《電磁場、微波技術(shù)與天線》課件-第4章

第4章傳輸線理論4.1引言4.2分布參數(shù)4.3傳輸線方程及其解4.4無耗傳輸線的傳輸特性4.5端接負(fù)載的均勻無耗傳輸線4.6圓圖及其應(yīng)用4.7傳輸線阻抗匹配

4.1引言

相應(yīng)于前文所講述的空間電磁波,我們把沿傳輸線傳播的波稱為導(dǎo)行波,而研究其傳播規(guī)律的理論則稱為傳輸線理論。電路理論和傳輸線理論之間的關(guān)鍵差別在于電尺寸。由于電路理論所面對的電磁波頻率是極低的,其電路尺寸相比其傳輸?shù)牟ㄩL小得多,故整個長度內(nèi)其電壓和電流的幅值和相位可以認(rèn)為是不變的。而傳輸線的尺度則可能為一個波長的幾分之一或幾個波長,顯然這時整個長度內(nèi)的電壓和電流的幅值相位都可能發(fā)生變化。為此,我們定義了長線的概念。

所謂長線就是很長的一段傳輸線。一般認(rèn)為當(dāng)傳輸線物理長度l與電磁波波長λ的比值(稱為電長度)l/λ≥0.1時稱為長線。30km的照明線不能算是長線,因為50Hz的市電的波長是6000km。但一段10cm長的X波段波導(dǎo)卻是地地道道的長線,因為它大約是工作波長的3倍。微波的波長很短,所以看起來并不長的一段傳輸線,其實都算是長線。所以,傳輸線理論有時又稱為長線理論。

傳輸線按其引導(dǎo)電磁波類型的不同可以分為三類:

①TEM或準(zhǔn)TEM波傳輸線,其典型特征是傳輸線都是多導(dǎo)體結(jié)構(gòu),如圖4-1-1中的(a)、(b)、(c)所示;

②TE或TM波傳輸線,其典型特征是傳輸線都是封閉的單導(dǎo)體結(jié)構(gòu),如圖(d)、(e)所示;

③表面波傳輸線,其典型特征是傳輸線是開放結(jié)構(gòu),如圖(f)、(g)所示。圖4-1-1常用的幾種微波傳輸線

4.2分布參數(shù)

如圖4-2-1所示,將(a)圖中均勻無限長線劃分為許多長度為dz的微小分段,每一個微小分段中都含有四種集總元件的電路,如圖(b)所示。其中R0、G0、C0、L0

為單位長度的量,稱之為長線的分布參數(shù),其定義和物理意義如下:圖4-2-1長線及其等效電路

(1)分布電阻R0:單位為歐姆每米(Ω/m),指單位長度線段上的串聯(lián)電阻總值。來源于有限電導(dǎo)率導(dǎo)體的高頻集膚效應(yīng),其值取決于導(dǎo)體電導(dǎo)率σ及導(dǎo)體截面尺寸。對于理想導(dǎo)體,其分布電阻R0=0。

(2)分布電導(dǎo)G0:單位為西門子每米(S/m),指單位長度線段上的并聯(lián)電導(dǎo)總值。來源于導(dǎo)體間填充介質(zhì)的介質(zhì)損耗,其值取決于介質(zhì)材料的介質(zhì)損耗角。對于理想介質(zhì),其分布電導(dǎo)G0=0。

(3)分布電感L0:單位為亨利每米(H/m),指單位長度線段的總串聯(lián)自感。來源于導(dǎo)線間通過的交變電流產(chǎn)生的交變磁場,其值取決于導(dǎo)線的截面尺寸、線間距及介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ。

(4)分布電容C0:單位為法拉每米(F/m),指單位長度線段間總并聯(lián)電容。來源于導(dǎo)線間交變電場產(chǎn)生的電容效應(yīng),其值取決于導(dǎo)線截面尺寸、線間距及介質(zhì)的介電常數(shù)ε。

如果雙導(dǎo)線的分布電感L0=0.9nH/mm,分布電容C0=0.01pF/mm,當(dāng)信號頻率為f=50Hz時,引入的串聯(lián)電抗和并聯(lián)電納分別為

