD

12．先把函數(shù)分離常數(shù)，然后求分離常數(shù)后的取值范圍，最后根據(jù)取值范圍求解.又，當(dāng)時(shí)，所以的值域里有當(dāng)時(shí)，所以的值域里有當(dāng)時(shí)，所以的值域里有所以的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?3．如圖，當(dāng)時(shí)，囧函數(shù)的解析式為，其與軸的交點(diǎn)為.于是，囧點(diǎn)為，它們之間的距離為2.取囧函數(shù)在第一象限圖像上任一點(diǎn)，其到囧點(diǎn)的距離為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.故囧圓中面積的最小值為.14．由題意得，．令，則，則可化為．∵函數(shù)，在上均為增函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∵時(shí)，，時(shí)，，∴的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?15．24空1：整理可得，令，即可得結(jié)果；根據(jù)題意可得，結(jié)合奇函數(shù)的定義可得，即，進(jìn)而可得.空1：因?yàn)?，即，且，即，可得，令時(shí)，則，因此；空2：可得，由此可轉(zhuǎn)為，即，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，可得，即，則，因此最小正周期．故答案為：2；4.16．①③①定義域?yàn)镽，且，①正確；②，求出的取值范圍，得到值域；③定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取點(diǎn)，作差，變形判號(hào)，下結(jié)論.①的定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，①正確；②，解得，的值域?yàn)?，②錯(cuò)誤；③任取，且，則，因?yàn)?，所以，又，故，，故函?shù)在定義域上為增函數(shù)，③正確；故答案為：①③17．(1)或(2)和或和（1）當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，所以，即，解得；當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)，所以，即，解得；故或.（2）當(dāng)時(shí)，，令，所以的兩個(gè)零點(diǎn)分別是和；當(dāng)時(shí)，，令，所以的兩個(gè)零點(diǎn)分別是和；故的零點(diǎn)為和或和.18．(1)見解析；(2)；(3)（1）利用奇偶性的定義討論計(jì)算即可；（2）利用充分必要條件結(jié)合集合間的基本關(guān)系計(jì)算即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性與值域結(jié)合方程有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分離參數(shù)計(jì)算即可.（1）對于函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，此時(shí)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且顯然有，故此時(shí)是偶函數(shù)，若，則定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故此時(shí)是非奇非偶函數(shù)；（2）根據(jù)題意可知不等式的解集包含區(qū)間，由，若，即時(shí)，此時(shí)不等式無解，不符合題意；若，即時(shí)，此時(shí)不等式的解集為，要符合題意，則需，注意到等號(hào)不能同時(shí)取得，故滿足條件；若，即時(shí)，此時(shí)不等式的解集為，顯然，不符合題意，綜上：；（3）易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意可知有兩個(gè)不等實(shí)根，即在上有兩個(gè)不同解，即在上有兩個(gè)不同解，易知，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知.19．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析（1）由，結(jié)合已知條件和函數(shù)單調(diào)性的定義推導(dǎo)即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合恒成立問題分析求解即可；（3）令可得，用累乘法即可得對任意正整數(shù)與正