高中數(shù)學復習專題19 導數(shù)綜合（學生版）

專題19導數(shù)綜合一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．2．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．2．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．3．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．4．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．一、恒成立和有解問題思路一覽設函數(shù)的值域為或，或或中之一種，則①若恒成立（即無解），則；②若恒成立（即無解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無解），則；⑥若無解（即有解），則．【說明】（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關，另外要注意①②③④中前后等號的取舍?。炊它c值的取舍）二、分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當?shù)闹涤锌赡苋〉剑闹狄欢ú粸?時，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉化法．（2）恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點是必然成立的，應該考慮先去掉這一部分或端點，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】三、其他恒成立類型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)四、其他恒成立類型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立類型三①，；②，；③，；④，．六、構造函數(shù)解不等式解題思路利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.七、構造函數(shù)解不等式解題技巧求解此類題目的關鍵是構造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導函數(shù)的結構形式，下面是常見函數(shù)的變形模型1.對于，構造模型2.對于不等式，構造函數(shù).模型3.對于不等式，構造函數(shù)拓展：對于不等式，構造函數(shù)模型4.對于不等式，構造函數(shù)模型5.對于不等式，構造函數(shù)拓展：對于不等式，構造函數(shù)模型6.對于不等式，構造函數(shù)拓展：對于不等式，構造函數(shù)模型7.對于，分類討論：（1）若，則構造（2）若，則構造模型8.對于，構造.模型9.對于，構造.模型10.（1）對于，即，構造．對于，構造．模型11.（1）（2）一、解答題1．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．2．（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．3．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．4．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的，使恒成立，則實數(shù)的取值范圍.5．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，證明：在上有3個零點.6．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實數(shù)a的值(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．7．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當時，證明：．(2)若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請說明理由．8．（2024·四川南充·模擬預測）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.9．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點，求.10．（2024·北京·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)求證：．（且）11．（2024·四川自貢·三模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點，函數(shù)在上的零點為．證明：．12．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù).(1)當時，求的最小值；(2)①求證：有且僅有一個極值點；②當時，設的極值點為，若.求證：13．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若是的兩個極值點，證明：．14．（2024·北京·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時；（?。┣笄€在點處的切線方程；（ⅱ）求零點的個數(shù)；(2)當時，直接寫出a的一個值，使得不是的極值點，并證明.15．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)，若的最小值為0，(1)求的值;(2)若，證明:存在唯一的極大值點，且.16．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：．17．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，滿足.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.18．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線的斜截式方程；(2)當時，求出函數(shù)的所有零點；(3)證明：.19．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點個數(shù).20．（2024·廣東茂名·一模）設函數(shù)，.(1)當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（2024·青海·模擬預測）已知函數(shù)（）.(1)當時，求的最值；(2)當時，證明：對任意的，，都