2.3 一元二次方程的應(yīng)用 同步分層作業(yè)（含解析）浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2.3一元二次方程的應(yīng)用同步分層作業(yè)基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共49人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A．1+x+x2＝49B．x+x2＝49C．（1+x）2＝49D．x+x（1+x）＝492．某地積極宣傳和推廣“吃農(nóng)家飯，品農(nóng)家菜，干農(nóng)家活”鄉(xiāng)村體驗(yàn)式旅游項(xiàng)目，去年該地旅游產(chǎn)業(yè)獲利50萬元，若計(jì)劃明年旅游產(chǎn)業(yè)獲利72萬元，那么該地這兩年旅游產(chǎn)業(yè)獲利的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（）A．44% B．14.4% C．20% D．10%3．某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支．設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x小分支，那么根據(jù)題意可以列方程為（）A．1+x+x2＝91B．1+x+x（1+x）＝91C．1+x+（1+x）2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝914．現(xiàn)將一張照片【長(zhǎng)14英寸，寬10英寸】貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同均為a英寸，如圖所示．已知矩形襯紙的面積為照片面積的2倍，則下列所列方程正確的是（）A．2（10+a）（14+a）＝14×10 B．2（10+2a）（14+2a）＝14×10 C．（10+a）（14+a）＝2×14×10 D．（10+2a）（14+2a）＝2×14×105．某校自啟動(dòng)“書香校園?悅讀成長(zhǎng)”工程以來，成效顯著，形成人人愛讀書的良好氛圍．該校圖書館三月份借出圖書490本，五月份借出圖書810本，設(shè)這兩個(gè)月借出的圖書平均每月增長(zhǎng)率為x，則下列列出的方程正確的是（）A．810（1﹣x）2＝490B．490（1+x）2＝810C．810（1﹣2x）＝490D．490（1+2x）＝8106．某地足球聯(lián)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共比賽了45場(chǎng)．設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，則下列方程符合題意的是（）A．x（x+1）＝45B．C．x（x﹣1）＝45D．7．某商店原來每天可銷售某種水果100kg，每千克盈利7元，為了減少庫存，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，如果這種水果每千克降價(jià)1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，則每千克應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每千克應(yīng)降價(jià)x元，則所列方程是（）A．（100+x）（7+x）＝800 B．（100+30x）（7﹣x）＝800 C．（100+30x）（7+x）＝800 D．（100+x）（7﹣30x）＝8008．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0），當(dāng)PQ＝BC時(shí)，則t的值為．9．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和是5，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后所得的數(shù)與原數(shù)相乘，得736，這個(gè)兩位數(shù)是．10．國(guó)慶期間，某博物館展出的珍貴文物吸引了眾多游客．通過這些文物，人們仿佛穿越時(shí)空，與歷史對(duì)話，這不僅豐富了精神生活，也促進(jìn)了文化的傳承與發(fā)展．據(jù)統(tǒng)計(jì)，博物館10月1日接待的人數(shù)比9月30日的2倍多0.2萬人，這兩天共接待2.9萬人．（1）求博物館10月1日接待游客的人數(shù)；（2）10月2日、3日游客繼續(xù)增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)10月3日接待游客2.88萬人，預(yù)計(jì)10月4日游客數(shù)量將達(dá)到高峰．為使游客有較好的體驗(yàn)效果，規(guī)定人數(shù)達(dá)到3.5萬人時(shí)，將會(huì)采取臨時(shí)限流措施．按10月2日、3日的日平均增長(zhǎng)率計(jì)算，10月4日是否需要臨時(shí)限流？11．隨著科技的不斷進(jìn)步，人工智能（AI）正逐漸滲透到我們的生活和工作．從家庭助手到自動(dòng)駕駛汽車，再到智能醫(yī)療，AI的應(yīng)用前景廣闊且充滿無限可能．某人工智能科技體驗(yàn)館在十一假期間為學(xué)生們制訂了豐富多彩的體驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過10人，人均費(fèi)用為240元；如果人數(shù)超過10人，每增加1人，人均費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于170元．（1）若有14人參加旅游，人均費(fèi)用是元．（2）某興趣小組的學(xué)生們?nèi)⒓芋w驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票的費(fèi)用共3600元，求參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)．能力提升能力提升12．如圖，在一塊長(zhǎng)28m、寬10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面積是243m2．設(shè)小路的寬度為xm，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝24313．