現(xiàn)代控制系統(tǒng)(十一版)

現(xiàn)代控制系統(tǒng)（十一版）

第一章控制系統(tǒng)導(dǎo)論

1、實現(xiàn)高效的設(shè)計過程的主要途徑是參數(shù)分析和優(yōu)化。

參數(shù)分析的基礎(chǔ)是：（1）辨識關(guān)鍵參數(shù)；（2）構(gòu)建整個系統(tǒng)；（3）

評估系統(tǒng)滿足需求的程度。這三步是一個循環(huán)迭代的過程。一旦確定

了關(guān)鍵參數(shù)，構(gòu)建了整個系統(tǒng)，設(shè)計師就可以在此基礎(chǔ)上優(yōu)化參數(shù)。

設(shè)計師總是盡力辨識確認有限的關(guān)鍵參數(shù)，并加以調(diào)整。

2、控制系統(tǒng)設(shè)計流程（重要）

①確定控制目標(biāo)和受控變量，并初步定義（確定）系統(tǒng)性能指

標(biāo)設(shè)計要求和初步配置結(jié)構(gòu)；

②系統(tǒng)定義和建模；

③控制系統(tǒng)設(shè)計，全系統(tǒng)集成的仿真和分析。（控制精度要求

決定了測量受控變量的傳感器選型）；

④設(shè)計規(guī)/設(shè)計要求規(guī)定了閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)該達到的性能，通常包

括：（1）抗干擾能力；（2）對指令的響應(yīng)能力；（3）產(chǎn)生使用執(zhí)行機

構(gòu)驅(qū)動信號的能力；（4）靈敏度；（5）魯棒性等方面的要求。

⑤首要任務(wù)：設(shè)計出能夠達到預(yù)期控制性能的系統(tǒng)機構(gòu)配置

（傳感器、受控對象、執(zhí)行機構(gòu)和控制器）。其中執(zhí)行機構(gòu)的選擇與

受控對象和變量有關(guān)，控制器通常包含一個求和放大器（框圖中的比

較器），用于將預(yù)期響應(yīng)與實際響應(yīng)進行比較，然后將偏差信號送入

另一個放大器。

⑥調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，以便獲得所期望的系統(tǒng)性能。

⑦設(shè)計完成之后，由于控制器通常以硬件的形態(tài)實現(xiàn)，還會出

現(xiàn)各硬件之相互干擾的現(xiàn)象。進行系統(tǒng)集成時，控制系統(tǒng)設(shè)計必須考

慮的諸多問題，充滿了各種挑戰(zhàn)。

3、分析研究動態(tài)系統(tǒng)的步驟為：

①定義系統(tǒng)及其元件；

②確定必要的假設(shè)條件并推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型；

③列寫描述該模型的微分方程；

④求解方程（組），得到所求輸出變量的解；

⑤檢查假設(shè)條件和多得到的解；

⑥有必要，重新分析和設(shè)計系統(tǒng)。

4、中英文術(shù)語和概念

Automation自動化

Closed-loopfeedbackcontrolsystem閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)

Complexityofdesign設(shè)計的復(fù)雜性

Controlsystem控制系統(tǒng)

Design設(shè)計

Designgap設(shè)計差弄

Engineeringdesign工程設(shè)計

Feedbacksignal反饋信號

Flyballgovernor飛球調(diào)節(jié)器

Hybridfuelautomobile混合動力汽車

Mechatronics機電一體化系統(tǒng)

Multivariablecontrolsystem多變量控制系統(tǒng)

Negativefeedback負反饋

Open-loopcontrolsystem開環(huán)控制系統(tǒng)

Optimization優(yōu)化

Plant受控對象

Positivefeedback正反饋

Process受控過程

Productivity生產(chǎn)率

Risk風(fēng)險

Robot機器人

Specification設(shè)計規(guī)

Synthesis綜合

System系統(tǒng)

Trade-off折中處理

第二章系統(tǒng)數(shù)學(xué)模

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型微分方程（組）非線性模型區(qū)域（點）線性化拉

普拉斯變換合理假設(shè)相似變量相似模型線性模型線性

疊加原理

注：線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次行。。。

一、“小信號”假設(shè)/線性近似處理思想：（重要）

①找到非線性模型的正常工作點（X1,x2,x3,…?.）;

②對工作點x1,x2,x3,…?.）進行（多元）泰勒級數(shù)展開;

③用工作點的切線方程代替非線性模型；

④在工作點運用線性近似處理具有相當(dāng)高的精度。

例子：單擺的力矩和角度函數(shù)關(guān)系。

模型T=MgLsin（O）經(jīng)過線性化得到T=MgL8,在?45°到45°之間

的近似精度非常高，在±30°圍，線性模型響應(yīng)與實際非線性響應(yīng)的

誤差小于5%。

二、拉普拉斯變換（重要）

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)特征方程一一決定了系統(tǒng)時間響應(yīng)的主要特征

極點、零點----都是特殊的頻率點

零極點分布圖刻畫了系統(tǒng)時間響應(yīng)的瞬態(tài)特性。。

阻尼系數(shù)、固有（自然）頻率

拉普拉斯變換對留數(shù)定理（對于特征方程階數(shù)較高或存

在多組復(fù)共輾極點時很有效）

原理：能夠用相對簡單的代數(shù)方程取代發(fā)雜的微分方程,

從而簡化方程的求解過程。

注意：進行拉氏變換時要明確變量的初始條件

1.物理系統(tǒng)的線性化近似，為拉普拉斯變換創(chuàng)造了應(yīng)用空間。

2.利用拉普拉斯變換求解動態(tài)系統(tǒng)時域響應(yīng)的主要步驟：

①建立微分方程組；

②求微分方程（組）的拉普拉斯變換；

③對感興趣的變量求解代數(shù)方程，得到它的拉普拉斯變換;

④求解感興趣的變量的拉普拉斯逆變換。

注意：如果線性微分方程中的各項都對變換積分收斂，則存在

拉普拉斯變換。。

3.f（t）為物理可實現(xiàn)時域信號

8

拉氏變換定義式：F（5）=J/⑺/"力=

0

+St

拉氏逆變換定義：/（，）=1fF{s}eds

可以將拉普拉斯變量s看做微分算子即：s=d/dt；

積分算子則可以理解為：g三1力

4、在進行求解拉普拉斯反變換時，需要對拉普拉斯變換式進行部

分分式分解，與典型的拉氏變換公式對應(yīng)。在系統(tǒng)分析和設(shè)計過程中,

這中方法特別有用，分解后系統(tǒng)的特征根及其影響就一目了然。

5、實際應(yīng)用中我們總是希望能夠得到（實行了反饋控制后）系統(tǒng)

