2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第50講 正態(tài)分布（含答案）

高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第五十講正態(tài)分布閱卷人一、選擇題得分1．某市共20000人參加一次物理測試，滿分100分，學(xué)生的抽測成績X服從正態(tài)分布N70,102，則抽測成績在[80,90]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為（）（若ξ～NA．6828 B．5436 C．4773 D．27182．若隨機(jī)變量X～N6,1，且P5<X≤7=a，PA．b?a2 B．b+a2 C．1?b23．某網(wǎng)反隨機(jī)選取了某自媒體平臺(tái)10位自媒體人，得到其粉絲數(shù)據(jù)（單位：萬人）：1.7,2.3,1.9,2.1,2.2,2.1,1.9,1.7,2.2,1.9．若該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)X～Nμ,σ2（其中μ（1）這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.0；（2）這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.04；（3）這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為1.8；（4）用樣本估計(jì)總體，該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)不超過2.2萬的概率約為0.84135．（附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則PA．1 B．2 C．3 D．44．某種品牌攝像頭的使用壽命(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.8，使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時(shí)安裝了兩個(gè)該種品牌的攝像頭，則在4年內(nèi)這兩個(gè)攝像頭都能正常工作的概率為（）A．0.2 B．0.25 C．0.4 D．0.85．某次數(shù)學(xué)聯(lián)考成績的數(shù)據(jù)分析，20000名考生成績服從正態(tài)分布N72,A．3173 B．6346 C．6827 D．136546．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.假設(shè)隨機(jī)變量X~Nμ,σ2通過對某次數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)考生的成績?chǔ)位痉恼龖B(tài)分布ξ~N105,102A．341 B．477 C．498 D．6837．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P(X<3)A．35 B．23 C．310閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分8．已知隨機(jī)變量X~N1,σ2A．P(X<3)=a B．a(chǎn)?b=C．E(2X?1)=2E(X) D．D(2X?1)=4D(X)9．已知變量X服從正態(tài)分布X～N(0,σ2)A．P(?12<X<12C．正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)下移 D．正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)上移10．下列論述正確的有（）A．若A,B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為rA=0.97,rB=?0.99B．?dāng)?shù)據(jù)49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位數(shù)為38C．若隨機(jī)變量X～N7,σ2，且D．若樣本數(shù)據(jù)x1,x11．已知隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布N(0,1)，定義函數(shù)f(x)為X取值不超過x的概率，即f(x)=P(X≤x)，若x≥0，則下列說法正確的有（）A．f(0)=12 C．f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù) 閱卷人三、填空題得分12．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,σ2，若P(X>8)=0.2，則13．已知隨機(jī)變量X～Nμ,σ2,Y～B(6,p)，且P(X≥3)=14．某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：fx=1σ2π15．若隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望和方差分別為Eξ，Dξ，則對于任意ε>0，不等式Pξ?Eξ≥ε≤Dξε2成立.在2023年湖南省高三九校聯(lián)考中，數(shù)學(xué)科考試滿分150閱卷人四、解答題得分16．某校擬對全校學(xué)生進(jìn)行體能檢測，并規(guī)定：學(xué)生體能檢測成績不低于60分為合格，否則為不合格；若全年級不合格人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的5%（1）為準(zhǔn)備體能檢測，甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用七局四勝制（一方獲勝四局則本輪比賽結(jié)束）．假設(shè)甲同學(xué)每局比賽獲勝的概率均為23（2）經(jīng)過一段時(shí)間的體能訓(xùn)練后，該校進(jìn)行了體能檢測，并從高二年級1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績作分析．將這40名學(xué)生體能檢測的平均成績記為μ，標(biāo)準(zhǔn)差記為σ，高二年級學(xué)生體能檢測成績近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．已知μ=74附：若隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954517．某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競賽，競賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在[70，80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在[90，100]內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng).為了解學(xué)生對相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)（1）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（2）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值.附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.954418．