當(dāng)頻率升為f'=5000MHz時,引入的相應(yīng)值為

兩者相比相差了108倍。可見,低頻情形下微不足道的分布參量在微波頻段時已不能再忽略不計了。

若長線的上述分布參數(shù)沿線是均勻分布的,不隨位置而變化,則稱之為均勻傳輸線。如果R0和G0均為零,則稱為無耗傳輸線。

4.3傳輸線方程及其解

對圖421(b)所示電路,將電路理論中基爾霍夫定律應(yīng)用于dz段的等效電路,可導(dǎo)出線上電壓u(z,t)、電流i(z,t)所服從的微分方程,這個方程稱為傳輸線方程。最初是在研究電報線上電壓電流的變化規(guī)律時推導(dǎo)出來的,故又稱為“電報方程”。解此方程便可求得長線上任一點的電壓、電流表示式。

4.3.1傳輸線方程

在圖421所示的Γ型等效電路中,dz段左邊電壓u經(jīng)串聯(lián)阻抗Zdz=(R0+jωL0)dz分壓后其電壓值下降了du;電流i經(jīng)并聯(lián)導(dǎo)納Y

dz=(G0+jωC0)dz分流后其電流減小了di,對其應(yīng)用基爾霍夫定律得到傳輸線方程為

上式兩邊對z再次微分,整理后可得

注意,方程中Z與Y是相互獨立的兩個參量,并非倒數(shù)關(guān)系。

如果令γ2=ZY,則有

式中,γ為傳播常數(shù);α為衰減常數(shù);β為相移常數(shù)。對于無耗傳輸線,由于R0=0、G0=0,則α=0、β=ωL0C0。

如果令

則稱Z0為傳輸線的特性阻抗。

4.3.2傳輸線方程的通解與物理意義

傳輸線方程(4-3-1)是時域方程,對隨時間作正余弦變化的簡諧信號,可采用復(fù)振幅表示法,先拋開時間因子而單獨求解線上的電壓、電流隨z的變化規(guī)律I(z)和U(z)。若欲知電壓、電流隨時間t的變化規(guī)律,則只需將求得的I(z)、U(z)分別乘以時間因子ejωt后再取其實部即可。則式(4-3-1)的復(fù)方程為

兩個方程均為二階常系數(shù)齊次微分方程。其解為

返回時域,電壓波形可表示為

其中,φ1、φ2是復(fù)電壓振幅A1、A2的相位角。A1、A2是待定系數(shù),取決于激勵條件或終端條件。利用電磁場中平面波的傳輸理論可求得傳輸線上的波長和相速為

下面我們討論解的物理意義。式(4-3-4)中U(z)、I(z)都含有波動因子e±γz,這說明電壓U(z)、電流I(z)沿線為一波動波,波動因子e-γz表明其振幅隨傳播距離z增加而按指數(shù)減小,相位隨z的增加而滯后,說明其為沿正z方向傳播的衰減余弦波,稱為入射波;波動因子eγz

表明振幅隨z增加而增大,相位隨z增加而超前,說明其為沿負(fù)z方向傳播的衰減余弦波,稱為反射波,如圖4-3-1所示,則電壓和電流可寫為圖4-3-1傳輸線上的入射波與反射波

例4-3-1已知無耗傳輸線長l=3.25m,特性阻抗Z0=50Ω,負(fù)載阻抗ZL

=75Ω。電源電壓e(t)=500cosωt(V),電源內(nèi)阻Zg=Z0,工作波長λ=1m,如圖4-3-2所示。求沿線任意處的電壓和電流。圖4-3-2例4-3-1用圖

4.4無耗傳輸線的傳輸特性

一般傳輸線的上述解包含了損耗的影響,其傳播常數(shù)和特性阻抗都是復(fù)數(shù)。而在很多實際情形中,傳播線的損耗很小,因而可以忽略,此時其分布電阻R0=0,分布電導(dǎo)G0=0,分布電感L0和分布電容C0不隨坐標(biāo)變化。

