廣東省清遠(yuǎn)市清城區(qū)清城中學(xué)教育集團(tuán)四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

清城中學(xué)教育集團(tuán)四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）1．下列選項(xiàng)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．如圖是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)衢州瑩白瓷的直口杯，它的俯視圖是（

）A． B． C． D．3．盒子里裝有5張質(zhì)地均勻、大小相同的數(shù)字卡片，上面分別寫(xiě)著1，2，3，4，5．從盒中任意摸出一張卡片，摸出偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．4．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．5．在矩形中，、相交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）．A．4 B．6 C．8 D．106．依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列四邊形不一定為菱形的是（

）A． B．C． D．7．電影《長(zhǎng)津湖》一上映，第一天票房約2億元，若每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)13億元，若增長(zhǎng)率記作x，方程可以列為（

）A． B．C． D．8．小李廣花榮是《水滸傳》中的108將之一，有著高超的箭術(shù)．如圖，一枚圓形古錢(qián)幣的中間是正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線(xiàn)之比為．將一枝箭射到古錢(qián)幣的圓形區(qū)域內(nèi)，箭穿過(guò)正方形孔的概率為（

）A． B． C． D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為3，將放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．或10．反比例函數(shù)與一次函數(shù)（其中x為自變量，k為非零常數(shù)）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

二、填空題（本題共5小題，每題3分，共15分）11．當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程(的一個(gè)根是．12．如圖，在中，D是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是．13．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．14．如圖，由24個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格。，的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格內(nèi)正方形的頂點(diǎn)，若，則它們的相似比．15．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，把矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，則長(zhǎng)為．

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)．17．如圖，在中，于點(diǎn)D，，求和．18．如圖，在菱形中，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．四、解答題（二）：本大題共2小題，每小題9分，共18分。19．下圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，甲轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成3個(gè)扇形，乙轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成4個(gè)扇形，每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，則小穎獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線(xiàn)上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)數(shù)字為止．

(1)請(qǐng)你通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率．(2)該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．20．如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為，則道路的寬為多少？

五、解答題（三）：本大題共3小題，每題12分，共36分。21．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】排簫是中國(guó)的傳統(tǒng)樂(lè)器，它由長(zhǎng)短不同的竹管組成，如圖1，現(xiàn)要利用若干長(zhǎng)為的相同吸管制作簡(jiǎn)易排簫．【實(shí)驗(yàn)操作】將吸管不斷剪短，用嘴對(duì)著吸管吹氣，用相關(guān)軟件測(cè)得吸管另一出口發(fā)出聲音的振動(dòng)頻率，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1：表1長(zhǎng)度（）振動(dòng)頻率（）【探索發(fā)現(xiàn)】（1）通過(guò)表1數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，吸管越短，振動(dòng)頻率越（填“高”或“低”）；（2）請(qǐng)你根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)在圖2中描點(diǎn)、連線(xiàn)．觀察圖象，從振動(dòng)頻率y與吸管長(zhǎng)度x之間的關(guān)系可以近似用函數(shù)模型反映（從初中所學(xué)函數(shù)選擇），并求出該函數(shù)表達(dá)式．表2

C調(diào)音符與頻率對(duì)照表音符不同音區(qū)的頻率（）低音區(qū)中音區(qū)高音區(qū)【實(shí)際應(yīng)用】（3）根據(jù)表2，判斷這批吸管制作的排簫能否吹出低音區(qū)的音，若能，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)吸管長(zhǎng)度，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（精確到）22．綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖①，在矩形中，點(diǎn)E、F、G分別為邊、、的中點(diǎn)，連接、，H為的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段、和的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)圖②中，，此時(shí)，點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F落在線(xiàn)段上，連接，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，若，，則；當(dāng)，時(shí)，；(3)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線(xiàn)，并沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得（如圖④）．點(diǎn)M、N分別在、上，連接，將沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若平分，則長(zhǎng)為．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖像交分別為．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)將沿翻折，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，問(wèn)的值是否為定值，若是求出該值、若不是請(qǐng)用表示；(3)連接，作，并使，求過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式．參考答案題號(hào)12345678910答案ABBBBCDBCB11．12．13．14．15．16．(1)(2)17．，18．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，．19．(1)(2)不公平，公平的游戲規(guī)則見(jiàn)詳解【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下所示：

由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于10的有6種，∴小穎獲勝的概率為；（2）該游戲規(guī)則不公平．由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，∴小亮獲勝的概率為，而小穎獲勝的概率為，故該游戲規(guī)則不公平．游戲規(guī)則可修改為以下兩種：①當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時(shí)，小亮獲勝；當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時(shí)，小穎獲勝；②當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，小亮獲勝；當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)，小穎獲勝．（答案不唯一）20．道路的寬為21．【詳解】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察表格，得出與的積為定值，從而得出函數(shù)關(guān)系式．（1）通過(guò)表1數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，吸管越短，振動(dòng)頻率越高；故答案為：高．（2）請(qǐng)你根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)在圖2中描點(diǎn)、連線(xiàn)．根據(jù)表格可知∴從振動(dòng)頻率y與吸管長(zhǎng)度x之間的關(guān)系可以近似用反比例函數(shù)模型反映，該函數(shù)表達(dá)式為．函數(shù)圖象，如圖所示（3）由題可得，低音區(qū)的音頻率為代入∴答：低音區(qū)的對(duì)應(yīng)吸管長(zhǎng)度為22．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，∴，∵E、F為，中點(diǎn)，即：，∴，∴，∴，∵H為中點(diǎn)，G為中點(diǎn)，∴，∴．（2）連接，如圖所示，由題意知，，，∴，由矩形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，，∴，∴，∵G為中點(diǎn)，H為中點(diǎn)，∴，∴，∴若，，則；當(dāng)，時(shí)，；．故答案為：；；（3）過(guò)作于，如圖所示，由折疊知，，，∵平分，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，，由知，，即，，

∵，∴，∴，即，，∴，解得：，故答案為：．23．(1)；(2)是定值，定值為；(3)．【詳解】（1）解：∵矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴，∴的值是；（2）解：是定