在七一“建黨節(jié)”來臨之際，某省教育系統(tǒng)開展以“爭知識(shí)標(biāo)兵，做奮斗先鋒”為主題的法規(guī)知識(shí)競賽活動(dòng).為了了解本次競賽成績情況，從參與者中隨機(jī)抽取容量為100的樣本數(shù)據(jù)（滿分為100分），均在區(qū)間[50,100]內(nèi)，將樣本數(shù)據(jù)按參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ,σ（1）求a的值，并估計(jì)抽取的100位參與者得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若本次活動(dòng)共有5000人參加，用樣本平均值估計(jì)總體平均值μ.假設(shè)所有參與者得分X～N(μ,100)，試估計(jì)得分在19．面試是求職者進(jìn)入職場的一個(gè)重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯(cuò)不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識(shí)，每道題答對得4分，答錯(cuò)不得分．附：若X～N(μ,σ2)(σ>0)，則P(μ?σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ?2σ<X<μ+2σ)≈0.954（1）若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布N(60,144)，規(guī)定X?72為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少(結(jié)果四舍五入保留整數(shù)（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為23，后兩題答對的概率均為45，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：學(xué)生的抽測成績X服從正態(tài)分布N70,P=1由于總?cè)藬?shù)為20000，則抽測成績在[80,90]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為20000×0.1359=2718.故答案為：D.【分析】由題意，利用正態(tài)分布的對稱性求抽測成績在[80,90]內(nèi)大約的學(xué)生人數(shù)即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X～N6,1，且P5<X≤7=a由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，P4<X≤5所以P4<X≤7故答案為：B.【分析】利用正態(tài)密度曲線的圖象的對稱性結(jié)合已知條件，從而得出P4<X≤73．【答案】B【解析】【解答】解：對于（1），1.7+2.3+1.9+2.1+2.2+2.1+1.9+1.7+2.2+1.910對于（2），因?yàn)榉讲顬?.7?2.02故標(biāo)準(zhǔn)差為0.04=0.2對于（3），因?yàn)閺男〉酱笈判驗(yàn)?.7,1.7,1.9,1.9,1.9,2.1,2.1,2.2,2.2,2.3，10×0.25=2.5，故從小到大，選擇第3個(gè)數(shù)作為第25百分位數(shù)，即1.9，所以（3）錯(cuò)誤；對于（4），因?yàn)棣?σ=2.0+0.2=2.2，又Pμ?σ≤X≤μ+σ故用樣本估計(jì)總體，該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)不超過2.2萬的概率約為0.5+0.68272=0.84135故選：B.【分析】利用平均數(shù)的公式計(jì)算即可判斷（1）；先計(jì)算出方差，再開方得到標(biāo)準(zhǔn)差，從而判斷出（2）；對數(shù)據(jù)從小到大排列，再利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解，從而判斷出（3）；計(jì)算出μ+σ的值，再利用正態(tài)分布的對稱性得到相應(yīng)的概率，從而判斷出（4），進(jìn)而找出說法正確的個(gè)數(shù).4．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)槟撤N品牌攝像頭的使用壽命(單位：年)服從正態(tài)分布，Pξ≥2=0.8，Pξ≥6所以正態(tài)分布曲線的對稱軸為ξ=4，即Pξ≤4即一個(gè)攝像頭在4年內(nèi)能正常工作的概率為12所以兩個(gè)該品牌的攝像頭在4年內(nèi)都能正常工作的概率為12故答案為：B.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到對稱軸為ξ=4，得到攝像頭在4年內(nèi)能正常工作的概率為125．【答案】A【解析】【解答】解：20000名考生成績服從正態(tài)分布N72,82，則80=μ+σ，

因?yàn)镻則80分以上的人數(shù)大約是20000×PX>80故答案為：A.【分析】利用正態(tài)分布的概率的對稱性以及3σ原則計(jì)算即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，可知考生的成績?chǔ)位痉恼龖B(tài)分布ξ~N105,則考試成績在(105,125)的考生人數(shù)，即為考試成績在(μ,μ+2σ)的人數(shù)，因?yàn)楣灿?000名考生參加這次考試，所以考試成績在(105,125)的考生人數(shù)大約為1000×0.9545故答案為：B.【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算求解即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P(X<3)P(X<1)=4又因?yàn)檎龖B(tài)分布的對稱軸為2，所以PX≥3所以4P則P2<X<3故答案為：C.【分析】根據(jù)正態(tài)分布對稱性求解即可.8．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由題意可知：μ=1，且?1+32=μ，則B、P(1<X<3)=P(?1<X<1)=P(X>?1)?12，即b=a?1CD、根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可知：E(2X?1)=2E(X)?1，D(2X?1)=4D(X)，故C錯(cuò)誤，D正確.故答案為：ABD.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷AB；根據(jù)期望和方差的性質(zhì)即可判斷CD.9．【答案】A,C【解析】【解答】解；變量X服從正態(tài)分布X～N(0,σ2)，當(dāng)σ變大時(shí)，峰值逐漸變小，正態(tài)曲線逐漸變“矮胖”，隨機(jī)變量X故答案為：AC.【分析】根據(jù)已知條件，利用正態(tài)曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】A，若A,B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為rA=0.97,rB=?0.99，因?yàn)閞B，數(shù)據(jù)排序21,29,30,32,38,49,50,65，共8個(gè)數(shù)據(jù)，則8×0.6=4.8，所以數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為38，B正確；C，若隨機(jī)變量X～N7,σ2，且P(X>9)=0.12，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，P(X<5)=0.12D，樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,故答案為：B、C、D.