響應(yīng)y（t）的穩(wěn)態(tài)值或終值，這需要用到終值定理：liiny（/）=liinsY（s）

s->0

終值定理成立的條件是：Y（s）不能在虛軸上和右半平面上存在

極點，也不能在原點出存在多重極點。

6、在S平面的左半平面中，極點S離虛軸越遠，系統(tǒng)瞬態(tài)階躍響

應(yīng)的衰減速度越快。大部分系統(tǒng)都有多對共輾復(fù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)的

特性由所有極點共同確定，而各個極點響應(yīng)模態(tài)的幅度（強度）則由

留數(shù)表示。

三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（傳遞函數(shù)的定義只適合于線性系統(tǒng)）

線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義：當(dāng)兩個變量的初始值都假定為。時（即

0初始條件），輸出變量的拉氏變換與輸入變量的拉氏變換之比。。傳

遞函數(shù)表征了系統(tǒng)（或元件）的動態(tài)性能「

注意：非定常系統(tǒng)，或稱為時變系統(tǒng)，至少有一個系統(tǒng)參數(shù)隨時間變

化，因而可能無法運用拉普拉斯變換。

1、完整的輸出響應(yīng)包括：零輸入響應(yīng)（由初始狀態(tài)決定）和由輸

入信號作用激發(fā)的零狀態(tài)響應(yīng)。（包括瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）

2、獲得輸出的拉氏變換后，展開成部分分式，根據(jù)特征方程、初

始狀態(tài)、輸入信號分別得到相應(yīng)的拉氏反變換，進而得到瞬態(tài)響應(yīng)和

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

3、了解運算放大器的突出特性、了解反相放大器電路原理。。掌

握運算放大器的特性對于分析典型電路的傳遞函數(shù)非常有用！??！

4、掌握雙質(zhì)點質(zhì)量一一彈簧一一阻尼機械系統(tǒng)和雙節(jié)點電容一

一電感——電阻電路模型（電流源）的相似性。。

5、掌握直流電機的傳遞函數(shù)（推導(dǎo)過程和思路、通過傳遞函數(shù)、

模型公式畫出控制方框圖）------------重要

①磁場控制方式：電樞電流為常數(shù)，通過改變勵磁電流If

來實現(xiàn)對轉(zhuǎn)矩的線性控制?！哂锌捎^的功率放大能力。。

②電樞控制方式：勵磁電流為常數(shù)，通過改變電樞電流來

實現(xiàn)對轉(zhuǎn)矩的線性控制。

③電機適合用于不需要快速響應(yīng)且功率要求相對較低的場

合。

④驅(qū)動大型負載則需要利用液壓原理工作的執(zhí)行機構(gòu)。。

6、液壓執(zhí)行機構(gòu)（液壓閥）的傳遞函數(shù)（液壓閥、液壓泵（馬達））

①通過移動閥芯來改變活塞的運動速度和方向；

②通過一個小功率的輸入位移輸出一個大功率的位移輸

出；

③流量與輸入位移和活塞兩端的壓差有關(guān)；

④液壓閥的傳遞函數(shù)與直流電機的傳遞函數(shù)在形式上相

同?。。　匾?/p>

注意：當(dāng)液壓執(zhí)行機構(gòu)工作在高壓下，而且要求有快速響應(yīng)時，

就必須考慮液體自身的壓縮變形可能產(chǎn)生的影響oOO

7、總結(jié)：

傳遞函數(shù)非常重要?。?！它提供了一種十分有用的關(guān)于系統(tǒng)元件

的數(shù)學(xué)描述。通過傳遞函數(shù)在S平面的零極點分布，可以確定系

統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，它是動態(tài)系統(tǒng)建模的得力工具。。最好是能熟

練掌握典型電路、典型電氣元件、典型液壓元件和典型機械部件

的傳遞函數(shù)?。。?！!P50——P52O

四、方框圖模型

1、控制系統(tǒng)著眼于對特定變量的控制，必須區(qū)分控制變量和受控

變量。

2、矩陣形式特別適用于研究復(fù)雜的多變量系統(tǒng)。

3、方框圖化簡有某些前提條件：比如方框串聯(lián)時，方框的傳函可

直接相乘，這種簡化的前提是第一個方框的負載效應(yīng)可以忽略不計?。?/p>

4、閉環(huán)傳遞函數(shù)非常重要，可以描述許多實際的控制系統(tǒng)。

5、方框圖化簡的基本等效變換規(guī)則：

D保證每一條支路上的傳函不變??！

2）化簡時不要讓反饋點穿越比較點！！

1.合并串聯(lián)方框

2.相加點（比較點）后移、前移

3.分支點（反饋或前饋點）后移、前移

4.消去反饋回路

6、傳遞函數(shù)的分子應(yīng)該是連接輸入R（s）到輸出Y（s）的前饋

串聯(lián)元件傳遞函數(shù)之積。分母則是1減去所有回路傳遞函數(shù)之和。。

超級經(jīng)典的總結(jié)??！!

五、信號流圖模型：無須對流圖進行化簡和變換，就可以利用流圖增

益公式方便的給出系統(tǒng)變量間的信號傳遞關(guān)系。

1、信號流圖有節(jié)點及連接節(jié)點的有向線段構(gòu)成，是一組線性關(guān)系

的圖解表示。特別適用于反饋控制系統(tǒng)。

2、記住梅森信號流圖增益公式?。。∷嵌糠治鰪?fù)雜（反饋）系

統(tǒng)的一種十分便捷的工具。

3、根據(jù)傳函方程組寫出控制方框圖甚至信號流圖很重

要。。。

六、控制系統(tǒng)設(shè)計軟件進行系統(tǒng)仿真

MATALB控制系統(tǒng)工具箱或者LabVIEWMathScript

掌握MATLAB控制類函數(shù)用法：rootspolyconvpolyvaltf

pzmappolezeroseriesparallelfeedbackminreal

stepooo

1、實際物理系統(tǒng)中，極點的個數(shù)必須大于或等于零點的個數(shù)。

2、利用series（串聯(lián)）parallel（并聯(lián)）feedback（反饋）

可以完成多回路的系統(tǒng)方框圖的化簡。

3、直接化簡后得到的結(jié)果稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)并不合適，嚴(yán)格意義

上講：傳遞函數(shù)是經(jīng)過零——極點對消（即：消去結(jié)果分子分母的公

因式）之后的輸入一一輸出關(guān)系描述，此時才能稱為真正意義上的傳

遞函數(shù)。函數(shù)minreal——完成零極點對消。。

七、中英文術(shù)語和概念

Actuator執(zhí)行結(jié)構(gòu)

assumption假設(shè)條件

Blockdiagram方框圖

Characteristicequation特征方程

Closed-looptransferfunction閉環(huán)傳遞函數(shù)

