《統(tǒng)計學(xué)原理(第五版)》第10章-方差分析

第10章方差分析PowerPoint統(tǒng)計學(xué)10.1方差分析引論10.2單因素方差分析第10章方差分析學(xué)習(xí)目標(biāo)解釋方差分析的概念解釋方差分析的基本思想和原理掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用理解多重比較的意義10.1方差分析引論10.1.1方差分析及其有關(guān)術(shù)語10.1.2方差分析的基本思想和原理10.1.3方差分析的基本假定10.1.4問題的一般提法方差分析及其有關(guān)術(shù)語什么是方差分析(ANOVA)?

(analysisofvariance)表面上看，是檢驗多個總體均值是否相等本質(zhì)上，是研究變量之間的關(guān)系2、分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響3、方差分析就是通過檢驗多個總體均值是否相等來判斷分類型自變量對數(shù)值型因變量是否有顯著影響什么是方差分析?

(例題分析)【例】為了對幾個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表什么是方差分析?

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)

行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758什么是方差分析?

(例題分析)問題：

4個行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，即“行業(yè)X”對“投訴次數(shù)Y”是否有顯著影響2、檢驗這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等3、結(jié)論：（1）若均值相等，說明“行業(yè)”對“投訴次數(shù)”沒有影響，即4個行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量沒有顯著差異；（2）若均值不全相等，說明“行業(yè)”對“投訴次數(shù)”有影響，即它們之間的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異。方差分析中的有關(guān)術(shù)語因素或因子(factor)所要檢驗的對象分析行業(yè)對投訴次數(shù)的影響，行業(yè)是要檢驗的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個行業(yè)被投訴的次數(shù)方差分析中的有關(guān)術(shù)語試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素4水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個總體樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這4個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析中的有關(guān)術(shù)語

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)

行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758水平或處理因素或因子單因素四水平觀測值4個總體樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

(圖形分析—散點圖)零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造從散點圖上可以看出不同行業(yè)被投訴的次數(shù)有明顯差異同一個行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被投訴的次數(shù)較低行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關(guān)系如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒有關(guān)系，那么它們被投訴的次數(shù)應(yīng)該差不多相同，在散點圖上所呈現(xiàn)的模式也就應(yīng)該很接近方差分析的基本思想和原理

(圖形分析)散點圖觀察不能提供充分的證據(jù)證明不同行業(yè)被投訴的次數(shù)之間有顯著差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的需要有更準(zhǔn)確的方法來檢驗這種差異是否顯著，也就是進行方差分析方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理1、因為雖然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時則需要借助于方差，所以叫“方差分析”這個名字2、進行方差分析時，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源它是通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。方差分析的基本思想和原理

(兩類誤差)隨機誤差：抽樣的隨機性所造成的2、系統(tǒng)誤差：不同總體間的系統(tǒng)性因素造成的方差分析的基本思想和原理

(誤差來源及分解)1、組內(nèi)誤差：來自水平內(nèi)部的數(shù)據(jù)誤差。僅為隨機誤差。2、組間誤差：來自不同水平之間的數(shù)據(jù)誤差。隨機誤差與系統(tǒng)誤差的總和。B無差異如果不同水平的均值間（）則不同水平間就（）有系統(tǒng)誤差B不會A會A有差異方差分析的基本思想和原理

(誤差平方和—SS)數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sumofsquares)表示SST組內(nèi)平方和(withingroups)因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和組間平方和(betweengroups)因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和方差分析的基本思想和原理

(誤差平方和—SS)數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sumofsquares)表示組內(nèi)平方和(withingroups)因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，零售業(yè)被投訴次數(shù)的誤差平方和只包含隨機誤差組間平方和(betweengroups)因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)之間的誤差平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差誤差分解圖總誤差（SST)組內(nèi)誤差（SSE）組間誤差（SSA）隨機誤差隨機誤差+系統(tǒng)誤差當(dāng)這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異方差分析的基本思想和原理

(均方—MS)即自變量對因變量有影響因為各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差方差分析的基本思想和原理

(均方—MS)判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，就是檢驗被投訴次數(shù)的差異主要是什么原因所引起的如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對投訴次數(shù)有顯著影響.方差分析的基本思想和原理如果4個行業(yè)被投訴次數(shù)之間不存在系統(tǒng)誤差，，則意味著每個樣本都來自同一總體即H0：

m1=m2=m3=m4Xf(X)

1

2

3

4

方差分析的基本思想和原理

如果4個行業(yè)被投訴次數(shù)之間存在系統(tǒng)誤差，，則意味著4個行業(yè)的樣本來自不同的總體

即H1：

mi(i=1,2,3,4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的Xf(X)

3

1

2

4

方差分析的基本假定方差分析的基本假定每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等觀察值是獨立的比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨立F檢驗統(tǒng)計量F檢驗統(tǒng)計量方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的4個正態(tài)總體的均值是否相等如果4個總體的均值相等，可以期望4個樣本的均值也會很接近4個樣本的均值越接近，推斷4個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分10.2單因素方差分析10.2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)10.2.2分析步驟10.2.3關(guān)系強度的測量10.2.4方差分析中的多重比較分析步驟一、提出假設(shè)二、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量三、統(tǒng)計決策10.2單因素方差分析提出假設(shè)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策10.2單因素方差分析

例題分析【例】為了對幾個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表什么是方差分析?