1.特性阻抗Z0

由式(434)易見,特性阻抗Z0為電壓入射波Ui(z)與電流入射波Ii(z)之比,或電壓反射波Ur(z)與電流反射波Ir(z)之比取負(fù)值,即

可見特性阻抗是單一行波電壓和電流的比值。Z0與分布參數(shù)的關(guān)系由式(432b)確定。對于無耗線Z0為純實數(shù),即

Z0

的大小完全由長線本身的分布參數(shù),即給定長線的橫向尺寸和周圍所填介質(zhì)的特性所決定,而與信號源及負(fù)載無關(guān),因此長線的特性阻抗是表征長線固有特性的一個重要參量,其L0和C0可用靜態(tài)場方法計算得到。表4-4-1給出了幾種無耗傳輸線的分布參數(shù)計算公式。

2.傳播常數(shù)γ=α+jβ

γ的實部α稱為衰減常數(shù),單位為奈培每米(Np/m)或分貝每米(dB/m),它表示每傳播單位長度后行波振幅衰減為原值的e-α倍;虛部β稱為相移常數(shù),表示行波每傳播單位長度后相位滯后的弧度數(shù),單位為弧度每米(rad/m)。對于無耗線有

因此,行波在無耗線中傳播時其振幅不衰減。

3.相速度vp

對于無耗線,由式(436b)和式(4-4-2)得

將表4-4-1中的數(shù)據(jù)代入上式有

其中,c為光速;εr為行波所處介質(zhì)中的相對介電常數(shù);對于非鐵磁介質(zhì),一般有μr

=1。式(4-4-3)描述了任一無耗介質(zhì)中無色散波的波速與光速之間的關(guān)系。

4.相波長λp

對于無耗線,由式(436b)和式(4-4-3b)得

其中,λ0為信號源波長。式(4-4-4)描述了任一無耗介質(zhì)中無色散波的波長與自由空間中電磁波波長的關(guān)系。

例4-4-1某同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間填充空氣時單位長度電容為66.7pF/m,求其特性阻抗;如果在此同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間填充聚四氟乙烯(εr

=2.1),求解此時的特性阻抗、頻率為300MHz時的相速度與相波長。

解由式(4-4-3)及式(4-4-1)有

真空時相速度為vp=c=3×108m/s,故有

填充介質(zhì)后有

4.5端接負(fù)載的均勻無耗傳輸線

4.5.1波的反射現(xiàn)象圖4-5-1為端接任意負(fù)載阻抗ZL的無耗傳輸線,坐標(biāo)原點建立在負(fù)載端,我們已經(jīng)知道,行波的電壓和電流之比是特性阻抗Z0,但當(dāng)負(fù)載阻抗ZL≠Z0時,負(fù)載上的電壓和電流之比應(yīng)是ZL。因此,產(chǎn)生適當(dāng)振幅的反射波是可以預(yù)期的。圖4-5-1傳輸線終端條件

1.反射系數(shù)

為符合新的坐標(biāo)系,用“-z”代替“z”,用Ui0和Ur0表示z=0處入射波和反射波振幅,式(434a)可改寫為如下形式:

因此在z=0處,必然有

從式(4-5-2a)中也可以看出,只有當(dāng)ΓL=0時,才不會有反射波,此時負(fù)載阻抗ZL=Z0,這種負(fù)載稱為匹配負(fù)載,工作狀態(tài)稱為行波狀態(tài);當(dāng)ΓL=1時,反射波振幅與入射波振幅相等,我們稱之為駐波狀態(tài)或全反射狀態(tài);當(dāng)0<ΓL<1時,線上既有駐波成分也有行波成分,我們稱之為行駐波狀態(tài)。4.5.2節(jié)中將對此進(jìn)行詳細(xì)分析。

2.駐波比與行波系數(shù)

如果負(fù)載是匹配的,線上載行波,故線上任一點電壓幅值為常數(shù);如果負(fù)載失配,反射波的存在會導(dǎo)致線上存在駐波成分,這時線上的電壓幅值不再是常數(shù)。由式(4-5-3)得