某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長(zhǎng)度為27米，AB位置的墻最大可用長(zhǎng)度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個(gè)場(chǎng)地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長(zhǎng)45米．（1）若飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD）的一邊CD長(zhǎng)為8米，則另一邊BC＝米．（2）若飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長(zhǎng)．（3）飼養(yǎng)場(chǎng)的面積能達(dá)到210平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊CD的長(zhǎng)；若不能達(dá)到，請(qǐng)說明理由．14．“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂!”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2022年的20萬人增加到2024年的33.8萬人．（1）求該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率．（2）某網(wǎng)店以每組30元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批啞鈴組．當(dāng)每組售價(jià)為50元時(shí)，12月份售出了150組，隨著市民健身熱情的增加，該網(wǎng)店的啞鈴組十分暢銷．為了回饋顧客，該網(wǎng)店決定從1月份起采用降價(jià)促銷的方式．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該啞鈴組每組每降價(jià)1元，銷售量就增加10組，該網(wǎng)店計(jì)劃1月份售賣啞鈴組獲利3060元，為了盡可能多的讓利于顧客，該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)多少元？15．根據(jù)以下銷售情況，解決銷售任務(wù)．銷售情況分析總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，它們的銷售情況如下：店面甲店乙店日銷售情況每天可售出20件，每件盈利40元．每天可售出32件，每件盈利30元．市場(chǎng)調(diào)查經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，甲、乙兩家店一天都可多售出2件．情況設(shè)置設(shè)甲店每件襯衫降價(jià)a元，乙店每件襯衫降價(jià)b元．任務(wù)解決任務(wù)1甲店每天的銷售量（用含a的代數(shù)式表示）．乙店每天的銷售量（用含b的代數(shù)式表示）．任務(wù)2當(dāng)a＝5，b＝4時(shí)，分別求出甲、乙店每天的盈利．任務(wù)3總公司規(guī)定兩家分店下降的價(jià)格必須相同，請(qǐng)求出每件襯衫下降多少元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．16．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于10cm？（2）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于104cm2？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．培優(yōu)拔尖17．布置某藝術(shù)中心的會(huì)場(chǎng)時(shí)，工作人員準(zhǔn)備利用35米長(zhǎng)的地為一邊，用68米隔欄繩圍另三邊，設(shè)立一個(gè)面積為600平方米的長(zhǎng)方形等候區(qū)，如圖，為了方便群眾進(jìn)出，在兩邊各空出一個(gè)1米的出入口（出入口不用隔欄繩）．如果設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，那么可以列出關(guān)于x的方程（）A．（68+2﹣2x）?（x﹣1）＝600 B．（68﹣2﹣2x）?（x﹣1）＝600 C．（68+2﹣2x）x＝600 D．（68﹣2﹣2x）x＝60018．清初曾傳入中國(guó)兩卷無作者的代數(shù)學(xué)書，被譯為《阿爾熱巴拉新法》，后由中國(guó)近代數(shù)學(xué)家李善蘭改譯為《代數(shù)學(xué)》．該書中記載，形如x2+10x＝56的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖①，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以該正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積均為的矩形，則大正方形的面積為56+25＝81，則原方程的正數(shù)解為9﹣5＝4”．小聰按此方法解關(guān)于y的方程y2+20y+m＝0時(shí)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，已知陰影部分的面積為156，則該方程的正數(shù)解為（）A．6 B．8 C．16 D．19．定義新運(yùn)算：，例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若，則x的值為．20．利用圖形分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線，將△BCD分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝6，b＝3，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是．21．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．背景素材素材1隨著數(shù)字技術(shù)、新能源、新材料等不斷突破，我國(guó)創(chuàng)造業(yè)發(fā)展迎來重大機(jī)遇，天府科技園工作實(shí)驗(yàn)室借助智能化，對(duì)某款電動(dòng)車的零部件進(jìn)行一體化加工，以相同的生產(chǎn)效率提升，該零件7月份生產(chǎn)500個(gè)，9月份生產(chǎn)720個(gè)．