備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第二課時(shí)-求空間角與距離

第二課時(shí)求空間角與距離用空間向量求異面直線所成的角1.(2021h·寧夏銀川高級(jí)中學(xué))在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中點(diǎn),N是棱AC的中點(diǎn),則異面直線A1M與BN所成角的正切值為()A.3 B.1 C.63 D.2.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2AB,E為AA1的中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.1010 B.C.31010 3.如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,則異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.

用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.用空間向量求直線與平面所成的角如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.利用向量求線面角的方法(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線與平面所成的角.[針對(duì)訓(xùn)練]1.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱上到直線A1B與CC1的距離相等的點(diǎn)有3個(gè),記這3個(gè)點(diǎn)分別為E,F,G,則直線AC1與平面EFG所成角的正弦值為()A.2613 B.22613 C.22.(2021·河北秦皇島高三檢測(cè))如圖,△ABC是以∠C為直角的等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為8,DE∥BC,AE∶EC=5∶3,沿DE將△ADE折起使得點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C,MC=23(1)在BD上確定點(diǎn)N的位置,使得MN∥平面ADE;(2)在(1)的條件下,求CN與平面ABD所成角的正弦值.用空間向量求二面角如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),PO=66(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.[針對(duì)訓(xùn)練]1.(2021·河北唐山模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,連接BD,其中DA=DP,BA=BP.(1)求證:PA⊥BD;(2)若DA⊥DP,∠ABP=60°,BA=BP=BD=2,求二面角D-PC-B的正弦值.2.(2021·湖北武漢模擬)如圖所示,多面體是由底面為ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,該直四棱柱的底面為菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,∠BAD=60°.(1)求BG的長(zhǎng);(2)求平面AEFG與底面ABCD所成銳二面角的余弦值.用空間向量求距離角度一求兩點(diǎn)間的距離(線段長(zhǎng))如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=3,點(diǎn)M在棱CC1上,且MD1⊥MA,則當(dāng)△AMD1的面積最小時(shí),棱CC1的長(zhǎng)為()A.322 B.102 C.2利用空間向量求兩點(diǎn)間的距離的基本方法(1)利用A,B兩點(diǎn)間的距離為|AB→(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1,z1),點(diǎn)B(x2,y2,z2),則|AB→|=(角度二點(diǎn)到直線的距離正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E,F分別是AB和CD的中點(diǎn),將正方形沿EF折成直二面角(如圖所示),M是矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn),如果∠MB′E=∠MB′C′,MB′和平面B′C′FE所成的角的正切值為12點(diǎn)A到直線l的距離d=|PA角度三點(diǎn)到平面的距離(2021·福建三明質(zhì)量檢測(cè))如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,若F是DD1的中點(diǎn),則點(diǎn)B1到平面ABF的距離為()A.33 B.C.53 D.利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離的基本方法如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為|BO→|=|[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖,在大小為45°的二面角A-EF-D中,四邊形ABFE,CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則B,D兩點(diǎn)間的距離是()A.3 B.2 C.1 D.32.(2021·河南開封高二檢測(cè))四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分別為PB,PD的中點(diǎn),則點(diǎn)P到直線EF的距離為()A.1 B.22 C.32 3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且