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)

行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)1234567576649403453446839294556513149213440445165775810.2單因素方差分析

例題分析一、提出假設(shè)設(shè)

1為零售業(yè)被投訴次數(shù)的均值，

2為旅游業(yè)被投訴次數(shù)的均值，

3為航空公司被投訴次數(shù)的均值，

4為家電制造業(yè)被投訴次數(shù)的均值，提出的假設(shè)為H0：

1

2

3

4

H1：

1,

2,

3,

4

不全相等構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE

1a

F分布F

(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F10.2單因素方差分析

例題分析二、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量問題：1、SSA、SSE如何計算

2、自由度如何確定當(dāng)H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布10.2單因素方差分析

例題分析SSA、SSE如何計算構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(例題分析)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量例題分析

(SSE計算及自由度確定)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量例題分析

(SSE計算及自由度確定)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量例題分析

(SSA計算及自由度確定)10.2單因素方差分析

例題分析二、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量10.2單因素方差分析

例題分析三、統(tǒng)計決策根據(jù)給定的顯著性水平

，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應(yīng)的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

。表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設(shè)H0

，無證據(jù)表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響

10.2單因素方差分析

例題分析三、統(tǒng)計決策表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素（行業(yè)）對觀察值（投訴次數(shù)）有顯著影響，4個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異。單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu)及關(guān)系說明)誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)14573485.53.4066485.5142.50.03883.13組內(nèi)(誤差)270819142.5總和416522單因素方差分析

(例題分析)用Excel進行方差分析

(Excel分析步驟)第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】

，然后選擇【確定】第4步：當(dāng)對話框出現(xiàn)時

在【輸入?yún)^(qū)域】方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域在【】方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定)

在【輸出選項】中選擇輸出區(qū)域分析步驟一、提出假設(shè)二、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量三、統(tǒng)計決策10.2單因素方差分析

一般歸納單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

(one-wayanalysisofvariance)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…水平Ak12::n

x11

x21

…

xk1x12

x22

…

xk2::

:

:::

:

:x1n

x2n

…

xkn提出假設(shè)一般提法H0

：m1=m2=…=

mk

自變量對因變量沒有顯著影響

H1：m1

，m2

，…

，mk不全相等自變量對因變量有顯著影響

注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值誤差平方和均方(MS)

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算水平的均值)假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)計算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij

為第i個總體的第j個觀察值

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(例題分析)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總誤差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為前例的計算結(jié)果

SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組間平方和SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為前例的計算結(jié)果SSA=1456.608696構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組內(nèi)平方和SSE)每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映每個樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機誤差的大小計算公式為前例的計算結(jié)果SSE=2708構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(三個平方和的關(guān)系)

總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)之間的關(guān)系SST=SSA+SSE前例的計算結(jié)果

4164.608696=1456.608696+2708構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差由誤差平方和除以相應(yīng)的自由度求得三個平方和對應(yīng)的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-k構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)組間方差：SSA的均方，記為MSA，計算公式為組內(nèi)方差：SSE的均方，記為MSE，計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗統(tǒng)計量

F)將MSA和MSE進行對比，即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量F當(dāng)H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE

1a

F分布F

(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平

的臨界值F

進行比較，作出對原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平

，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應(yīng)的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設(shè)H0

，無證據(jù)表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1關(guān)系強度的測量關(guān)系強度的測量

拒絕原假設(shè)表明因素(自變量)與觀測值之間有顯著關(guān)系組間平方和(SSA)度量了自變量(行業(yè))對因變量(投訴次數(shù))的影響效應(yīng)只要組間平方和SSA不等于0，就表明兩個變量之間有關(guān)系(只是是否顯著的問題)當(dāng)組間平方和比組內(nèi)平方和(SSE)大，而且大到一定程度時，就意味著兩個變量之間的關(guān)系顯著，大得越多，表明它們之間的關(guān)系就越強。反之，就意味著兩個變量之間的關(guān)系不顯著，小得越多，表明它們之間的關(guān)系就越弱關(guān)系強度的測量

變量間關(guān)系的強度用自變量平方和(SSA)占總平方和(SST)的比例大小來反映自變量平方和占總平方和的比例記為R2,即其平方根R就可以用來測量兩個變量之間的關(guān)系強度

關(guān)系強度的測量

(例題分析)

R=0.591404結(jié)論行業(yè)(自變量)對投訴次數(shù)(因變量)的影響效應(yīng)占總效應(yīng)的34.9759%，而殘差效應(yīng)則占65.0241%。即行業(yè)對投訴次數(shù)差異解釋的比例達到近3