素材2該園工作實(shí)驗(yàn)室的零部件成本為30元/個(gè)，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零部件售價(jià)為50元/個(gè)時(shí)，月銷售量為800個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每下降2元，則月銷售量將增加20個(gè)．為刺激經(jīng)濟(jì)的快速增長(zhǎng)，政府給予實(shí)驗(yàn)室支持，當(dāng)銷量不低于900個(gè)時(shí)，每個(gè)將有5元的科技創(chuàng)新補(bǔ)貼．問題解決任務(wù)1工作實(shí)驗(yàn)室從7月份到9月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長(zhǎng)率；任務(wù)2使工作實(shí)驗(yàn)室月銷售利潤(rùn)達(dá)到13500元，而且盡可能讓車企得到實(shí)惠，社會(huì)普及增加，則該零件的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元？

答案與解析基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共49人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A．1+x+x2＝49B．x+x2＝49C．（1+x）2＝49D．x+x（1+x）＝49【點(diǎn)撥】由題意，第一輪過后有（x+1）個(gè)人，第二輪又傳染了x（x+1）個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后，共49人患流感，列出方程即可．【解析】解：∵某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共49人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，∴（x+1）+x（x+1）＝49，即：（1+x）2＝49；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列式，是解題的關(guān)鍵．2．某地積極宣傳和推廣“吃農(nóng)家飯，品農(nóng)家菜，干農(nóng)家活”鄉(xiāng)村體驗(yàn)式旅游項(xiàng)目，去年該地旅游產(chǎn)業(yè)獲利50萬元，若計(jì)劃明年旅游產(chǎn)業(yè)獲利72萬元，那么該地這兩年旅游產(chǎn)業(yè)獲利的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（）A．44% B．14.4% C．20% D．10%【點(diǎn)撥】根據(jù)平均增長(zhǎng)率的意義列式計(jì)算即可．【解析】解：根據(jù)題意，得50（1+x）2＝72，解得x＝0.2，x＝﹣2.2（舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平均增長(zhǎng)率問題是解題的關(guān)鍵．3．某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支．設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x小分支，那么根據(jù)題意可以列方程為（）A．1+x+x2＝91B．1+x+x（1+x）＝91C．1+x+（1+x）2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【點(diǎn)撥】如果設(shè)每個(gè)支干分出x個(gè)小分支，根據(jù)“每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支”可知：支干的數(shù)量為x個(gè)，小分支的數(shù)量為x?x＝x2個(gè)，然后根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91就可以列出方程．【解析】解：依題意得支干的數(shù)量為x個(gè)，小分支的數(shù)量為x?x＝x2個(gè)，那么根據(jù)小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91可列出方程為：1+x+x2＝91．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查從實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．4．現(xiàn)將一張照片【長(zhǎng)14英寸，寬10英寸】貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同均為a英寸，如圖所示．已知矩形襯紙的面積為照片面積的2倍，則下列所列方程正確的是（）A．2（10+a）（14+a）＝14×10 B．2（10+2a）（14+2a）＝14×10 C．（10+a）（14+a）＝2×14×10 D．（10+2a）（14+2a）＝2×14×10【點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)鍵語句“矩形襯紙的面積為照片面積的2倍”列出方程求解即可．【解析】解：依題意，矩形襯紙的面積為（10+2a）（14+2a），照片面積為14×10，所以（10+2a）（14+2a）＝2×14×10，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是表示出大矩形的長(zhǎng)與寬．根據(jù)“矩形襯紙的面積為照片面積的2倍”進(jìn)行列式，即可作答．5．某校自啟動(dòng)“書香校園?悅讀成長(zhǎng)”工程以來，成效顯著，形成人人愛讀書的良好氛圍．該校圖書館三月份借出圖書490本，五月份借出圖書810本，設(shè)這兩個(gè)月借出的圖書平均每月增長(zhǎng)率為x，則下列列出的方程正確的是（）A．810（1﹣x）2＝490B．490（1+x）2＝810C．810（1﹣2x）＝490D．490（1+2x）＝810【點(diǎn)撥】首先表示出四月份借出圖書490（1+x）本，五月份借出圖書490（1+x）2本，然后根據(jù)四、五月份共借出圖書本列出方程即可．