2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)鞏固卷10 平面向量（六大考點(diǎn)）（原卷版）

平面向量（六大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：共線定理定理1：已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然平面向量共線定理證明若點(diǎn)互不重合，是三點(diǎn)所在平面上的任意一點(diǎn)，且滿足，則三點(diǎn)共線.證明:(1)由三點(diǎn)共線.由得.即，共線，故三點(diǎn)共線.(2)由三點(diǎn)共線.由三點(diǎn)共線得，共線，即存在實(shí)數(shù)使得.故.令，則有.1．已知是平面內(nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn)，為不共線向量，，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線2．已知向量不共線，且，，若與同向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3．在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為44．下列說法中不正確的是（

）A．若，則，且四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形B．若為非零實(shí)數(shù)，且，則與共線C．在中，若有，那么點(diǎn)一定在角A的平分線所在直線上D．若向量，則與的方向相同或相反5．如圖，已知平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與，所在直線分別交于點(diǎn)M，N，滿足，，（，），若，則的值為．6．如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，且，．(1)若，求；(2)若點(diǎn)G是△ABC的重心，設(shè)△ADE的周長(zhǎng)為，△ABC的周長(zhǎng)為．（i）求的值；（ii）設(shè)，記，求的值域．7．設(shè)，是不共線的兩個(gè)非零向量.(1)若，，，求證：，，三點(diǎn)共線；(2)若，，，且，求實(shí)數(shù)的值.8．如圖，在中，已知，，，邊上的中點(diǎn)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，相交于點(diǎn)．(1)求的正弦值；(2)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求的余弦值．(3)當(dāng)取得最小值時(shí)，設(shè)，求的值．9．設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)已知的夾角為，問當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直？10．如圖，在中，AQ為邊BC的中線，，過點(diǎn)P作直線分別交邊AB，AC于點(diǎn)M，N，且，，其中，.(1)當(dāng)時(shí)，用，表示；(2)求的值，并求最小值.考點(diǎn)02：投影向量的求算1、投影向量的定義如圖：如果向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)在直線上的投影分別為和，那么向量叫做向量在直線上的投影向量（簡(jiǎn)稱為：投影）；理解：一個(gè)向量在一個(gè)非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一條所在直線上的投影，因?yàn)檫@些直線都是平行的，所以，向量在一個(gè)非零向量的方向的投影是唯一確定的；特殊地，如圖，若兩個(gè)向量共起點(diǎn)；即：，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量；2、投影向量的計(jì)算公式以一點(diǎn)為起點(diǎn)，；作：，把射線、的夾角稱為向量、向量的夾角，記作：；；；，又稱向量垂直，記作；（1）（2）（3）當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；綜上可知，對(duì)于任意的，都有；3、數(shù)量投影的定義與求法據(jù)圖：如果令為向量的單位向量，那么向量在向量方向上的向量投影為：；其中，實(shí)數(shù)（*）稱為向量在向量方向上的數(shù)量投影；理解：（1）當(dāng)時(shí)；實(shí)數(shù)（*）大于0；（2）當(dāng)時(shí)；實(shí)數(shù)（*）等于0；（3）當(dāng)時(shí)；實(shí)數(shù)（*）小于0；特別的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相應(yīng)的數(shù)量投影的絕對(duì)值是該投影的模，因此，這個(gè)數(shù)量投影等于0；11．向量與非零向量的夾角為，則在上的投影數(shù)量為（

）A． B． C．1 D．12．若，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．13．若向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．14．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．15．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．16．下列關(guān)于向量的說法正確的是（

）A．若，，則B．若單位向量，夾角為，則向量在向量上的投影向量為C．若與不共線，且，則D．若且，則17．已知向量，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．18．已知，．(1)若且，求在方向上的投影向量；(2)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．已知向量，，.(1)若，求；(2)若，求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）20．已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量；(2)求的值.考點(diǎn)03：奔馳定理解決三角形面積比問題奔馳定理---解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為.注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1，且分的三個(gè)三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故.21．點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．222．設(shè)點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則O為的重心；B．若，則O為的垂心；C．若，則為等邊三角形；D．若，則△BOC與△ABC的面積之比為．23．已知為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A．若且，則B．C．與的面積之比為D．與的面積之比為24．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其外接圓半徑為，下列結(jié)論正確的有（

）A．若是的重心，則B．是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的面積是的面積的2倍C．若，則是等腰三角形D．若，，則的外接圓半徑25．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其外接圓半徑為，下列結(jié)論正確的有（

）A．若是的重心，且，則B．是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的面積是的面積的2倍C．若，則是等腰三角形D．若，則的外接圓半徑26．下列說法中正確的是（

）A．在中，，，，若，則為銳角三角形B．已知點(diǎn)是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，并且，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心C．已知，，與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍是D．在中，若，則與的面積之比為27．在中，下列說法正確的是（

）A．若，則是等腰三角形B．若，，則為等邊三角形C．若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的D．若分別是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為28．對(duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則B．若，則符合條件的有兩個(gè)C．若點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的垂心D．已知是內(nèi)一點(diǎn)，若分別表示的面積，則29．若M是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則與的面積之比為．30．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，若的面積，.(1)求角的大??；(2)若，且，求的面積.考點(diǎn)04：平面向量之三角形四心問題一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.31．已知為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足和，則角為（

）A． B． C． D．32．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心33．已知，向量，，滿足條件，．則是（

）A．等腰直角三角形B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形34．已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)P是的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心35．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（

）A．點(diǎn)為的內(nèi)心 B．點(diǎn)為的外心C． D．為等邊三角形36．設(shè)點(diǎn)O是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)O不在的邊上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)O是的重心，則B．若點(diǎn)O是的垂心，則C．若，則點(diǎn)O是的外心D．若O為的外心，H為的垂心，則37．在中，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．內(nèi)一點(diǎn)滿足，則是的重心C．若，則的形狀為等腰三角形D．若，則必為的垂心38．下列說法中，正確的是（

）A．若，則或B．在平行四邊形中，C．在中，若，則是鈍角三角形．D．內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)是三角形的重心39．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊AC，AB的對(duì)角.有以下四個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.40．中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足.射線BP與邊AC交于點(diǎn)D.若，則面積的最小值為.考點(diǎn)05：極化恒等式解決向量數(shù)量積問題（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設(shè)，則，①②①②兩式相加得：（2）極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式①平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的.②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM41．在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)P在CD邊上，，則（

）A．0 B． C． D．142．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，若正八邊形的邊長(zhǎng)為2，P是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．43．已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，則（

）A． B． C． D．44．在中，已知，，若點(diǎn)為的外心，點(diǎn)滿足的點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．345．已知在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)滿足，則.46．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且滿足，為原點(diǎn)，，求的取值范圍．47．如圖，在梯形中，.點(diǎn)在陰影區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為.48．如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，則的最大值為．

49．如圖，在△ABC中，，，，則．50．如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)是陰影區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），O，A在格點(diǎn)上，則的取值范圍是.考點(diǎn)06：等和線解決平面向量系數(shù)和問題題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）題型三：?jiǎn)栴}（1）平面向量共線定理已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；51．如圖，在中，若為上一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．52．如圖，在正方形中，,和相交于點(diǎn)G，且F為上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1553．如圖，在中，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．54．的重心為O，過點(diǎn)O的直線與AB，BC所在直線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，（），則xy的最小值為（

）A． B． C． D．455．在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．56．已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．157．已知□ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A，C），點(diǎn)Q在對(duì)角線BD上（不包括端點(diǎn)B，D），若，，記的最小值為m，的最小值為n，則（

）A．， B．，C．， D．，58．如圖，在三角形