Criticaldamping臨界阻尼

dampedoscillation阻尼振蕩

dampingratio阻尼系數(shù)

DCmotor直流電機

Differentialequation微分方程

errorsignal偏（誤）差信號

Finalvaluetheorem終值

homogeneity齊次性

Laplacetransform拉普拉斯變換

linearapproximation線性近似

Linearsystem線性系統(tǒng)

linearized線性化

Masonlooprule梅森增益公式

mathematicalmodel數(shù)學(xué)模型

Naturalfrequency自然（固有）頻率

necessarycondition必要條件

Overdamped過阻尼

Pole極點

Principleofsuperposition疊力口原理

referenceinput參考輸入

Residues留數(shù)

signal-flowgraph信號流圖

Simulation仿真

steadystatevalue穩(wěn)態(tài)值

S-planeS平面

Taylorseries泰勒級數(shù)

Timeconstant時間常數(shù)

transferfunction傳遞函數(shù)

Underdamped欠阻尼

unityfeedback單位反饋

Zero零點

總結(jié)：第2章研究了負反饋系統(tǒng)的分子和設(shè)計方法。通過拉普拉斯變

換，可以將系統(tǒng)的微分方程模型轉(zhuǎn)換成復(fù)變量S的代數(shù)方程。以復(fù)變

量S的代數(shù)方程為基礎(chǔ)，進一步得到表示系統(tǒng)或元件的輸入——輸出

關(guān)系的傳遞函數(shù)。。

第三章狀態(tài)空間模型

一、引言

1、狀態(tài)空間模型為時域建模方法：以n階微分方程描述的物理系

統(tǒng)為研究對象。引入一組狀態(tài)變量（狀態(tài)變量的選取不是唯一的）之

后，可以得到一個一階微分方程組。將這個方程組改寫成更為緊湊的

矩陣形式就得到狀態(tài)空間模型。這種矩陣模型便于用計算機求解和分

析!?。?/p>

2、掌握狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)相互求取的方法；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

的作用；狀態(tài)空間模型在控制系統(tǒng)設(shè)計過程中的作用。。

3、時域：指數(shù)學(xué)模型以時間變量t為基本變量來描述系統(tǒng)及其相

應(yīng)。

4、本章介紹控制系統(tǒng)的時域表示法以及系統(tǒng)時間響應(yīng)的求解方

法。

二、動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)狀態(tài)初始條件（狀態(tài)）狀態(tài)變量（組）

1、用來表示動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)該盡可能少，以避

免出現(xiàn)冗余變量。

2、對于無源RLC網(wǎng)絡(luò)而言，所需要的狀態(tài)變量的個數(shù)等于網(wǎng)絡(luò)

獨立儲能元件的個數(shù)。其中：電容對電壓變化敏感；電感對電流變化

敏感

3、實際應(yīng)用中，通常，盡量選擇易于測量的參量作為系統(tǒng)的狀態(tài)

變量。鍵(Bond)合圖建模方法可用于機械、電氣、流體和熱力。。

三、狀態(tài)微分方程組

?

1、X]=4]]X]+anx2-----a\nxn+如〃1H-----------1-

?

%2=-21.+〃22%+.??++$網(wǎng)+???+b2mUm

4=%內(nèi)+%2乃+…+%〃/〃+%網(wǎng)+…%〃必〃

將上述微分方程組寫成矩陣形式:

aaa

\\n…\nb

???\n'

a

d_%2%。22…2n乃**?

+*???*?

■?■***

?**...??

dt??**■

???-Um.

aa???ciX

_n\n2Ji"1」.n_

狀態(tài)變量組構(gòu)成的列向量稱為狀態(tài)向量，如上公式所示。

x=Ax+Bu系統(tǒng)可縮寫為狀態(tài)微分方程的形式：

簡稱為狀態(tài)方程

狀態(tài)方程將系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化率與系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入信號

聯(lián)系在一起；系統(tǒng)輸出通過輸出方程與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入信號

聯(lián)系在一起：y=Cx+Duy是列向量形式的輸出信號。

其中系統(tǒng)的狀態(tài)變量(或狀態(tài)空間)模型同時包括了狀體微分

方程和輸出方程。

對狀態(tài)微分方程組求解得到:

x(r)=exp(Ar)x(O)+j^exp[A(t-T

其中exp(A，)稱為系統(tǒng)的基本矩陣或狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，它(矩陣

指數(shù)函數(shù))完全決定了系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。因為：當(dāng)“?)=0

時，有：x(r)=exp(Ar)x(O)即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

注：后面將研究如何利用初始條件與系統(tǒng)響應(yīng)之間的這種關(guān)系

來求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。狀態(tài)空間模型的等效的信號流圖表示，并利用信

號流圖研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。。

四、信號流圖模型和方框圖模型

D系統(tǒng)動態(tài)特性可以用一階微分方程組描述，或用矩陣微分

方程描述，系統(tǒng)狀態(tài)描述了系統(tǒng)的動態(tài)行為。

2)熟練的將狀態(tài)變量方程組轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的信號流圖和方框

圖，或者根據(jù)傳遞函數(shù)，得到信號流圖和方框圖模型都很重要！??！

信號流圖中：圓圈代表輸入、中間、輸出變量的拉氏變換，有向

線段代表轉(zhuǎn)換關(guān)系；信號流圖與方框圖的原理完全類似，只是在

求解傳遞函數(shù)時，方法完全不同。。

3)要直接獲得許多電路系統(tǒng)、機電系統(tǒng)和其他控制系統(tǒng)的一

階微分方程組比較困難，實際中先是用第2章介紹的方法求得系

統(tǒng)的傳遞函數(shù)，再根據(jù)傳遞函數(shù)確定狀態(tài)變量(空間)模型。

4)倒立擺建模：水平方向運動微分方程、豎直方向微小擺動

力矩微分方程?。?！——選取狀態(tài)變量——轉(zhuǎn)換為狀態(tài)變量方程組

注：本小節(jié)詳細的講述了梅森增益公式、傳遞函數(shù)、信號流圖、

方框圖以及狀體變量(空間)模型之間的關(guān)系(相互轉(zhuǎn)換)及其綜合

應(yīng)用。P124——P131,其中相變量信號流圖標(biāo)準(zhǔn)型在理論計算中很

重要；但是物理狀態(tài)變量模型特別實用，因為它的狀態(tài)變量都是可以

直接測量(或者只需簡單轉(zhuǎn)換)。

五、由狀態(tài)方程求解傳遞函數(shù)

D給定傳遞函數(shù)——分子分母除以系統(tǒng)階次的S次方——根

據(jù)分子分母式子畫出信號流圖(一一物理狀態(tài)方框圖)一一狀態(tài)

微分方程

2)如何由狀態(tài)微分方程確定SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s):

x=Ax+Bu其中u和y分別為系統(tǒng)的單輸入和單輸出。

y=Cx+Du

經(jīng)拉氏變換得到：

sX(s)=AX(s)+5U(s)

為了確定傳遞函數(shù)，此處不考慮

Y(s)=CX(s)+DU(s)

非零的初始條件，即假定初始條件為0,合并同類項得到:

y(s)=[C(sl-A)-[B+D]U(s)從而得到系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)：G(s)=Y(s)/U(s)o該方法與得到信號流圖，然后利用梅森公式

得到的傳遞函數(shù)完全一致。

狀態(tài)微分方程的解就是系統(tǒng)狀態(tài)變量的時間響應(yīng)x(t)!!!