【分析】結(jié)合相關(guān)性的含義，可判定A.根據(jù)百分位數(shù)的概念及求法，可判定B；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可判定C；根據(jù)數(shù)據(jù)的方差性質(zhì)的計(jì)算公式，可判定D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A選項(xiàng)，由X~N(0,1)，得f(0)=P(X≤0)=1B選項(xiàng)，由f(2x)=P(X≤2x)，2f(x)=2P(X≤x)，而當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=P(X≤x)>12，則2f(x)>1，又f(2x)=P(X≤2x)<1，所以C選項(xiàng)：x>0，當(dāng)x增大時(shí)，f(x)=P(X≤x)也增大，所以f(x)在(0,+∞D(zhuǎn)選項(xiàng)：P(X故選：ACD.【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得f(0)=P(X≤0)=12，可判斷A；當(dāng)x>0時(shí)，2f(x)>1，f(2x)<1，判斷B；易得f(x)在(0,+∞12．【答案】0.3【解析】【解答】解：PX>8故答案為：0.3.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.13．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X～Nμ,σ2，且P(X≥3)=12又因?yàn)閅～B(6,p)，所以E(Y)=6p，又因?yàn)镋(X)=E(Y)，所以3=6p，解得p=1故答案為：12【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得μ=3，則E(X)=3，再由二項(xiàng)分布可知E(Y)=6p，最后根據(jù)E(X)=E(Y)列式求解即可.14．【答案】1200【解析】【解答】因?yàn)榭傮w密度函數(shù)為：fx=1由P70≤X≤100=0.7得所以超過100分人數(shù)大約為：8000×0.15=1200人，故答案為：1200.【分析】本題考查正態(tài)分布的對稱性.根據(jù)總體密度函數(shù)可推出μ=85，利用正態(tài)分布的對稱性可求出P(X>100)，進(jìn)而可求出數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù).15．【答案】10【解析】【解答】解：取ε=20，P(|ξ?80|≥20)≤16202，所以又因?yàn)镋(ξ)=80，所以P(不超過500×0.故答案為：10.【分析】可令ε=20，由題意得出P(|ξ?80|≥20)≤16202=0.0416．【答案】（1）解：設(shè)“甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝”為事件A，“甲以4:1或4:2或4:3獲勝”分別記為事件A1，A2，A3，

“甲前3局比賽均獲勝”為事件B．

則P(A1)=C41×13×(23)4=6435（2）解：設(shè)該校高二年級學(xué)生體能檢測的成績?yōu)閄，則X~N74,P(60<X≤88)=Pμ-2σ<X≤μ+2σ所以P(X<60)=P(X>88)=1所以高二年級學(xué)生體能檢測不合格的人數(shù)約為1000×0.02275≈23人，而231000【解析】【分析】（1）利用條件概率計(jì)算公式即可求得甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率；（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求得全年級不合格人數(shù)總?cè)藬?shù)的百分比，與5%（1）設(shè)“甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝”為事件A，“甲以4:1或4:2或4:3獲勝”分別記為事件A1，A2，“甲前3局比賽均獲勝”為事件B．則P(AP(AP(AP(A)=P(AP(AB)=(P(B|A)=P(AB)所以甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率1386（2）設(shè)該校高二年級學(xué)生體能檢測的成績?yōu)閄，則X~N74,P(60<X≤88)=Pμ-2σ<X≤μ+2σ所以P(X<60)=P(X>88)=1所以高二年級學(xué)生體能檢測不合格的人數(shù)約為1000×0.02275≈23人，而23100017．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.06,0.12,0.18,0.34,0.16,0.08,0.06，樣本平均數(shù)的估計(jì)值μ=0.06×35+0.12×45+0.18×55+0.34×65+0.16×75+0.08×85+0.06×95=64，則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N(64,152)因此P(X>79)=P(X>μ+σ)=所以參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為0.1587×10000=1587.（2）解：由（1）知，μ=64，P(X>64)=1即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生競賽成績在64分以上的概率為12因此隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(3,12)則P(ξ=0)=C30(12)所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P1331數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×1【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出μ，再由正態(tài)分布的對稱性求出P(X>79)，進(jìn)而求出學(xué)生數(shù).（2）由（1）求出P(X>64)，再利用二項(xiàng)分布求出分布列及期望.（1）由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.06,0.12,0.18,0.34,0.16,0.08,0.06，樣本平均數(shù)的估計(jì)值μ=0.06×35+0.12×45+0.18×55+0.34×65+0.16×75+0.08×85+0.06×95=64，則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N(64,152)因此P(X>79)=P(X>μ+σ)=所以參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為0.1587×10000=1587.（2）由（1）知，μ=64，P(X>64)=1即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生競賽成績在64分以上的概率為12因此隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(3,12)則P(ξ=0)