《電磁場(chǎng)、微波技術(shù)與天線》課件-第1章

第1章矢量分析1.1三種常用的坐標(biāo)系1.2矢量函數(shù)的微積分1.3標(biāo)量函數(shù)的梯度1.4矢量函數(shù)的散度1.5矢量函數(shù)的旋度1.6場(chǎng)函數(shù)的微分算子和恒等式1.7亥姆霍茲定理

1.1三種常用的坐標(biāo)系

1.1.1坐標(biāo)系的構(gòu)成

1.直角坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是x、y、z,如圖1-1-1所示,它們的變化范圍是圖1-1-1直角坐標(biāo)系

空間任一點(diǎn)M(x,y,z)的x坐標(biāo)變量是點(diǎn)M到平面yOz的垂直距離,y坐標(biāo)變量是點(diǎn)M到平面xOz的垂直距離,z坐標(biāo)變量是點(diǎn)M到平面xOy的垂直距離。

過空間任意點(diǎn)的坐標(biāo)矢量記為ex、ey、ez,它們相互正交,而且遵循ex×ey=ez的右手螺旋法則。ex、ey、ez,的方向不隨M點(diǎn)位置的變化而變化,這是直角坐標(biāo)系的一個(gè)很重要的特征。在直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一矢量A可表示為

其中,Ax、Ay、Az分別是矢量A在ex、ey、ez

方向上的投影。

由點(diǎn)M(x,y,z)沿ex、ey、ez方向分別取微分長(zhǎng)度元dx、dy、dz。由x,x+dx;y,y+dy;z,z+dz這六個(gè)面決定一個(gè)直角六面體,它的各個(gè)面的面積元是

體積元是:dτ=dxdydz。

2.圓柱坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱柱坐標(biāo)系)中的三個(gè)坐標(biāo)變量是ρ、φ、z,如圖1-1-2所示。z變量與直角坐標(biāo)系的相同,是點(diǎn)M到xOy平面的垂直距離;ρ是點(diǎn)M到z軸的垂直距離;將點(diǎn)M在xOy平面投影為M',φ是OM'與x軸的夾角。各變量的變化范圍是圖1-1-2柱坐標(biāo)系

過空間任意點(diǎn)M(ρ,φ,z)的坐標(biāo)單位矢量為eρ、eφ、ez,如圖1-1-2所示,它們相互正交,并遵循eρ×eφ=ez

的右手螺旋法則。值得注意的是,除ez外,eρ、eφ

的方向都隨M點(diǎn)位置的變化而變化,但三者之間總是保持上述正交關(guān)系。在M點(diǎn)的任一矢量A可表示為

其中,Aρ、Aφ、Az分別是矢量A在eρ、eφ、ez

方向上的投影。

在點(diǎn)M

(ρ,φ,z)處沿eρ、eφ、ez

方向的長(zhǎng)度元分別是

與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的面積元分別是

體積元是:

3.球坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是r、θ、φ,如圖1-1-3所示,r是點(diǎn)M到原點(diǎn)的直線距離,θ是正方向z軸與連線OM之間的夾角,θ稱為極角,φ與柱坐標(biāo)系的相同,φ稱為方位角。它們的變化范圍是圖1-1-3球坐標(biāo)系

1.1.2三種坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

由圖1-1-4所示的幾何關(guān)系,可直接寫出三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系。圖1-1-4三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

1.直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系

2.直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系

3.柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系

1.1.3三種坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系都有一個(gè)z變量,有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位矢量ez,其他坐標(biāo)矢量都落在xOy平面內(nèi)。因此,這兩種坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量及其關(guān)系可以用圖1-1-5表示出來,這種變換關(guān)系寫成矩陣形式為圖1-1-5直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都有一個(gè)φ變量,有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位矢量eφ,而其他坐標(biāo)矢量都落在過z軸的平面內(nèi)。因此,這兩種坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量及其關(guān)系可以用圖1-1-6表示出來,將這種變換關(guān)系寫成矩陣形式為圖1-1-6柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系和球標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量間關(guān)系要用三維空間圖形才能表示出來,其圖解要復(fù)雜一些。但利用前面得到的坐標(biāo)單位矢量之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系,將式(1-1-17)代入式(1-1-19),將式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到

例1-1-3試判斷下列矢量場(chǎng)E是否為均勻矢量場(chǎng):