【解析】解：根據(jù)題意得：490（1+x）2＝810，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是得到相應(yīng)的等量關(guān)系，注意四、五月份借出圖書量是在三月份借出圖書量的基礎(chǔ)上得到的．6．某地足球聯(lián)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共比賽了45場(chǎng)．設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，則下列方程符合題意的是（）A．x（x+1）＝45B．C．x（x﹣1）＝45D．【點(diǎn)撥】根據(jù)參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共比賽了45場(chǎng)．設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，則列式，即可作答．【解析】解：設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，依據(jù)參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共比賽了45場(chǎng)，得得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出一元二次方程．7．某商店原來每天可銷售某種水果100kg，每千克盈利7元，為了減少庫存，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，如果這種水果每千克降價(jià)1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，則每千克應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每千克應(yīng)降價(jià)x元，則所列方程是（）A．（100+x）（7+x）＝800 B．（100+30x）（7﹣x）＝800 C．（100+30x）（7+x）＝800 D．（100+x）（7﹣30x）＝800【點(diǎn)撥】當(dāng)每千克降價(jià)x元時(shí)，每千克的銷售利潤(rùn)為（7﹣x）元，每天可售出（100+30x）千克，利用總利潤(rùn)＝每千克的銷售利潤(rùn)×日銷售量，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：當(dāng)每千克降價(jià)x元時(shí)，每千克的銷售利潤(rùn)為（7﹣x）元，每天可售出（100+30x）千克．根據(jù)題意得：（100+30x）（7﹣x）＝800．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0），當(dāng)PQ＝BC時(shí)，則t的值為10s．【點(diǎn)撥】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）時(shí)，CP＝2tcm，CQ＝|25﹣t|cm，利用勾股定理，結(jié)合PQ＝BC，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解析】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）時(shí)，CP＝2tcm，CQ＝|25﹣t|cm，根據(jù)題意得：PQ2＝CP2+CQ2，即252＝（2t）2+（25﹣t）2，整理得：t2﹣10t＝0，解得：t1＝0（不符合題意，舍去），t2＝10，∴t的值為10s．故答案為：10s．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和是5，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后所得的數(shù)與原數(shù)相乘，得736，這個(gè)兩位數(shù)是23或32．【點(diǎn)撥】設(shè)原數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是5﹣x，然后根據(jù)等量關(guān)系“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后所得新數(shù)比原數(shù)小9”列一元二次方程求解即可．【解析】解：設(shè)原數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是5﹣x．根據(jù)題意得：[10（5﹣x）+x][10x+（5﹣x）]＝736，整理得，81x2﹣405x+486＝0，解得x＝2或x＝3，所以5﹣x＝5﹣2＝3或5﹣x＝5﹣3＝2．所以這個(gè)兩位數(shù)是23或32．故答案為：23或32．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．10．國(guó)慶期間，某博物館展出的珍貴文物吸引了眾多游客．通過這些文物，人們仿佛穿越時(shí)空，與歷史對(duì)話，這不僅豐富了精神生活，也促進(jìn)了文化的傳承與發(fā)展．據(jù)統(tǒng)計(jì)，博物館10月1日接待的人數(shù)比9月30日的2倍多0.2萬人，這兩天共接待2.9萬人．（1）求博物館10月1日接待游客的人數(shù)；（2）10月2日、3日游客繼續(xù)增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)10月3日接待游客2.88萬人，預(yù)計(jì)10月4日游客數(shù)量將達(dá)到高峰．為使游客有較好的體驗(yàn)效果，規(guī)定人數(shù)達(dá)到3.5萬人時(shí)，將會(huì)采取臨時(shí)限流措施．按10月2日、3日的日平均增長(zhǎng)率計(jì)算，10月4日是否需要臨時(shí)限流？