中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第22講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(講義3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)20種題型(含5種解題技巧))(原卷版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)20種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)考點(diǎn)二解直角三角形考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念?題型02求角的三角函數(shù)值?題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小?題型08利用同角的三角函數(shù)求解?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解?題型10三角函數(shù)綜合?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積?題型03運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題?題型04運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題?題型05運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題?題型06運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題?題型07運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（新考法/新情境）

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求三角函數(shù)值的確定★★探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.特殊角的三角函數(shù)值★解直角三角形★★能用銳角三角函數(shù)解直角三角形.解直角三角形的應(yīng)用★★能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【考情分析】銳角三角函數(shù)值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過(guò)程是構(gòu)造直角三角形，確定相應(yīng)的邊長(zhǎng)，利用定義求相應(yīng)的三角函數(shù)值，試題難度中等，解題關(guān)鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形.【命題預(yù)測(cè)】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，其考察內(nèi)容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計(jì)2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進(jìn)行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒(méi)有單位，只與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).2.銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：，，.增減變化：當(dāng)0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.【補(bǔ)充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.3.特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：①平方關(guān)系：sin2②商數(shù)關(guān)系：tanA=2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：①互余關(guān)系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數(shù)關(guān)系：tanA1．（2024云南真題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則tanA的值為（

A．45 B．43 C．352．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡(jiǎn)sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin3．（2023·湖北黃石·中考真題）計(jì)算：?134．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD=CD，ADBD=1

考點(diǎn)二解直角三角形1.解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關(guān)系：a23）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補(bǔ)充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.2.解直角三角形的常見類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三).【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對(duì)用正弦，有斜求鄰用余弦，無(wú)斜求對(duì)(鄰)用正切.1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．92．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長(zhǎng)為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為20cm，且有一個(gè)內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm4．（2023·青海西寧·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，則BC的長(zhǎng)約為．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.745．（2024·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求sin∠DAEQUOTEQUOTE考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用1）仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相對(duì)于水平線而言的，在不同的位置觀測(cè)，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.【注意】坡度與坡角是兩個(gè)不同的概念，坡角是兩個(gè)面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關(guān)系是i=h3）方位角、方向角方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟①弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；④得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．【常見類型】航海、建橋修路、測(cè)量樓高、塔高等.1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．這時(shí)，B處距離A處有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為60°，BC=6m，則旗桿AC的高度為3．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024廣州市模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

A．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大2．（2024宣化區(qū)一模）如圖，梯子（長(zhǎng)度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無(wú)關(guān)3．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCABQUOTEQUOTEQUOTE?題型02求角的三角函數(shù)值求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，先確定銳角在哪個(gè)直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，則A．34 B．35 C．452．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F．若AD=8，BE=10，則tan∠ABD=4．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)若BG=1，BF=3，求CF的長(zhǎng)．5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E，連接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC6．（2024·甘肅·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=BD，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)當(dāng)⊙O的半徑為2，BC=3時(shí)，求tan∠AEB?題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)1．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖像上，頂點(diǎn)B、C在第一象限，對(duì)角線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)D．若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC=

2．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CE=1，sin∠BAD=133．（2022·廣西貴港·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，O為AC上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、F，連接OD交AE于點(diǎn)M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CD．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若tan∠ABE=12，求CD5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+53x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,1，與

(1)求拋物線的解析式．(2)直線y=23x?4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線EF⊥x軸，交AD于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)BE=DF(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，OE與BN交于點(diǎn)M．若OE=BN，tan∠BME=34QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解1．（2023·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）在實(shí)數(shù)2,x0A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，在數(shù)據(jù)?sin45°，2，0，+7，?0.5，π中是負(fù)數(shù)的有（A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A0,1，B4,1，C5,6，則sin