六、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和系統(tǒng)時間響應(yīng)(非常重要)

1)通常都希望求得控制系統(tǒng)狀態(tài)變量的時間響應(yīng)x(t),以

便了解系統(tǒng)的性能。求解狀態(tài)微分方程就可以得到系統(tǒng)的瞬態(tài)

響應(yīng)，通解為：

x(t)=exp(Ar)x(O)+j^exp(A(r-T))Bu(v)dr

從公式知:只要已知初始條件x(0)、輸入u(t)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣exp(At),

就可以求得x(t)o所以關(guān)鍵就是求決定了系統(tǒng)響應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

exp(At)——用信號流圖和梅森增益公式求解。L(exp(At))=[sl-A]-1

七、利用軟件分析狀態(tài)空間模型

1)基本要素是狀態(tài)向量x和各個常值矩陣(A,B,C,D),

掌握ss、Isim、exprrixtf函數(shù)：

ss：將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型；sys=ss(A,B,C,D);

expm:求解給定時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，注意區(qū)別exp(A)

和expm(A);

Isim:求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)的輸出時間響應(yīng)(包括零初始和非

零初始條件)。

[y,T,x]=lsim(sys,u,t,xO);

y：t時刻的輸出響應(yīng)；

T:時間向量；

x：t時刻的狀態(tài)響應(yīng)；

U：輸入；

t:所求的系統(tǒng)響應(yīng)為t時刻對應(yīng)的響應(yīng)；

xO:初始條件(可選、可不選)；

tf：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。

?num=[286];分子系數(shù)向量

?den=[18166];分母系數(shù)向量

?sys_tf=tf(num,den);用tf函數(shù)得到傳遞函數(shù)

?sys_ss=ss(sys_tf);將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型

磁盤驅(qū)動器讀取系統(tǒng)簡化為雙質(zhì)點系統(tǒng)在階躍激勵下的響應(yīng)如

下程序所示：

k=1O;

M1=0.02;M2=0.0005;

b1=410e-3;b2=4.1e-3;

t=O:O.OO1:1.5;

A=[O01O;OOO1;-k/M1k/M1-b1/M10;k/M2-k/M20-b2/M2];

B=[O;O;1/M1;O];C=[O001]；D=[O];sys=ss(A,B,C,D);

y=step(sys,t);plot(t,y);grid

xlabel('Time(s),),ylabel('ydot(m/s),)

K取10時，響應(yīng)存在嚴(yán)重的振蕩,如下圖1所示,因此需要采用k>100

的彈性系數(shù)，需要很強的剛性才能降低振蕩，響應(yīng)如圖2所示。。

25

2

S(

E、

)45

O—

P

K

05

0.511.5

Time(s)

圖1

圖2

八、總結(jié)：1、繼續(xù)討論時域系統(tǒng)的分析和建模方法。系統(tǒng)狀態(tài)的概

念、狀態(tài)變量的定義和選擇方案的多樣性、狀態(tài)微分方程及狀態(tài)向量

x(t)的求解方法、根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)或微分方程建立系統(tǒng)的信號流圖

和方框圖模型、梅森增益公式——信號流圖——狀態(tài)微分方程、如何

求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及系統(tǒng)狀態(tài)向量的時間響應(yīng)x(t)、利用仿真軟件中

的函數(shù)實現(xiàn)傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間模型的相互轉(zhuǎn)換，以及求取轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)移

矩陣。

九、中英文術(shù)語和概念

Canonicalform標(biāo)準(zhǔn)型

Diagonalcanonicalform對角線標(biāo)準(zhǔn)型

Discrete-timeapproximation離散時間近似

Euler'smethod歐拉方法

Fundamentalmatrix基本矩陣

Inputfeedforwardcanonicalform輸入前饋標(biāo)準(zhǔn)型

Jordancanonicalform若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

Matrixexponentialfunction矩陣指數(shù)函數(shù)

Outputequation輸出方程

Phasevariablecanonicalform相變量標(biāo)準(zhǔn)型

Phasevariable相變量

Physicalvariable物理量

Statedifferentialequation狀態(tài)微分方程

Stateofsystem系統(tǒng)狀態(tài)

State-spacerepresentation狀態(tài)空間模型

Statevariablefeedback狀態(tài)變量反饋

Statevariable狀態(tài)變量

Statevector狀態(tài)向量

Timedomain時域

Time-varyingsystem時變系統(tǒng)

Transitionmatrix轉(zhuǎn)移矩陣

第4章反饋控制系統(tǒng)的特性

一、引言

1.在開環(huán)系統(tǒng)中，干擾信號Td(s)能夠直接作用并影響到系統(tǒng)輸

出Y(s),因此，開環(huán)系統(tǒng)對于干擾信號和傳遞函數(shù)G(s)中的參數(shù)的變

化高度敏感??！

2.閉環(huán)系統(tǒng)將測量得到的輸出信號與期望的輸出信號進行比較，

產(chǎn)生偏差信號，并通過控制器利用該偏差信號來調(diào)節(jié)執(zhí)行機構(gòu)。。

3.反饋系統(tǒng)的優(yōu)勢：

1)能降低系統(tǒng)對受控對象參數(shù)變化的靈敏度；

2)提高系統(tǒng)抗干擾信號的能力；

3)提高系統(tǒng)衰減測量噪聲的能力；

4)降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；

5)很容易實現(xiàn)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的控制和調(diào)節(jié)。

二、偏差信號分析

1、閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)包括3中類型的輸入信號和1個輸出信號

Y(s),其中輸入信號有參考輸入R(s)、干擾信號Td(s)s測量噪聲N(s)o

即偏差信號：E⑸=R(s)-Y(s)。

2、在控制系統(tǒng)分析中，開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)(廣義增益)起著非

常重要的作用?。?！L(s)=Gc(s)G(s),定義尸⑸=1+L(s)

則靈敏度函數(shù)定義為：S(s)=」一

F(s)1+L(s)

可以定義補靈敏度函數(shù)為：C(s)=1-S(s)=

1+L(s)