【點(diǎn)撥】（1）設(shè)博物館9月30日接待游客x萬人，則博物館10月1日接待游客（2x+0.2）萬人，根據(jù)這兩天共接待2.9萬人，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再將其代入（2x+0.2）中，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)10月2日、3日的日平均增長(zhǎng)率為y，利用10月3日接待游客數(shù)量＝10月1日接待游客數(shù)量×（1+10月2日、3日的日平均增長(zhǎng)率）2，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之可得出y的值，將其符合題意的值代入2.88（1+y）中，可求出預(yù)計(jì)10月4日接待游客數(shù)量，再將其與3.5萬人比較后，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)博物館9月30日接待游客x萬人，則博物館10月1日接待游客（2x+0.2）萬人，根據(jù)題意得：x+（2x+0.2）＝2.9，解得：x＝0.9，∴2x+0.2＝2×0.9+0.2＝2（萬人）．答：博物館10月1日接待游客2萬人；（2）設(shè)10月2日、3日的日平均增長(zhǎng)率為y，根據(jù)題意得：2（1+y）2＝2.88，解得：y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），∴2.88（1+y）＝2.88×（1+20%）＝3.456（萬人），∵3.456＜3.5，∴按10月2日、3日的日平均增長(zhǎng)率計(jì)算，10月4日不需要臨時(shí)限流．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．11．隨著科技的不斷進(jìn)步，人工智能（AI）正逐漸滲透到我們的生活和工作．從家庭助手到自動(dòng)駕駛汽車，再到智能醫(yī)療，AI的應(yīng)用前景廣闊且充滿無限可能．某人工智能科技體驗(yàn)館在十一假期間為學(xué)生們制訂了豐富多彩的體驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過10人，人均費(fèi)用為240元；如果人數(shù)超過10人，每增加1人，人均費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于170元．（1）若有14人參加旅游，人均費(fèi)用是220元．（2）某興趣小組的學(xué)生們?nèi)⒓芋w驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票的費(fèi)用共3600元，求參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)．【點(diǎn)撥】（1）由題意列式計(jì)算即可；（2）設(shè)參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為x人，根據(jù)團(tuán)體票的費(fèi)用共3600元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解析】解：（1）由題意得：240﹣（14﹣10）×5＝240﹣20＝220，即若有14人參加旅游，人均費(fèi)用是22元，故答案為：220；（2）設(shè)參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為x人，由題意得：x[240﹣5（x﹣10）]＝3600，整理得：x2﹣58x+720＝0，解得：x1＝18，x2＝40，當(dāng)x1＝18時(shí)，240﹣5×（18﹣10）＝200＞170，符合題意；當(dāng)x2＝40時(shí)，240﹣5×（40﹣10）＝90＜170，不符合題意，舍去；答：參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為18人．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．能力提升能力提升12．如圖，在一塊長(zhǎng)28m、寬10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面積是243m2．設(shè)小路的寬度為xm，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243【點(diǎn)撥】設(shè)道路的寬xm，根據(jù)利用平移的性質(zhì)得出草坪的面積＝長(zhǎng)為（28﹣x）m，寬為（10﹣x）m的長(zhǎng)方形的面積，由長(zhǎng)方形面積公式即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：在一塊長(zhǎng)28m、寬10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面積是243m2．設(shè)道路的寬xm，由題意可得：（28﹣x）（10﹣x）＝243．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長(zhǎng)度為27米，AB位置的墻最大可用長(zhǎng)度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個(gè)場(chǎng)地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長(zhǎng)45米．（1）若飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD）的一邊CD長(zhǎng)為8米，則另一邊BC＝24米．（2）若飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長(zhǎng)．（3）飼養(yǎng)場(chǎng)的面積能達(dá)到210平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊CD的長(zhǎng)；若不能達(dá)到，請(qǐng)說明理由．【點(diǎn)撥】（1）由木欄總長(zhǎng)為45米，即可求出BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)CD＝x（0＜x≤15）米，則BC＝（48﹣3x）米，根據(jù)飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD）的面積為180平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合AD位置的墻最大可用長(zhǎng)度為27米（AD＝BC），即可確定結(jié)論；（3）設(shè)CD＝y(tǒng)（0＜y≤15）米，則BC＝（48﹣3y）米，根據(jù)飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD）的面積為210平方米，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣24＜0，即可得出飼養(yǎng)場(chǎng)的面積不能達(dá)到210平方米．