(1)在柱坐標(biāo)系中E=eρE1sinφ+eφE1cosφ+ezE2,其中E1、E2都是常數(shù)。

(2)在球坐標(biāo)系中E=erE0,其中E0是常數(shù)。

解均勻矢量場(chǎng)E的定義是:在場(chǎng)中所有點(diǎn)上,E的模處處相等,E的方向彼此平行。只要這兩個(gè)條件中有一個(gè)不符合就稱為非均勻矢量場(chǎng)。

因?yàn)橹挥性谥苯亲鴺?biāo)系中各點(diǎn)的坐標(biāo)單位矢量方向是固定的,而在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的各單位坐標(biāo)矢量的方向隨空間點(diǎn)位置的變化而變化,所以為了判斷場(chǎng)是否均勻,最好將柱、球坐標(biāo)系的矢量轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系的矢量。

(2)E=erE0,雖然這一矢量場(chǎng)在各點(diǎn)的模是一個(gè)常數(shù),但它的方向是er的方向。顯然在不同點(diǎn),er的方向是不同的,所以它不是均勻矢量場(chǎng)。利用式(1-1-22),將球坐標(biāo)單位矢量轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)單位矢量后得

可以看出,θ=0°時(shí),E的方向是沿z軸的;而當(dāng)θ=90°時(shí),則沒有z軸分量,這清楚地說明E在不同點(diǎn)有不同的方向。

1.2矢量函數(shù)的微積分

1.2.1矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若一個(gè)矢量,無論是模還是方向,或兩者都是一個(gè)自變量或是幾個(gè)自變量的函數(shù),則稱其為矢量函數(shù)。設(shè)F(u)是單變量u的矢量函數(shù),矢量函數(shù)F(u)對(duì)u的導(dǎo)數(shù)定義為

這里假定此極限存在。在一般情況下,矢量的增量ΔF不一定與矢量F的方向相同,如圖1-2-1所示,一階導(dǎo)數(shù)dF/du仍然是一個(gè)矢量函數(shù)。逐次求導(dǎo),就可得到F的二階導(dǎo)數(shù)d2F/du2以及更高階導(dǎo)數(shù)。圖1-2-1矢量微分示意圖

在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)單位矢量都是常矢量,其導(dǎo)數(shù)為零。利用式(1-2-4)則有

由此可以得出結(jié)論:在直角坐標(biāo)系中,矢量函數(shù)對(duì)某一坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))仍然是個(gè)矢量,它的各個(gè)分量等于原矢量函數(shù)各分量對(duì)該坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))的矢量和。簡(jiǎn)單地說,只要把坐標(biāo)單位矢量提到微分號(hào)外就可以了。

在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中,由于一些坐標(biāo)單位矢量不是常矢量,在求導(dǎo)數(shù)時(shí),不能把坐標(biāo)單位矢量提到微分符號(hào)之外。在柱坐標(biāo)系中,各坐標(biāo)單位矢量對(duì)空間坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)是:

在球坐標(biāo)系中,各坐標(biāo)單位矢量對(duì)空間坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)是

在柱、球坐標(biāo)系中,求矢量函數(shù)對(duì)坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),必須考慮式(1-2-5)和式(1-2-6)中的各個(gè)關(guān)系式。例如,在柱坐標(biāo)系中,矢量函數(shù)可表示為

E對(duì)坐標(biāo)變量φ的偏導(dǎo)數(shù)是

又如在球坐標(biāo)系中矢量函數(shù)可表示為

E對(duì)坐標(biāo)變量θ的偏導(dǎo)數(shù)為

也就是說,直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)單位矢量ex、ey、ez不是空間位置的函數(shù);而柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)單位矢量eρ、eφ、er、eθ

是隨空間位置變化而變化的,是空間位置的函數(shù)。

1.2.2矢量函數(shù)的積分

矢量函數(shù)的積分,包括不定積分和定積分兩種。例如,已知B(u)是A(u)的一個(gè)原函數(shù),則有不定積分

式中矢量函數(shù)A、B、C也可以是多個(gè)變量的函數(shù),但C不隨u變化。

由于矢量函數(shù)的積分和一般函數(shù)的積分在形式上類似,所以一般函數(shù)積分的基本法則對(duì)矢量函數(shù)積分也都適用。但在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中求矢量函數(shù)的積分時(shí),仍然要注意式(1-2-5)和式(1-2-6)中的關(guān)系,不能在任何情況下都將坐標(biāo)單位矢量提到積分運(yùn)算符號(hào)之外。因?yàn)樵谝话闱闆r下,坐標(biāo)單位矢量可能是積分變量的函數(shù)。例如,對(duì)于在柱坐標(biāo)系中的積分