偏差信號為：E(s)=S(s)R(s)-S(s)G(s)，(s)+C(s)N(s)

要是的E⑸最小，需要降低干擾信號的影響，減小噪聲信號的系數(shù)，

因此就需要S⑸和C⑸都減小，但是S(s)+C(s)=1。。故在設(shè)計控制器

時，從抑制干擾信號和衰減測量噪聲這兩個方面所提出的要相互沖突

的。

注意：實際應(yīng)用，存在合理的解決方案，即：通過設(shè)計控制器Gc(s),

使開環(huán)傳遞函數(shù)L⑸在低頻段(干擾信號的頻率通常處于低頻段)的

幅值盡可能大，在高頻段(測量噪聲通常集中在高頻段)的幅值盡可

能?。。。?！

三、控制系統(tǒng)對參數(shù)變化的敏感度(假定干擾信號和測量噪聲都已經(jīng)

消除，即TcKs即N(s)=O)。

1、控制系統(tǒng)對受控對象參數(shù)變化的靈敏度是非常重要的系統(tǒng)

特性之一。開環(huán)系統(tǒng)對開環(huán)增益的靈敏度為1,閉環(huán)反饋控制的

一個基本優(yōu)點就是能夠降低系統(tǒng)對受控對象參數(shù)變化的靈敏度。

2、增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)的幅值能夠減低受控對象G(s)

的變化對系統(tǒng)輸出的影響一一即能夠降低系統(tǒng)對受控對象參數(shù)

G⑸變化的靈敏度°L⑸的幅值越大，跟蹤誤差的變化量△￡($)越

小，這意味著：系統(tǒng)對受控對象的變化量AG(s)的靈敏度也隨之

降低。

3、系統(tǒng)靈敏度：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與受控對象傳遞函數(shù)

變化率之比。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為TG)=職，受控對象的傳遞函數(shù)

R")

為G⑸,則系統(tǒng)靈敏度為$=皴譚

系統(tǒng)靈敏度是指，當(dāng)變化量為微小增量時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與

受控對象傳遞函數(shù)(或參數(shù))的變化率之比?。。》答伔糯笃鲬?yīng)用非常

廣泛，需要掌握它的基本原理和特性！！!

四、反饋控制系統(tǒng)的干擾信號

1、干擾信號是能夠影響系統(tǒng)輸出的多余的輸入信號，當(dāng)受控

對象G⑸和干擾信號Td⑸都已經(jīng)給定，開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)越大,

干擾信號Td(s)對跟蹤誤差的影響程度越小。即L(s)越大，系統(tǒng)靈

敏度S(s)越小。精確的說：為了獲得良好的干擾信號抑制能力，

在干擾信號的頻率圍(低頻段),必須使得開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)保持

較大的幅值。

2、衰減測量噪聲:

E(s)_G、G)G(s)_L⑸

噪聲對跟蹤誤差的影響:

NG)~1+Gc(s)G(s)―1十L(s)

一當(dāng)減小開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)時，測量噪聲N(s)對跟蹤誤差E(s)的

影響也隨之降低。為了有效的衰減測量噪聲，在噪聲信號的頻段

(高頻段)，必須使開環(huán)傳遞函數(shù)保持較小的幅值。一旦干擾信號

(低頻段)和測量噪聲(高頻段)之間的頻率不能區(qū)分開來，那

么控制系統(tǒng)設(shè)計過程將格外復(fù)雜。

3、在絕大部分系統(tǒng)中，測量噪聲信號N(s)是由測量傳感器產(chǎn)

生的。當(dāng)心(s)=N(s)=O時，參考輸入信號R(s)對跟蹤誤差的

E（5）_1_1

影響為:增大開環(huán)傳遞函數(shù)

--

1+GC（5）G（5）1+L（S）

L(s),既能夠降低系統(tǒng)對受控對象變化的靈敏度，也能夠降低對參

考輸入信號R⑸的跟蹤誤差。

五、系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的調(diào)控

瞬態(tài)響應(yīng)是控制系統(tǒng)最重要的特性之一，它利用時間函數(shù)來描述

系統(tǒng)響應(yīng)?。。?/p>

1、對開環(huán)系統(tǒng)，若系統(tǒng)不能產(chǎn)生滿意的瞬態(tài)響應(yīng)，就必須更改受

控對象G(s),或者在受控對象之前串聯(lián)一個控制器Gc(s)來改變響應(yīng);

對于反饋系統(tǒng)，它可以調(diào)節(jié)反饋環(huán)節(jié)的參數(shù)獲得預(yù)期的響應(yīng)。

2、對于負載慣量較大的系統(tǒng)而言，很難通過調(diào)節(jié)電機的時間常數(shù)

q來調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，最好是通過增大前向通道增益Ka來

調(diào)節(jié)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。為了得到較大的增益KaKtKI,前向通道放大

器增益Ka必須保持相當(dāng)大的值，而且電機的電樞電壓信號和相應(yīng)的

扭矩信號也會比開環(huán)大很多，所以閉環(huán)控制系統(tǒng)需要選用大功率的電

機?。?！以便避免電機飽和。

其中Kt為反饋環(huán)節(jié)增益、K1為受控對象電機的傳遞函數(shù)增益。

注意：閉環(huán)系統(tǒng)對電機常數(shù)Km的靈敏度是s的函數(shù)，隨著系統(tǒng)工作

頻率的變化而變化，必須在不同的頻率下分析系統(tǒng)的靈敏度?。?！

3、閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)比開環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)大很多，大100

倍是很常見的。

六、穩(wěn)態(tài)誤差(開環(huán)與閉環(huán))

穩(wěn)態(tài)誤差：指的是系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)消失之后，系統(tǒng)持續(xù)響應(yīng)與預(yù)

期響應(yīng)的誤差。。

1、合理的反饋控制系統(tǒng)設(shè)計，可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，并顯著

降低系統(tǒng)的靈敏度及系統(tǒng)干擾的影響。

2、對于開環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)干擾信號Td(s)=O時，開環(huán)系統(tǒng)誤差為：

瓦(s)=R(s)-y(5)=(1-G(s))R(s)

對于閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)干擾信號和測量噪聲都為0,即

Td(s)=N(s)=a,且反饋回路H(s)=1時，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差為：

利用終值定理：lime(t)=lim$E(s)當(dāng)輸入為單位階躍

1—>8$—0

信號時得到：

開環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差為：%(oo)=l-G(0);

閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差為：ec3)=i+q(；)G(0)

其中G(0)稱為直流增益，通常，直流增益都會遠遠大于1,所以開環(huán)

