圓與方程知識點(diǎn)

圓與方程知識點(diǎn)演講人：日期：目錄CATALOGUE01圓的基本概念與性質(zhì)02圓的方程及其分類03圓與直線的位置關(guān)系04圓與圓的位置關(guān)系05圓的冪和根軸06圓的綜合應(yīng)用01圓的基本概念與性質(zhì)CHAPTER圓的定義圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。圓的表示方法圓通常用圓心和半徑來表示，如“⊙O，r”表示以O(shè)為圓心、r為半徑的圓；也可以用圓上三點(diǎn)來表示一個圓。圓的定義及表示方法圓的中心，是圓內(nèi)唯一到圓上任意一點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)。圓心從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段長度，通常用r表示。半徑通過圓心并且兩端都在圓上的線段長度，通常用d表示，且d=2r。直徑圓心、半徑和直徑概念010203弧圓上兩點(diǎn)之間的部分。弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。圓心角頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角。弧、弦、圓心角關(guān)系在同圓或等圓中，圓心角相等則它們所對的弧相等，所對的弦也相等；反之亦然?；?、弦、圓心角關(guān)系圓的周長公式C=2πr（C表示圓的周長，π為圓周率，r為半徑）。圓的面積公式S=πr2（S表示圓的面積，π為圓周率，r為半徑）。圓的周長和面積公式02圓的方程及其分類CHAPTER01隱式方程將圓表示為平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合，即(x-a)2+(y-b)2=r2。一般方程表示形式02顯式方程通過代數(shù)變換，將隱式方程轉(zhuǎn)化為y的顯式表達(dá)式，但顯式方程在某些情況下可能不便于表示圓。03一般二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，當(dāng)B2-4AC=0且A=C時，表示一個圓。標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單明了，容易識別圓的圓心和半徑。易于識別在標(biāo)準(zhǔn)方程下，圓心坐標(biāo)、半徑等幾何量一目了然，方便進(jìn)行圓的計(jì)算。方便計(jì)算(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，r為半徑。標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)方程及其特點(diǎn)靈活性參數(shù)方程可以方便地描述圓上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，且通過調(diào)整參數(shù)a、b、r，可以靈活地表示不同位置的圓。參數(shù)表示圓的參數(shù)方程為x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)，其中t為參數(shù)，表示圓上點(diǎn)與圓心連線和x軸的夾角。周期性由于三角函數(shù)sin和cos的周期性，參數(shù)方程描述的圓也具有周期性，即隨參數(shù)t的變化，圓上點(diǎn)會周期性地出現(xiàn)。參數(shù)方程簡介一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)換通過代數(shù)變換，如配方、移項(xiàng)等，可以將一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程。各類方程之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)方程與一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)換通過消去參數(shù)t，可以將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程；反之，也可以通過引入?yún)?shù)t，將一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程。不同表示形式之間的轉(zhuǎn)換對于同一圓，不同表示形式（如一般方程、標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程）之間可以相互轉(zhuǎn)換，以適應(yīng)不同的應(yīng)用需求。03圓與直線的位置關(guān)系CHAPTER直線與圓相交、相切、相離條件直線與圓相交直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，即直線穿過圓。直線與圓有且僅有一個交點(diǎn)，即直線剛好觸碰到圓。直線與圓相切直線與圓沒有交點(diǎn)，即直線在圓的外側(cè)。直線與圓相離切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。應(yīng)用利用切線長定理可以解決與切線相關(guān)的計(jì)算問題，如求切線長、證明切線等。切線長定理及應(yīng)用一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，這條直線將圓分割為兩部分，從交點(diǎn)向圓外引的兩條線段（即切割線）的乘積等于從交點(diǎn)向圓內(nèi)引的線段（即割線）與圓上另一點(diǎn)到該交點(diǎn)的線段之積。