應(yīng)當(dāng)根據(jù)式(1-1-17)中的關(guān)系,將eρ=ex

cosφ+eysinφ代入后再進(jìn)行積分。此時(shí)由于ex、ey

與坐標(biāo)變量無關(guān),可以提到積分符號(hào)之外,因而得

1.3標(biāo)量函數(shù)的梯度

1.3.1方向?qū)?shù)一個(gè)標(biāo)量場(chǎng),可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u=u(x,y,z)來表示,在下面的討論中,我們都假定u(x,y,z)是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)。方程

隨著C的取值不同,給出一組曲面。在每一個(gè)曲面上的各點(diǎn),雖然坐標(biāo)值x、y、z不同,但函數(shù)值相等,這樣的曲面稱為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。例如,溫度場(chǎng)的等溫面、電位場(chǎng)中的等位面等。式(1-3-1)稱為等值面方程。圖1-3-1等值面示意圖圖1-3-2方向?qū)?shù)推導(dǎo)示意圖

1.3.2梯度

1.梯度的定義

方向?qū)?shù)是函數(shù)u(x,y,z)在給定點(diǎn)沿某個(gè)方向?qū)嚯x的變化率。但是,從標(biāo)量場(chǎng)中的給定點(diǎn)出發(fā),有無窮多個(gè)方向。函數(shù)u(x,y,z)沿其中哪個(gè)方向的變化率最大呢?這個(gè)最大的變化率又是多少呢?為了解決這個(gè)問題,我們首先分析在直角坐標(biāo)系中的方向?qū)?shù)公式式(1-3-3),把式中看做一個(gè)矢量G沿三個(gè)坐標(biāo)方向的分量,表示為

2.梯度的性質(zhì)

(1)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)。在給定點(diǎn),梯度的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向,它的模恰好等于函數(shù)u在該點(diǎn)的最大變化率的數(shù)值。又因函數(shù)u沿梯度方向的方向?qū)?shù)恒大于零,說明梯度總是指向函數(shù)u(x,y,z)增大的方向。

(2)函數(shù)u在給定點(diǎn)沿任意l方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)u的梯度在l方向上的投影。

(3)在任一點(diǎn)M,標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)的梯度垂直于過該M點(diǎn)的等值面,也就是垂直于過該點(diǎn)的等值面的切平面。證明這一點(diǎn)是不難的,根據(jù)解析幾何知識(shí),過等值面M點(diǎn)切平面的法線矢量為

將上式與式(1-3-4)比較,可見法線矢量n剛好等于在點(diǎn)M函數(shù)u(x,y,z)的梯度。因此,在點(diǎn)M,u的梯度垂直于過點(diǎn)M的等值面。

根據(jù)這一性質(zhì),曲面u(x,y,z)=C上任一點(diǎn)的單位法線矢量n0可以用梯度表示,即

3.哈密頓(Hamilton)算子

4.梯度運(yùn)算基本公式

這些公式與對(duì)一般函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則類似。這里僅以式(1-3-21)為例,證明如下:

所以?f(u)=f'(u)?u。

例1-3-2

R表示空間點(diǎn)(x,y,z)和(x',y',z')點(diǎn)之間的距離,符號(hào)?'表示對(duì)x'、y'、z'微分,即

解

1.4矢量函數(shù)的散度

1.4.1通量一個(gè)矢量場(chǎng),可以用一個(gè)矢量函數(shù)F=Fx,y,z()來表示,或用分量表示為

為了形象地描繪矢量場(chǎng)在空間的分布狀況,引入矢量線的概念。矢量線是這樣的一些曲線,線上每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量場(chǎng)的方向。一般說來,矢量場(chǎng)的每一點(diǎn)均有唯一的一條矢量線通過,所以矢量線充滿了整個(gè)矢量場(chǎng)所在的空間。電場(chǎng)中的電力線和磁場(chǎng)中的磁力線等,都是矢量線的例子。

矢量F在場(chǎng)中某一個(gè)曲面S上的面積分,稱為該矢量場(chǎng)通過此曲面的通量,記作

如圖1-4-1所示,在場(chǎng)中任意曲面S上的點(diǎn)M周圍取一小面積元dS,它有兩個(gè)方向相反的單位法線矢量±n0。對(duì)于開曲面上的面元,設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的,則當(dāng)選定繞行l(wèi)的方向后,沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n0方向,如圖n0取為封閉1曲面4的1外所法示線。方對(duì)向于。圖1-4-1矢量場(chǎng)通量