其中,φL為負(fù)載反射系數(shù)ΓL的相位。這個結(jié)論表明,電壓幅值沿線隨z起伏,當(dāng)φL-2βz=2nπ時,ej(φL-2βz)=1,此時取得電壓最大值,稱為電壓波腹值:

φL-2βz=(2n±1)π時,ej(φL-2βz)=-1,此時取得電壓最小值,稱為電壓波節(jié)點:

相應(yīng)電流也有同樣規(guī)律,不過正好反過來。由式(4-5-3)得,當(dāng)電壓取得波腹點時,電流取得波節(jié)點;電壓取得波節(jié)點時,電流取得波腹點。

有時也會用到行波系數(shù),其定義為沿線電壓Umin和Umax之比:

當(dāng)負(fù)載失配時,一部分功率因反射波的存在而損失掉,我們稱之為“回波損耗”,其定義為

4.輸入阻抗

定義沿線任意點z處的輸入阻抗為該點電壓與電流的比值。從式(4-5-8)可以看出,線上的平均功率是常數(shù),但式(4-5-4)表明電壓的振幅隨z的位置變化而變化,故線上任一點的輸入阻抗必定隨位置變化而變化。則由式(4-5-3)有

將上式化簡,我們可以得出兩個很重要的結(jié)論:

可見,如同電壓幅值變化規(guī)律一樣,輸入阻抗也有以下變化規(guī)律:當(dāng)φL-2βz=2nπ時,ej(φL-2βz)=1,此時輸入阻抗取得最大純阻為

當(dāng)φL-2βz=(2n±1)π時,ej(φL-2βz)=-1,此時輸入阻抗取得最小純阻為

由此可知,相鄰最大純阻之間的距離為2π/2β=λ/2;最大值與相鄰最小值之間的距離是π/2β=λ/4,其中λ是傳輸線上的波長。我們稱之為λ/4變換性與λ/2重復(fù)性。

例4-5-1無耗傳輸線長l=3.25m,相波長λp=1m,特性阻抗Z0=50Ω,終端接負(fù)載阻抗ZL=100Ω,求負(fù)載處反射系數(shù)、線上的駐波比、始端輸入阻抗、負(fù)載到第一個電壓最小值和最大值處的距離lmin和lmax。

解始端至終端距離為3.25個電長度,即λ/4,則負(fù)載反射系數(shù)

駐波比

4.5.2傳輸線的三種工作狀態(tài)

1.行波狀態(tài)

長線為半無限長或負(fù)載阻抗等于長線特性阻抗,即ZL=Z0時,入射波功率被負(fù)載全部吸收,即負(fù)載與長線相匹配,ΓL=0。

其沿線電壓、電流的瞬時分布和振幅分布曲線如圖4-5-2所示。其特點為:

(1)沿線只有入射的行波而沒有反射波。

(2)入射波的能量全為負(fù)載所吸收,故傳輸效率最高。

(3)沿線上任意點的輸入阻抗等于線的特性阻抗而與離負(fù)載的距離無關(guān),參見式(4-5-10)。

(4)沿線電壓和電流的振幅值不變。

(5)電壓、電流的時空相位ωt-βz始終保持一致,隨z增加而連續(xù)滯后。

圖4-5-2行波電壓、電流瞬時分布與振幅分布

綜上所述,長線終端無論是短路、開路或是純電抗,終端都將產(chǎn)生全反射,沿線電壓、電流呈駐波分布。其特性如下:

(1)駐波波腹值為入射波幅值的兩倍,波節(jié)值恒為零。短路線終端為電壓波節(jié),電流波腹;開路線終端為電壓波腹,電流波節(jié);接純電抗時,終端既非波腹也非波節(jié)(當(dāng)終端為純感抗時,離開負(fù)載第一個出現(xiàn)的是電壓波腹點;當(dāng)終端為純?nèi)菘箷r,離開負(fù)載第一個出現(xiàn)的是電壓波節(jié)點)。