穩(wěn)態(tài)誤差比較大，同時s為。時的開環(huán)增益L(O)=Gc(O)G(O)也會比較

大，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差會小很多。。

七、引入反饋的不利面

1、增加了元器件數(shù)量，提高系統(tǒng)的復(fù)雜程度，必須引入反饋

器件，其中最關(guān)鍵的是測量器件(如傳感器一往往是最昂貴的)，

此外傳感器自身特性引入了測量噪聲，也影響系統(tǒng)精度0

2、增益損失假定單環(huán)系統(tǒng)，開環(huán)增益為Gc(s)G(s),對

應(yīng)的單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)增益縮減為

Gc⑸G(s)/(1+Gc(s)G⑸)，當(dāng)然同時閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)變化和干擾的

靈敏度也縮減到了開環(huán)系統(tǒng)的1/(1+Gc(s)G(s))。注意：閉環(huán)系統(tǒng)

中，功率放大器和執(zhí)行機構(gòu)的增益沒有任何變化，損失的只是輸

入到輸出的總增益。

3、可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定

總結(jié)：歸根結(jié)底，我們總是希望系統(tǒng)的輸出Y⑸等于輸入R(s)o

八、盡管反饋控制提高了控制系統(tǒng)的成本，但在控制系統(tǒng)設(shè)計中得到

了廣泛的應(yīng)用，主要原因在于：

1)能降低對受控對象參數(shù)變化的靈敏度

2)能提高系統(tǒng)抑制干擾的能力

3)能提供系統(tǒng)衰減測量噪聲的能力

4)能減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

5)便于調(diào)節(jié)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

控制系統(tǒng)分析中，開環(huán)傳遞函數(shù)(廣義增益)L(s)=Gc(s)G(s)是一個

非常重要的基本概念。

第五章反饋控制系統(tǒng)的性能

一、重點要求

1、常用的重要測試信號，二階系統(tǒng)對這些測試信號的動態(tài)響

應(yīng)特性；二階系統(tǒng)極點位置與動態(tài)特性之向的直接關(guān)系；二階系

統(tǒng)的極點位置與系統(tǒng)性能指標(biāo)（如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、上升時間

和峰值時間）；零點和第三個極點對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

2、瞬態(tài)響應(yīng)：隨著時間推移會消失的響應(yīng)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：在初

始輸入激勵之后長期存在的響應(yīng)。

二、測試輸入信號

1、各測試信號關(guān)系：脈沖信號一（積分）一階躍信號一（積

分）一斜坡信號一（積分）一拋物線信號

三、二階系統(tǒng)性能（系統(tǒng)首先是穩(wěn)定的）

1、輸入信號x（t）的響應(yīng)y（t）的導(dǎo)數(shù)=輸入信號x（t）的導(dǎo)數(shù)x，（t）

的響應(yīng)。

2、系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能主要體現(xiàn)在：

1）響應(yīng)的快速性——上升時間和峰值時間；

2）對預(yù)期輸出響應(yīng)的逼近程度——超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；

但這兩方面的的指標(biāo)往往是沖突的，必須進行折中處理。

四、零點和第三個極點對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響

系統(tǒng)時域響應(yīng)特性與S平面上閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點分布之間

的關(guān)系，是確定系統(tǒng)性能指標(biāo)的非常有用的工具?。?！

掌握單位負反饋控制系統(tǒng)零——極點配置法P241o對系統(tǒng)分析和

設(shè)計而言,理解并掌握閉環(huán)特征根的位置分布與系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性之

間的關(guān)系是非常重要的。。實零點和實極點會影響系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，

只有當(dāng)實零點和實極點的位置遠離復(fù)數(shù)極點對時，它們兩才會對階躍

響應(yīng)的影響才會比較?。。?！

3、對于傳遞函數(shù)，當(dāng)s=0時，對應(yīng)的傳遞函數(shù)的值稱為直流

增益。阻尼比是決定比環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)的關(guān)鍵參數(shù)?？梢愿鶕?jù)系統(tǒng)的

實際階躍響應(yīng)來辨識估計阻尼比，也可以先確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)

量，再估計阻尼比??！

五、S平面上根的位置與系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

1、閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可以用閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點

位置分布來表征。對控制系統(tǒng)工程師而言，理解和掌握線性系統(tǒng)

的復(fù)頻率表示、傳遞函數(shù)的零點和極點以及系統(tǒng)的時域響應(yīng)（對

階躍信號和其他類型的輸入信號）之間的關(guān)系是非常重要的?。?！

很多分析和設(shè)計都在復(fù)平面進行，所使用的模型是傳遞函數(shù)及其

零——極點，但是控制系統(tǒng)性能分析，往往要在時間域通過分析

時域響應(yīng)來實現(xiàn)。。

2、零——極點配置法對于進行控制系統(tǒng)設(shè)計非常有用。?？傮w

而言，閉環(huán)傳遞函數(shù)極點的位置決定了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)模態(tài)，而

零點位置則確定了每個模態(tài)函數(shù)的相對權(quán)重。。

六、反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

1、開環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)G(s)的一般形式為：

M

Kri(s+z.)

G￡s)G(s)=一保--------當(dāng)s趨向于零時，開環(huán)傳遞函數(shù)

N

sn(s+pk)

k=l

的取值(稱為位置誤差系數(shù)K〃=limG.(s)G(s))依賴于積分器的

sf0

個數(shù)No積分器的個數(shù)N稱為系統(tǒng)的型數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為N型系

統(tǒng)，通常接觸0型、1型和2型系統(tǒng)。

2、穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的積分器的個數(shù)No速度誤差系數(shù)

2

Kv=limsGc(s)G(s),加速度誤差系數(shù)Ka=limsGc(s)G(s)。

經(jīng)常利用型數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Kp,K,,K〃來界定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

能，它們能夠表征系統(tǒng)減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力oO

七、綜合性能指標(biāo)

1、誤差平方積分ISE、誤差絕對值積分IAE、時間與誤差絕對值

之積的積分ITAE、時間與誤差平方之積的積分ITSEoo其中ITAE是相

對最好的綜合性能指標(biāo)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時，很容易辨識出ITAE的

極小值。O

2、當(dāng)所選用的綜合性能指標(biāo)達到極小值時，就稱為控制系統(tǒng)為最

優(yōu)的。P254——P256口給出了輸入為階躍信號、斜坡信號，基于ITAE

指標(biāo)的傳遞函數(shù)T⑸的最優(yōu)系數(shù)。。

八、線性系統(tǒng)的簡化

1、用低階模型簡化近似復(fù)雜的高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，比較有效和

常用。

相對簡單的方法：直接刪除高階傳遞函數(shù)中的某些極點(該極

點與其他極點相比，它的負實部的絕對值非常大，即離虛軸遠，

因而對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)沒有顯著的影響。)同時，為了維持系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)