如果S是限定一定體積的閉合面,則通過閉合面的總通量可表示為

若Ψ>0,表示有凈通量流出,這說明S內(nèi)必有矢量場(chǎng)的源,我們稱它為正源;若Ψ<0,表示有凈通量流入,這說明S內(nèi)必有負(fù)源;若Ψ=0,流入等于流出,這時(shí)S內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零,或者S內(nèi)沒有源。例如,靜電場(chǎng)中的正電荷發(fā)出電力線,在包圍它的任意閉合面上的通量為正值;負(fù)電荷吸收電力線,在包圍它的任意閉合面上的通量為負(fù)值;閉合面里的電荷電量的代數(shù)和為零,或無電荷時(shí),閉合面上的通量等于零。

1.4.2散度

1.散度的定義

在連續(xù)函數(shù)的矢量場(chǎng)F中,任一點(diǎn)M的鄰域內(nèi),作一包圍該點(diǎn)的任意閉合面S,并使S所限定的體積Δτ以任意方式趨于零(即縮至M點(diǎn))。取下列極限

這個(gè)極限稱為矢量場(chǎng)F在點(diǎn)M的散度(Divergence),記作divF(讀作散度F)。即

這個(gè)定義與所選取的坐標(biāo)系無關(guān)。divF表示在場(chǎng)中任意一點(diǎn)處,通過包圍該點(diǎn)的單位體積的表面的通量,所以divF可稱為“通量源密度”。

在點(diǎn)M,若divF>0,則該點(diǎn)有發(fā)出的通量的正源;若divF<0,則該點(diǎn)有吸收的通量的負(fù)源;若divF=0,則該點(diǎn)無源。若在某一區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上的矢量場(chǎng)的散度都等于零,則稱該區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)為無源場(chǎng)。

2.散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

根據(jù)散度的定義,Δτ可以是任意形狀,在直角坐標(biāo)系中可以取點(diǎn)M(x,y,z)為中心作一個(gè)無限小的直角六面體,如圖1-4-2所示,各邊長(zhǎng)度分別為Δx、Δy和Δz,Δτ=ΔxΔyΔz。圖1-4-2推導(dǎo)散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

所以,矢量場(chǎng)F在x方向穿出前后兩個(gè)面的凈通量為

另外,還可得到柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表示式分別如下所示。在柱坐標(biāo)系中,散度表式為

而在球坐標(biāo)系中,散度表式為

3.散度的基本運(yùn)算公式

以上各式與所取坐標(biāo)系無關(guān)。在直角坐標(biāo)系中,利用式(1-4-9)可以很容易地證明以上諸式。

1.4.3高斯(Gauss)散度定理

根據(jù)散度的定義,?·F等于空間某一點(diǎn)上,從包圍該點(diǎn)的單位體積內(nèi)穿出的F通量。所以從空間任一體積τ內(nèi)穿出的F通量應(yīng)等于?·F在τ內(nèi)的體積分,即

這個(gè)通量也就是從限定體積的閉合面上穿出的凈通量,所以

這就是高斯散度定理。

它的意義是:任意矢量場(chǎng)F的散度在場(chǎng)中任意一個(gè)體積內(nèi)的體積分等于矢量場(chǎng)F在限定該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的積分。這種矢量場(chǎng)中的積分變換關(guān)系,在電磁場(chǎng)理論中將經(jīng)常用到。

高斯散度定理證明如下:劃分體積τ成n個(gè)單元體積,根據(jù)散度的定義得

上式等號(hào)右邊包含許多個(gè)小的面積分。因相鄰兩單元體積分界面上來自兩邊的凈通量相互抵消,因而總和中只剩下屬于外表面S對(duì)應(yīng)于最外一層面積分的項(xiàng),于是可得式(1-4-17)

所以

可見,除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)(r=0)外,空間各點(diǎn)得電通量密度散度均為0。

這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。

1.5矢量函數(shù)的旋度1.5.1環(huán)量定義:矢量F沿某一閉合曲線(路徑)的線積分,稱為該矢量沿此閉曲線的環(huán)量。記作式中的F是閉合積分路徑上任一點(diǎn)的矢量;dl是該路徑的切向長(zhǎng)度元矢量,它的方向取決于該曲線的環(huán)繞方向;θ是在該點(diǎn)上F與dl的夾角,如圖1-5-1所示。圖1-5-1矢量場(chǎng)的環(huán)量