(2)沿線同一位置處電壓、電流的時空相位關(guān)系均為π/2,所以駐波狀態(tài)只能儲存能量而不能傳輸能量。

(3)沿線任一處的輸入阻抗為純電抗,具有λ/4變換性與λ/2重復(fù)性。不同長度的短路線、開路線可分別等效為電感、電容、串聯(lián)諧振回路和并聯(lián)諧振回路。

終端短路、開路情況雖然不能用以傳輸能量,但在某些情況下還是非常有用的。由上面分析可知,其輸入阻抗為純電抗,故可用來等效不能用于微波頻率的集總電感和集總電容;任何電抗都是沒有損耗的,故可以用來制作諧振單元和調(diào)配單元。下面我們舉兩個例子來說明它們的應(yīng)用。

例4-5-2開路線或短路線作濾波電路。如圖4-5-3所示,雷達(dá)發(fā)射機輸出的基波信號波長為λ1,諧波波長為λ2,試分析當(dāng)l1和l2滿足什么關(guān)系時,能保留λ1信號濾除λ2信號。圖4-5-3例4-5-2用圖

解欲保留λ1信號濾除λ2信號,則AA'并聯(lián)支節(jié)的輸入阻抗Zin對λ1信號應(yīng)為無窮大,對λ2信號應(yīng)為0。

例4-5-3如圖4-5-4為雷達(dá)收發(fā)開關(guān)示意圖,試分析其工作原理。開關(guān)管的作用是,當(dāng)強信號通過時,它就工作,處于短路狀態(tài);弱信號時不工作,處于開路狀態(tài)。圖4-5-4例4-5-3用圖

解發(fā)射機發(fā)射信號時,強信號使兩個開關(guān)管都工作,AA'和DD'面短路,這時AB段和DC段為λ/4短路線,對主傳輸線無影響,發(fā)射信號能順利通向天線。由于DD'短路,發(fā)射信號將不能進(jìn)入接收機。

天線接收信號時,回波信號弱不能使開關(guān)管工作,兩個開關(guān)管都為開路狀態(tài)。這時AB段為λ/4開路線,使BB'面短路,又因BC段長為λ/4,故從CC'面向發(fā)射機看入的輸入阻抗為無窮大,這樣接收信號不能進(jìn)入發(fā)射機,而順利通向接收機。

3.行駐波狀態(tài)(部分反射狀態(tài))

若傳輸線的負(fù)載ZL≠Z0,且又不是開路、短路或純電抗性元件,傳輸線上會產(chǎn)生部分反射波。從前面的分析可知駐波的波節(jié)點是由于反射波和入射波反相,振幅相等,互相抵消而形成;波腹點是由于入射波和反射波同相,振幅相等,互相疊加而形成。因反射波振幅小于入射波振幅,波節(jié)點處入射波與反射波不能完全抵消,因此波節(jié)點不為零。同樣波腹點處也不能達(dá)到入射波振幅的兩倍,故行駐波兼有行波與駐波的特點。

行駐波時,線上任一點的電壓和電流可表示為

由此可見,當(dāng)2βz-φL=2nπ(n=0,1,2,…)時,將出現(xiàn)電壓波腹點、電流波節(jié)點,且電壓最大值、電流最小值分

知道了沿線電壓和電流波腹點與波節(jié)點的位置和大小,即可畫出行駐波狀態(tài)下的沿線輸入阻抗、電壓和電流的分布曲線,圖4-5-5為不同負(fù)載時它們的曲線,讀者可以自行比較。圖4-5-5終端接任意負(fù)載時沿線電壓、電流及阻抗分布

4.6圓圖及其應(yīng)用

在涉及高頻傳輸線的工程中,經(jīng)常遇到如下三類問題:第一,由負(fù)載求ρ、Γ(z)、Zin(z);第二,由實測的ρ、Γ(z)和駐波相位lmin求Zin(z)或ZL等;第三,在前兩個問題中同時解決阻抗的匹配。這些問題可以由前面所得出的公式進(jìn)行求解,但是這些計算往往是十分煩瑣的復(fù)數(shù)運算。因此,在滿足一定精度的情況下,在實際中多采用圖解法。阻抗及導(dǎo)納圓圖就是最方便的一種圖解法。