【解析】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．故答案為：24．（2）設(shè)CD＝x（0＜x≤15）米，則BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，依題意得：x（48﹣3x）＝180，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．當(dāng)x＝6時(shí)，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合題意，舍去；當(dāng)x＝10時(shí)，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合題意．答：邊CD的長(zhǎng)為10米．（3）不能，理由如下：設(shè)CD＝y(tǒng)（0＜y≤15）米，則BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，依題意得：y（48﹣3y）＝210，整理得：y2﹣16y+70＝0．∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，∴飼養(yǎng)場(chǎng)的面積不能達(dá)到210平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂!”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2022年的20萬人增加到2024年的33.8萬人．（1）求該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率．（2）某網(wǎng)店以每組30元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批啞鈴組．當(dāng)每組售價(jià)為50元時(shí)，12月份售出了150組，隨著市民健身熱情的增加，該網(wǎng)店的啞鈴組十分暢銷．為了回饋顧客，該網(wǎng)店決定從1月份起采用降價(jià)促銷的方式．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該啞鈴組每組每降價(jià)1元，銷售量就增加10組，該網(wǎng)店計(jì)劃1月份售賣啞鈴組獲利3060元，為了盡可能多的讓利于顧客，該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)多少元？【點(diǎn)撥】（1）設(shè)該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)從2022年的20萬人增加到2024年的33.8萬人，列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可；（2）設(shè)該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)m元，則1月份銷售量為（150+10m）組，根據(jù)該網(wǎng)店計(jì)劃1月份售賣啞鈴組獲利3060元，列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可．【解析】解：（1）設(shè)該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為x，由題意得：20（1+x）2＝33.8，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合題意，舍去），答：該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為30%；（2）設(shè)該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)m元，則1月份銷售量為（150+10m）組，由題意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060，整理得：m2﹣5m+6＝0，解得：m1＝2（不符合題意，舍去），m2＝3，答：該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)3元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．根據(jù)以下銷售情況，解決銷售任務(wù)．銷售情況分析總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，它們的銷售情況如下：店面甲店乙店日銷售情況每天可售出20件，每件盈利40元．每天可售出32件，每件盈利30元．市場(chǎng)調(diào)查經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，甲、乙兩家店一天都可多售出2件．情況設(shè)置設(shè)甲店每件襯衫降價(jià)a元，乙店每件襯衫降價(jià)b元．任務(wù)解決任務(wù)1甲店每天的銷售量（20+2a）件（用含a的代數(shù)式表示）．乙店每天的銷售量（32+2b）件（用含b的代數(shù)式表示）．任務(wù)2當(dāng)a＝5，b＝4時(shí)，分別求出甲、乙店每天的盈利．任務(wù)3總公司規(guī)定兩家分店下降的價(jià)格必須相同，請(qǐng)求出每件襯衫下降多少元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．【點(diǎn)撥】任務(wù)1，由題意即可得出結(jié)論；任務(wù)2：，由盈利＝每件盈利×銷售量，分別列式計(jì)算即可；任務(wù)3，設(shè)每件襯衫下降m元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元，列出一元二次方程，解方程即可．