從式(1-5-1)看出,環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量,它的大小、正負(fù)不僅與矢量場(chǎng)F的分布有關(guān),而且與所取的積分環(huán)繞方向有關(guān)。如果某一矢量場(chǎng)的環(huán)量不等于零,我們就認(rèn)為場(chǎng)中必定有產(chǎn)生這種場(chǎng)的漩渦源。例如在磁場(chǎng)中,沿圍繞電流的閉合路徑的環(huán)量不等于零,電流就是產(chǎn)生磁場(chǎng)的旋渦源。如果在一個(gè)矢量場(chǎng)中沿任何閉合路徑上的環(huán)量恒等于零,則在這個(gè)場(chǎng)中不可能有旋渦源,這種類型的場(chǎng)稱為保守場(chǎng)或無旋場(chǎng),例如靜電場(chǎng)和重力場(chǎng)等。

1.5.2旋度

1.旋度的定義

定義:如圖1-5-1所示,矢量場(chǎng)F中,在任意點(diǎn)M的鄰域內(nèi),取任意有向閉合路徑l,限定曲面為ΔS,取ΔS的單位法向矢量為n0,周界l的環(huán)繞方向與n0方向成右手螺旋關(guān)系,如果不論曲面ΔS的形狀如何,只要ΔS無限收縮于M點(diǎn)時(shí)下列極限存在

從上述定義可以看出,環(huán)量面密度是一個(gè)標(biāo)量,而旋度是個(gè)矢量。矢量場(chǎng)F中點(diǎn)M處的旋度,在任一方向n0上的投影就等于M點(diǎn)以n0為法向的ΔS上的環(huán)量面密度。即

旋度的定義顯示它與坐標(biāo)系無關(guān)。

2.旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式

下面我們利用式(1-5-3)來求解旋度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式。首先計(jì)算旋度的x分量,即取n0=ex,在與x軸垂直的一個(gè)平面上取一個(gè)很小的長(zhǎng)方形環(huán)路,如圖1-5-2所示,環(huán)路的邊長(zhǎng)分別為Δy和Δz,計(jì)算F沿這個(gè)小環(huán)路的線積分,得圖1-5-2推導(dǎo)旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

代入式(1-5-3),其中面積元ΔS=ΔyΔz,因此可得

同理可得

由以上各式便得到旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式為

由上式看出,rotF剛好等于哈密頓算子?與矢量F的矢積,即

旋度在柱坐標(biāo)系中的表示式是:

在球坐標(biāo)系中的表示式是

3.旋度與散度的區(qū)別

(1)一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù),一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。

(2)旋度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系。如果在矢量場(chǎng)所存在的全部空間里,場(chǎng)的旋度處處等于零,則這種場(chǎng)不可能有旋渦源,因而稱它為無旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。散度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與通量源的關(guān)系。如果在矢量場(chǎng)所充滿的空間里,場(chǎng)的散度處處為零,則這種場(chǎng)不可能有通量源,因而被稱為管形場(chǎng)或無源場(chǎng)。后面將會(huì)講到,靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng),而磁場(chǎng)是管形場(chǎng)。

(3)從旋度公式即式(1-5-8)看出,矢量場(chǎng)F的x分量Fx只對(duì)y、z求偏導(dǎo)數(shù),Fy和Fz也類似地只對(duì)與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù),所以旋度描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。而從散度公式即式(149)看出,場(chǎng)分量Fx、Fy、Fz分別對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù),所以散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

4.旋度的基本運(yùn)算公式

1.5.3斯托克斯(Stokes)定理

對(duì)于矢量場(chǎng)F所在的空間中任一個(gè)以l為周界的曲面S,存在以下關(guān)系

這就是斯托克斯定理。它的意義是:任意矢量場(chǎng)F的旋度沿場(chǎng)中任意一個(gè)以l為周界的曲面的面積分,等于矢量場(chǎng)F沿此周界l的線積分。換句話說,?×F在任意曲面S的通量等于F沿該曲面的周界l的環(huán)量。同高斯散度定理一樣,斯托克斯定理表示的積分變換關(guān)系在電磁場(chǎng)理論中也是經(jīng)常要用到的。圖1-5-3斯托克斯定理的證明

上式右端表示(?×F)在面積元ΔSi上的通量,左端表示F在ΔSi的周界Δli上的環(huán)量。曲面S上?×F的環(huán)量,就是把上式兩端分別求和,即

注意上式左端求和時(shí),各面積元之間的公共邊上都經(jīng)過兩次積分,但因公共邊上的F相同而積分元dl方向相反即dli=-dlj,所以兩者的積分值相互抵消。只有曲面S的周界l上的各個(gè)線元的積分值不被抵消,即