響應(yīng)性能(保持開環(huán)增益)，降階時分子需要除以該極點的實部??！

2、更為精細的降階方法，使降階前后的系統(tǒng)頻率響應(yīng)盡可能匹

配。。P257給出了詳細的求取低階模型參數(shù)的方法和步驟。

九、利用MATLAB分析系統(tǒng)時域性能指標(biāo)

使用step函數(shù)和impulse函數(shù)求系統(tǒng)響應(yīng)

二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)m程序：

t=0:0.1:12;num=1;

zeta1=0.1;den1=[12*zeta11];sys1=tf(num,den1);

zeta2=0.2;den2=[12*zeta21];sys2=tf(num,den2);

zeta3=0.4;den3=[12*zeta31];sys3=tf(num,den3);

zeta4=0.7;den4=[12*zeta41];sys4=tf(num,den4);

zeta5=1.O;den5=[12*zeta51];sys5=tf(num,den5);

zeta6=2.0;den6=[12*zeta61];sys6=tf(num,den6);

[y1,T1]=step(sys1,t);[y2,T2]=step(sys2,t);

[y3,T3]=step(sys3,t);[y4,T4]=step(sys4,t);

[y5,T5]=step(sys5,t);[y6,T6]=step(sys6,t);

plot(T1,y1,T2,y2,T3,y3,T4,y4,T5,y5,T6,y6)

xlabel(1\omega_nt'),ylabel('y(t)')

title('\zeta=0.1,0.2,0.4,0.7,1.0,2.O,),§nd

二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)m程序;

clear

t=0:0.1:10;num=1;

zeta1=0.1;den1=[12*zeta11];sys1=tf(num,den1);

zeta2=0.25;den2=[12*zeta21];sys2=tf(num,den2);

zeta3=0.5;den3=[12*zeta31];sys3=tf(num,den3);

zeta4=1.0;den4=[12*zeta41];sys4=tf(num,den4);

[y1,T1]=impulse(sys1,t);

[y2,T2]=impulse(sys2,t);

[y3,T3]=impulse(sys3,t);

[y4,T4]=impulse(sys4,t);

Plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4)

xlabel('\omega_ntj,ylabel('y(t)/\omega_n)

title('\zeta=0.1,0.25,0.5,1.0),grid

使用Isim函數(shù)求任意輸入信號下的動態(tài)響應(yīng):

clear

num=[1020];den=[110O];sysg=tf(num,den);

[sys]=feedback(sysg,1);

t=0:0.1:8.2;

v1=[0:0.1:2],;v2=[2:-0.1:-2],;v3=[-2:0.1:0],;

u=[v1;v2;v3];%鋸齒波輸入信號

[y,T]=lsim(sys,u,t);%仿真輸出

plot(T,y,t,u,'-'),xlabel(,Time(s),),ylabel(1\theta(rad)'),gnd

%比較高階(三階)與低階(二階)傳遞函數(shù)的響應(yīng)

clear

num1=6;den1=[16116];sys1=tf(num1,den1);

num2=1.6;den2=[12.5941.6];sys2=tf(num2,den2);

t=0:0.1:8;

[y1,T1]=step(sys1,t)；

[y2,T2]=step(sys2,t);

plot(T1,y1,T2,y2,1-,);grid

xlabeH'TimefsJXylabelCStepResponse')

系統(tǒng)性能最重要的指標(biāo)之一是對測試輸入信號的穩(wěn)念誤差。

十、中英文術(shù)語和概念

Accelerationerrorconstant,Ka加速度誤差系數(shù)

Designspecification設(shè)計指標(biāo)要求

Dominantroot主導(dǎo)根

Optimumcontrolsystem最優(yōu)控制系統(tǒng)

Peaktime峰值時間

Percentovershoot超調(diào)量

Performanceindex性能指標(biāo)

Positionerrorconstant,Kp位置誤差系數(shù)Kp

Risetime上升時間

Settingtime調(diào)節(jié)時間

Steady-stateresponse穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

Testinputsignal測試輸入信號

Transientresponse瞬態(tài)響應(yīng)

Typenumber型數(shù)

Unitimpulse單位脈沖信號

Velocityerrorconstant,Kv速度誤差系數(shù)Kv

第六章線性反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性(和相對穩(wěn)定性)

一、引言

當(dāng)輸入有界時，穩(wěn)定的系統(tǒng)多產(chǎn)生的輸出也是有界的——這稱為

有界輸入一有界輸出穩(wěn)定性！?。?/p>

反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與傳遞函數(shù)的特征根，或者狀態(tài)空間模型

中系統(tǒng)矩陣的特征值在s平面上的位置密切相關(guān)。。勞斯判據(jù)——用

來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性非常有用。

相對穩(wěn)定性是有特征方程的實根，或者共斬復(fù)根的實部決定的系

統(tǒng)特性。

1、對于穩(wěn)定性的分析和判斷可以查閱書籍臨時對照分析。。

2、勞斯判據(jù)是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件c。如果特征方程的系

數(shù)已知，就能夠通過勞斯判據(jù)來確定s右半平面上的特征根的個數(shù)，

從而判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

3、％利用pole求取閉環(huán)傳函的極點，并通過根的實部符號判斷系

統(tǒng)穩(wěn)定性(zero求零點)。

>>num=1;den=[11223];sys=tf(num,den);

>>sys-feedback(sys,1);

>>pole(sys)

ans=

-3.0000+O.OOOOi

1.0000+2.64581

1.0000-2.64581

共輾復(fù)根實部為正數(shù)一一說明系統(tǒng)不穩(wěn)定??！

4、利用for循環(huán)求取當(dāng)增益不斷變化時的零極點分布——根軌跡

?K=[0:0.5:20];

fori=1:length(K)

q=[124K(i)];

p(:,i)=roots(q);

end

plot(real(p),imag(p),'x,),grid

>>xlabel('Realaxis'),ylabel('lmaginaryaxis')

5、利用勞斯判據(jù)得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)a和K的取值圍，得到

(a,K)數(shù)組，然后利用for循環(huán)，編寫m程序在(K,a)平面得到分界

曲線，將平面劃分為穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域，(平面分區(qū))如下：

a=[0.1:0.01:3.0];K=[20:1:120];

x=0*K;y=0*K;

n=length(K);m=length(a);

fori=1:n

forj=1:m

q=[1817K(i)+10K(i)*a(j)];

p=roots(q);

ifmax(real(p))>0,x(i)=K(i);y(i)=a(j-1);break;end

end%將分界點賦值給x,y向量

end

plot(x,y),grid,xlabel(,K'),ylabel('a,)