【解析】解：任務(wù)1，甲店每天的銷售量為（20+2a）件，乙店每天的銷售量為（32+2b）件，故答案為：（20+2a）件，（32+2b）件；任務(wù)2，當(dāng)a＝5時(shí)，甲店每天的盈利為（40﹣5）×（20+2×5）＝1050（元）；當(dāng)b＝4時(shí)，乙店每天的盈利為（30﹣4）×（32+2×4）＝1040（元）；任務(wù)3，設(shè)每件襯衫下降m元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元，由題意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244，整理得：m2﹣22m+121＝0，解得：m1＝m2＝11，即每件襯衫下降11元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于10cm？（2）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于104cm2？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【點(diǎn)撥】（1）由題意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，則PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，在Rt△PBQ中，由勾股定理得出方程，解之取符合題意的值即可；（2）根據(jù)五邊形APQCD的面積等于104cm2，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解析】解：（1）由題意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，則PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2＝PQ2，即（10﹣2t）2+（4t）2＝102，整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于10cm；（2）存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于104cm2，理由如下：由題意得：S長(zhǎng)方形ABCD＝10×12＝120（cm2），S△PBQ＝PB?BP＝×（10﹣2t）×4t＝﹣4t2+20t，∴S五邊形APQCD＝S長(zhǎng)方形ABCD﹣S△PBQ＝120﹣（﹣4t2+20t）＝104，整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝4，t2＝1，當(dāng)t＝4時(shí)，BQ＝16cm＞12cm，不合題意，舍去；當(dāng)t＝1時(shí)，BQ＝4cm＜12cm，符合題意；∴存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于104cm2，此時(shí)t的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)拔尖17．布置某藝術(shù)中心的會(huì)場(chǎng)時(shí)，工作人員準(zhǔn)備利用35米長(zhǎng)的地為一邊，用68米隔欄繩圍另三邊，設(shè)立一個(gè)面積為600平方米的長(zhǎng)方形等候區(qū)，如圖，為了方便群眾進(jìn)出，在兩邊各空出一個(gè)1米的出入口（出入口不用隔欄繩）．如果設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，那么可以列出關(guān)于x的方程（）A．（68+2﹣2x）?（x﹣1）＝600 B．（68﹣2﹣2x）?（x﹣1）＝600 C．（68+2﹣2x）x＝600 D．（68﹣2﹣2x）x＝600【點(diǎn)撥】利用矩形面積為600，構(gòu)建方程即可．【解析】解：由題意，x（68﹣2﹣2x）＝600．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找等量關(guān)系構(gòu)建方程．18．清初曾傳入中國(guó)兩卷無作者的代數(shù)學(xué)書，被譯為《阿爾熱巴拉新法》，后由中國(guó)近代數(shù)學(xué)家李善蘭改譯為《代數(shù)學(xué)》．該書中記載，形如x2+10x＝56的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖①，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以該正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積均為的矩形，則大正方形的面積為56+25＝81，則原方程的正數(shù)解為9﹣5＝4”．小聰按此方法解關(guān)于y的方程y2+20y+m＝0時(shí)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，已知陰影部分的面積為156，則該方程的正數(shù)解為（）A．6 B．8 C．16 D．【點(diǎn)撥】先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為x的矩形，利用大正方形的面積＝陰影部分的面積+4×小正方形的面積，可得出大正方形的面積，再利用該方程的正數(shù)解＝大正方形的邊長(zhǎng)﹣2×小正方形的邊長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【解析】解：先構(gòu)造一個(gè)面積為y2的正方形，再以該正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積均為5y的矩形，∵陰影部分的面積為156，∴y2+4×5y＝y(tǒng)2+20y＝156，∴大正方形的面積＝156+4×52＝256，∴大正方形的邊長(zhǎng)＝＝16，∴方程y2+20y+m＝0的正數(shù)解為16﹣2×5＝16﹣10＝6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，模仿案例，構(gòu)造出符合題意的大正方形是解題的關(guān)鍵．19．定義新運(yùn)算：，例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若，則x的值為或．【點(diǎn)撥】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程求解即可．【解析】解：∵，而，∴①當(dāng)x≤0時(shí)，則有，解得，；②當(dāng)x＞0時(shí)，，解得，，綜上所述，x的值是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一