式(1-5-18)右端的求和在N趨近無限大時(shí)即為?×F在曲面S上的面積分,表示為

于是得

這就證明了斯托克斯定理。

1.6場(chǎng)函數(shù)的微分算子和恒等式

1.6.1哈密頓一階微分算子及恒等式

我們已經(jīng)在1.3節(jié)中把式(1313)作為直角坐標(biāo)系中哈密頓一階微分算子的定義,即

為了方便,還可補(bǔ)充下面的算子運(yùn)算公式

當(dāng)算子?作用到兩個(gè)函數(shù)(標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù))的乘積上時(shí),如果注意到?的微分性質(zhì)和矢量性質(zhì),可以使一些矢量恒等式的證明大為簡(jiǎn)化。根據(jù)算子?的微分性質(zhì)和矢量性質(zhì)以及分部微分法,不難發(fā)現(xiàn)有下列規(guī)則:

規(guī)則1對(duì)任何?運(yùn)算,可將?看做矢量進(jìn)行恒等變換,所得結(jié)果不變,但在變換時(shí)不可將?后面的函數(shù)搬到?前面(微分時(shí)視為常數(shù)的函數(shù)例外),而在把?前面的函數(shù)搬到后面時(shí),則要注上表示微分時(shí)視為常數(shù)的腳注c。

規(guī)則2如果?后面有兩個(gè)函數(shù)的乘積(數(shù)積、標(biāo)量積或矢量積),那么算式可表示為兩項(xiàng)之和:在一項(xiàng)中,一個(gè)函數(shù)視為常數(shù),不受微分影響;而在另一項(xiàng)中,另一個(gè)函數(shù)視為常數(shù),不受微分影響。

1.6.2二階微分算子及恒等式

1.?×?u≡0

證明:因?yàn)?/p>

所以

結(jié)論是,標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。因?yàn)?u是一矢量函數(shù),所以可得出下面的推論。

推論如果任一矢量函數(shù)的旋度恒等于零,則這個(gè)矢量函數(shù)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。

這也說明,如果僅僅已知一個(gè)矢量場(chǎng)F的旋度,不可能唯一地確定這個(gè)矢量場(chǎng)。因?yàn)?已知?×F=V,如果F1是該方程的一個(gè)解,那么F1+?u也是它的解。

2.?·(?×F)≡0

證明:由直角坐標(biāo)系下的旋度公式可得

結(jié)論是,矢量函數(shù)的旋度的散度恒等于零。因?yàn)?×F仍是一矢量函數(shù),同樣可以得出以下推論。

推論任一矢量函數(shù)的散度恒等于零,則這個(gè)矢量函數(shù)可以用另外一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

這也說明,如果僅僅已知一個(gè)矢量場(chǎng)F的散度,不可能唯一地確定這個(gè)矢量場(chǎng)。因?yàn)?已知?·F=u,如果F1是該方程的一個(gè)解,那么F1+?×A也是它的解。

3.?·?u≡?2u

算子?2表示標(biāo)量函數(shù)的梯度的散度,稱為拉普拉斯(Laplace)算子。?2u讀作拉普拉斯(Laplacian)u。

因?yàn)樵谑噶窟\(yùn)算中,不難看出下列恒等式成立

如果我們將式(1-6-10)中的A換成?算子,即可得到上面證明的三個(gè)恒等式(1-6-7)~式(1-6-9)。因此,可以得到下列規(guī)則。

規(guī)則3對(duì)連續(xù)二重算子(?,?),可將其看成普通矢量進(jìn)行矢量代數(shù)恒等變換,所得結(jié)果不變,但應(yīng)注意,不要把(?,?)后面的函數(shù)搬到任何一個(gè)?的前面來。

4.?2F=?(?·F)-?×(?×F)

證明:由直角坐標(biāo)系下的旋度公式

所以

算子?2作用在標(biāo)量函數(shù)上時(shí),稱為標(biāo)性拉普拉斯算子,表示標(biāo)量函數(shù)的梯度的散度;算子?2作用在矢量函數(shù)上時(shí),稱為矢性拉普拉斯算子。特別要指出的是,只有在直角坐標(biāo)系中,?2F才有式(1-6-13)那樣簡(jiǎn)單的表示式,即與標(biāo)性拉普拉斯算子具有相同的運(yùn)算意義。這是因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)的單位矢