6、利用ploy函數(shù)求取狀態(tài)變量(空間)模型(系統(tǒng))的穩(wěn)定性

狀態(tài)空間模型的特征方程為：det(51-A)=0當(dāng)系統(tǒng)矩陣A

的維數(shù)較低時，可以采用手工方式計算s/-A的行列式。

poly函數(shù)：用途1、有根向量出發(fā)重構(gòu)多項式；用途2、計算

系統(tǒng)矩陣A的特征多項式M-A,即利用poly可以得到M-A的

系數(shù)向量，A為nxn維方陣，poly(A)輸出一個n+1維的行向量，

如下：?clear

A=[-8-16-6;100;010];

p=poly(A)

roots(p)

p=1.00008.000016.00006.0000

ans=-5.0861

-2.4280

-0.4859

7、三維曲面分區(qū)判斷三個參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域

1.利用勞斯判據(jù)確定K、p和z的取值圍

2.利用mesh函數(shù)構(gòu)建三維曲面

如下；clear

[p,z]=meshgrid(1.2:0.2:10,0.1:0.2:10);%提供繪圖所需的二維平面網(wǎng)格

k=pJ(p-1)./(p-1?z);%計算穩(wěn)定二維面

mesh(k)%畫三維曲面

第七章根軌跡法

一、引言

1、閉環(huán)特征根在S平面上的位置分布對反饋系統(tǒng)性能有著非常

重要的影響。當(dāng)某個參數(shù)變化時，閉環(huán)特征根在s平面上的變化軌跡

稱為系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡是分析設(shè)計反饋控制系統(tǒng)的一種有力的工

具。

2、根軌跡法還能把握特征根對參數(shù)變化的靈敏度，將它與勞斯判

據(jù)結(jié)合，能發(fā)揮更大的作用。單回路控制系統(tǒng)的根軌跡可以方便的擴

展到多回路系統(tǒng)，如果特征根的位置不符合要求，則根軌跡很容易確

定應(yīng)該怎樣調(diào)整參數(shù)。

二、根軌跡的概念

1、根軌跡中每個閉環(huán)特征根都必須滿足幅值條件和相角條件，對

于多回路系統(tǒng)還要用到梅森信號流圖增益公式。

2、繪制根軌跡步驟：

1）準(zhǔn)備工作；求得開環(huán)和閉環(huán)特征方程零極點，當(dāng)系統(tǒng)增益

K從0到無窮大增加時，閉環(huán)特征方程的根軌跡起始于開環(huán)極點，

終止于開環(huán)零點（或無窮遠處）。當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)有n個極點和M

個零點并且n>M時，就會有n-M條根軌跡分支趨向于無窮遠處的

開環(huán)零點。根軌跡分支的條數(shù)等于開環(huán)極點的個數(shù)。

2）確定實軸上根軌跡段：實軸上的根軌跡總是位于奇數(shù)個開

環(huán)零點和極點的左'則。根軌跡的分支必然是關(guān)于實軸對稱的。

3）根軌跡沿漸近線趨向于無窮遠處的開環(huán)零點，漸近線與實

軸的交角（可求）為。A，與實軸有公共的交點，即漸近中心（可

求）。

4）如果根軌跡通過虛軸，則用勞斯判據(jù)確定根軌跡與虛軸的

交點。

5）確定實軸上的分離點（如果有）。根據(jù)相角條件，在分離點

處，各條根軌跡分支的切線將均分360。?？梢杂脠D解法或者解

析法得到實軸上的分離點。

6）應(yīng)用相角條件，確定根軌跡離開開環(huán)極點的出射角和進入

開環(huán)零點的入射角。根軌跡離開開環(huán)極點的出射角等于相角差的

主值。該相角差等于各開環(huán)零點到該極點的向量的相角之和，減

去其他開環(huán)極點到該極點的向量的相角之和，主值用

±（2攵+1）180°調(diào)整得到。

7）如果要繪制精確的根軌跡,應(yīng)該利用計算機輔助軟件。P350

給出了根軌跡繪制的詳細步驟和相關(guān)方程或規(guī)則。

三、應(yīng)用根軌跡進行參數(shù)設(shè)計

1、根軌跡；當(dāng)系統(tǒng)增益K由零到無窮大變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根

的軌跡。也可以利用它考察其他參數(shù)對系統(tǒng)的影響（如用它來研究2

個或2個以上參數(shù)對系統(tǒng)影響——基于根軌跡的參數(shù)設(shè)計方法。

2、特征根靈敏——由對數(shù)靈敏度轉(zhuǎn)變而來，參數(shù)變化時，特征

根位置的變化程度大小。應(yīng)用根靈敏度分析和設(shè)計控制系統(tǒng)，必須針

對由開環(huán)傳遞函數(shù)及其零點和極點決定的閉環(huán)特征根的可能分布情

況完成大量的計算工作。局限性：需要大量的計算，沒有明確的參數(shù)

調(diào)整方向以便減小根靈敏度。

四、PID控制器(重要)

1、PID控制器的傳遞函數(shù)為Gc(s)=K〃+g+KoS它由一

s

個比例項、積分項、微分項。其時域輸出方程為：

〃(/)=%⑴+Kje⑴出+KD等,嚴(yán)格來說微分項的傳函為

Gd(s)二，但由于其中的時間常數(shù)Q遠遠小于受控對象G(s)

中的時間常數(shù)，因此常常忽略不計?。?！

2、PID控制器還可以視為由PI控制器和PD控制器串聯(lián)構(gòu)成，如

下：

Gc(s)=Gp/(s)Gpo(s)

A

二(Kp+，~)(Kp+KQS)

s

5+^^

=(KpKf)+K/KD)+KpKD

=+KDS+—

再將PID控制器的傳遞函數(shù)形式進行轉(zhuǎn)換，可以得到:

7

KiKDS+K+K]

Q(s)=+，+KS=—--------2------L

sDs

_KDS+as+/?)_際(5+zl)(s+z2)

ss

其中，a=Kp/KD,h=Kj/KD.因此，PID控制器實際上對應(yīng)的

是這樣一類傳遞函數(shù)：在原點有一個極點，在S平面有可以任意配置

的兩個零點。

五、利用MATLAB分析根軌跡(不能忽視手工繪制根軌跡的重要性)

1、對于開環(huán)傳遞函數(shù)G(.(s)G(s)中積分器的個數(shù)，即開環(huán)系統(tǒng)的

型數(shù)：要清楚階躍響應(yīng)、斜坡響應(yīng)、加速度響應(yīng)時的穩(wěn)態(tài)誤差對應(yīng)的

型數(shù)關(guān)系(重要)P246給出了對應(yīng)的表格?。?！

Gc($)G(s)輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差

中積分器的階躍r(t)=A,R(s)=A/s斜坡r(t)=At,R(s)=A/s2加速度(拋物線)r(t)=At2,

R(s)=A/s3

個數(shù),即開環(huán)

系統(tǒng)型數(shù)

0

A000