切割線定理一條割線與圓相交于兩點(diǎn)，從交點(diǎn)向圓外引的兩條線段的乘積等于這條割線被圓截得的兩條線段之積。割線定理切割線定理和割線定理弦切角等于它所夾的弧所對的圓心角的一半。推論1弦切角等于它所夾的兩條弦所對的圓周角之和的一半。推論201020304弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。弦切角定理弦切角等于它所夾的兩條弦所對的圓心角之和的一半的補(bǔ)角。推論3弦切角定理及其推論04圓與圓的位置關(guān)系CHAPTER兩圓外離兩圓沒有公共點(diǎn)，且一個圓上的所有點(diǎn)到另一個圓的圓心距離都大于兩圓半徑之和。兩圓外切兩圓有且僅有一個公共點(diǎn)，且這個點(diǎn)為兩圓的交點(diǎn)，同時該點(diǎn)到兩圓圓心的距離之和等于兩圓半徑之和。兩圓相交兩圓有兩個不同的公共點(diǎn)，且這兩個點(diǎn)都在兩圓的圓周上。兩圓內(nèi)切兩圓有且僅有一個公共點(diǎn)，且這個點(diǎn)為兩圓的交點(diǎn)，同時一個圓上的所有點(diǎn)到另一個圓的圓心距離都小于兩圓半徑之差。兩圓內(nèi)含一個圓完全包含在另一個圓內(nèi)，且兩圓沒有公共點(diǎn)。兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含條件0102030405圓心距小于兩圓半徑之和但大于兩圓半徑之差：兩圓相交。圓心距大于兩圓半徑之和：兩圓外離。圓心距小于兩圓半徑之差：一個圓在另一個圓內(nèi)部且兩圓內(nèi)含。圓心距等于兩圓半徑之和：兩圓外切或相交（特殊情況下，如兩圓半徑相等時為完全重合）。圓心距等于兩圓半徑之差：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含（特殊情況下，如兩圓半徑相等時為同心圓）。圓心距與兩圓半徑之和或差的關(guān)系方法一若兩圓的方程分別為$x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$和$x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$，則兩圓的公共弦方程為$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0$。方法二若已知兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可通過交點(diǎn)坐標(biāo)求出公共弦所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求出公共弦方程。方法三若已知兩圓的半徑和圓心坐標(biāo)，可通過求解兩圓的交點(diǎn)來得到公共弦方程。首先需要列出兩圓的方程，然后聯(lián)立方程求解交點(diǎn)坐標(biāo)，最后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程即可得到公共弦方程。公共弦方程求解方法05圓的冪和根軸CHAPTER冪的幾何意義冪的等值線是以圓心為圓心、某長度為半徑的圓，或是一條直線（即根軸）。冪的定義在平面上，一點(diǎn)P到圓O的冪定義為該點(diǎn)P到圓心O的距離的平方減去圓的半徑的平方。冪的性質(zhì)對于同一圓上的任意兩點(diǎn)，它們的冪相等；不同圓上但位于同一根軸上的點(diǎn)，對這兩個圓的冪也相等。圓的冪定義及性質(zhì)根軸定義及其性質(zhì)根軸的定義在平面上任給兩不同心的圓，對兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。根軸的性質(zhì)根軸與連心線的關(guān)系根軸是兩圓的等冪點(diǎn)的軌跡，且僅與兩圓的半徑和圓心距有關(guān)；根軸上任意一點(diǎn)到兩圓的冪相等。根軸垂直于兩圓的連心線，且經(jīng)過連心線的中點(diǎn)。通過根軸，可以判斷直線與圓的位置關(guān)系，如直線與圓相切、相交等。解圓與直線的位置關(guān)系利用根軸可以判斷兩圓的位置關(guān)系，如相交、相切、相離等，并求出相交點(diǎn)或切點(diǎn)。解兩圓的位置關(guān)系在給定兩圓的情況下，利用根軸的性質(zhì)可以找到與兩圓相關(guān)的某些線段或角度的最值問題。解相關(guān)最值問題利用根軸解決幾何問題01020306圓的綜合應(yīng)用CHAPTER圓的切線問題利用弦心距、弦長公式求解弦長，或利用弦長與半徑、圓心角的關(guān)系求解。弦長問題弧長及扇形面積問題涉及弧長公式、扇形面積公式的應(yīng)用，以及弧長與圓心角的關(guān)系。涉及切線長的計(jì)算及切線與半徑、圓心角等的關(guān)系。幾何最值問題求解通過給定條件，確定動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，如圓的軌跡、直線的軌跡等。點(diǎn)的軌跡根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，推導(dǎo)出軌跡的方程，如圓的方程、直線的方程等。軌跡方程求解兩個或多個軌跡的交點(diǎn)，涉及方程組的求解和判斷。軌跡的交點(diǎn)軌跡問題探討圓錐曲線的基本性質(zhì)了解橢圓、雙曲線、拋物線的定義、性質(zhì)及其與圓的關(guān)系。圓錐曲線與圓的交點(diǎn)求解圓錐曲線與圓的交點(diǎn)，涉及方程組的求解和判斷。圓錐曲線的切線問題求解圓錐曲線在某一點(diǎn)的切線方程，以及