Γ(z)一般為復(fù)數(shù),故可表示為

其中

圖4-6-1阻抗圓圖

為了解反射系數(shù)的相角與線長的關(guān)系,下面考察圖4-6-2中在負(fù)載處的反射系數(shù)Γ2與離負(fù)載l處的反射系數(shù)Γ(l)的相位關(guān)系。

任一點處的反射系數(shù)可表示為圖4-6-2線上的反射系數(shù)

由上式可見,當(dāng)觀察點由負(fù)載處沿線向電源方向移動l距離時,反射系數(shù)的相角較負(fù)載處滯后了2βl。即當(dāng)觀察點沿傳輸線向電源方向移動時,在圓圖中應(yīng)沿等Γ圓向其相角減小的方向移動,即順時針方向移動。反之,如果觀察點由電源向負(fù)載移動時,在圓圖中應(yīng)按反時針方向移動。故通常在圓圖的單位圓外邊分別標(biāo)出“向電源方向”和“向負(fù)載方向”的兩個標(biāo)度。

4.6.3導(dǎo)納圓圖

在實現(xiàn)匹配的方法中,常在傳輸線中并聯(lián)某一匹配元件,遇到這類問題時采用導(dǎo)納進(jìn)行計算更為方便,因為并聯(lián)支路的導(dǎo)納可以直接相加。與阻抗圓圖相對應(yīng)的又是納圓圖。

由歸一化輸入導(dǎo)納與歸一化輸入阻抗的關(guān)系式可知

圖4-6-3

4.6.4圓圖應(yīng)用舉例

阻抗圓圖和導(dǎo)納圓圖常應(yīng)用于下列問題的計算:

(1)由負(fù)載ZL求線上的駐波比ρ或反射系數(shù)Γ(z)和輸入阻抗Zin(z)。

(2)由負(fù)載ZL求電壓駐波最大點及最小點離負(fù)載的距離(用lmax和lmin表示)。

(3)由駐波比ρ及距離負(fù)載ZL的第一個最小點的距離lmin求負(fù)載阻抗ZL。

(4)阻抗與導(dǎo)納的互換和求復(fù)數(shù)的倒數(shù)。

(5)由已知傳輸線的特性阻抗Z0和負(fù)載阻抗ZL進(jìn)行阻抗匹配的計算。

例4-6-1如圖4-6-4所示,求輸入阻抗Zin(z)和駐波比ρ。已知傳輸線的特性阻抗Z0=50Ω,負(fù)載阻抗ZL=50+j50Ω。求離負(fù)載l=0.25λ處的輸入阻抗Zin(z)和駐波比ρ。圖4-6-4例4-6-1用圖

例4-6-2如圖4-6-5所示,求電壓駐波最大點、最小點的位置及反射系數(shù)ΓL。已知傳輸線的特性阻抗Z0=50Ω,負(fù)載阻抗ZL

=50+j50Ω。圖4-6-5例4-6-2用圖

例4-6-3如圖4-6-6所示,求負(fù)載阻抗。已知傳輸線的特性阻抗Z0=50Ω,當(dāng)線的終端接入ZL

時測得線上的駐波比為ρ=2,當(dāng)線的末端短路時,電壓最小點往負(fù)載方向移動了0.15λ。圖4-6-6例4-6-3用圖

例4-6-4如圖4-6-7所示,求阻抗對應(yīng)的導(dǎo)納或復(fù)數(shù)的倒數(shù)。已知傳輸線的特性阻抗Z0=50Ω,長度l=λ/4,負(fù)載阻抗ZL=50+j50Ω。求始端的輸入阻抗。圖4-6-7例4-6-4用圖

4.7傳輸線阻抗匹配

4.7.1阻抗匹配的概念阻抗匹配是長線理論的一個重要概念。對于由信號源、長線及負(fù)載所組成的傳輸系統(tǒng),為了提高傳輸效率,保持信號源工作的穩(wěn)定性以及提高長線的功率容量,希望信號源給出最大功率,同時負(fù)載吸收全部入射波功率。前者要求信號源內(nèi)阻與長線輸入阻抗實現(xiàn)