A．12 B．135 C．224．（2023·山東青島·一模）計(jì)算：sin30°+35．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與點(diǎn)B(cos60°,?3)關(guān)于x軸對(duì)稱，如果函數(shù)y=kx6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)求值：x+1x?3?QUOTE?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算是一類重要題型，解這類問(wèn)題時(shí)，要熟記30°、45°60°角的三種三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確地把值代入算式，結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序及運(yùn)算法則進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）計(jì)算：(12．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）計(jì)算：??3．（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）計(jì)算：2?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，將線段DC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上時(shí)，圖中陰影部分的面積是．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E在AC上，以CE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AB上的點(diǎn)D，與OB交于點(diǎn)F，且BD=BC(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AD=3，AE=1，求CF3．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角4．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A6,a，將正比例函數(shù)圖象向下平移nn>0個(gè)單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點(diǎn)B，C，與x軸，y軸交于點(diǎn)D，E，且滿足BE:CE=3:2．過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，G為x軸上一點(diǎn)，直線BC與BG(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求n的值及△BCG的面積．?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1=L?cosα，阻力臂L2

A．越來(lái)越小 B．不變 C．越來(lái)越大 D．無(wú)法確定2．（2023·上海靜安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定3．（21-22九年級(jí)上·上海靜安·期末）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan4．（2020·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）比較大?。簊in54°cos35°（填“<”“?題型08利用同角的三角函數(shù)求解1．（2023·湖南婁底·中考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△ABC的面積為S△ABC=12a2b2?a2+b2?c222．A．cosC=a2C．cosC=a22．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，連接BE．設(shè)∠BAF=α，∠BEF=β，正方形EFGH和正方形ABCD的面積分別為S1和S23．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：2sin230°?6（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x?3=0的兩個(gè)實(shí)根，求4．（2024·山西晉城·二模）如圖，在矩形ABCD中，BC=6，CD=4，E為BC邊上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為G，交AB邊于點(diǎn)F，連接AG．若CE=2，則線段AG的長(zhǎng)為．?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解1．（2021·湖南婁底·中考真題）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號(hào)叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時(shí)減速慢行．如圖，用平行四邊形ABCD表示一個(gè)“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，過(guò)B作AD的垂線，垂足為A'（A點(diǎn)的視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)點(diǎn)），若sinα=0.05,AB=300mm，則A2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為半圓O的直徑，C為AB上一點(diǎn)，連接AC，BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在直徑AB上求作一點(diǎn)D，使：sin∠ACD=3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當(dāng)α=30°，β=60°時(shí)，驗(yàn)證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對(duì)的邊為a，∠B所對(duì)的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，?題型10三角函數(shù)綜合1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線y=34x上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊與直線OA交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段AB2．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究BDCE【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的中線BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)且k≠0）上有一點(diǎn)A?3,m，且與直線y=?2x+4

(1)求k與m的值；(2)過(guò)點(diǎn)A作直線l∥x軸與直線y=?2x+4交于點(diǎn)C，求2．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A(3,0)和B(?1,0)，交y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)DNON的值最大時(shí)，求點(diǎn)D(3)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ=343．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y=ax2?2ax?3aa>0與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為(1)求線段AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)a=1時(shí)，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD(3)延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)AD=DE時(shí)，將△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．將拋物線L平移得到拋物線L'，使得點(diǎn)A'，B4．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C，已知A1,0、B3,0，C0,3，M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)（M位于點(diǎn)C下方），過(guò)點(diǎn)M的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點(diǎn)P、Q（P在(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，四邊形PMGH是正方形，連接CP，△PNC的面積為S1，正方形PMGH的面積為S2，求(3)如圖2，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O．①動(dòng)點(diǎn)F在⊙O上，連接BF、CF，請(qǐng)直接寫出BF+13CF②點(diǎn)P是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，當(dāng)sin∠APB的值最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出P5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=?x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，連接BC，tan∠BCO=(1)如圖1，求直線BC的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)Q在線段OB上，OQ=3OP，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)Q作DQ⊥x軸交BC于點(diǎn)D，連接DP，△BDP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)G，DG交OC于點(diǎn)F，連接DE交y軸于點(diǎn)M，連接PM，tan∠DPM=38?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用1．（2023·湖南婁底·一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sinα?β=sinαcosβ?cosαsinβ，sinα+β=sinα2．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運(yùn)算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α?β)=sinαcos3．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運(yùn)算：cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，A．6+24 B．6?244．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）一般地，當(dāng)α，β為任意角時(shí)，sin(α+β)，sin(α?β)，cos(α+β)sin(α+β)=sin(α?β)=cos(α+β)=cos(α?β)=例如：sin90°=類似地，求：(1)sin15°(2)cos75°(3)tan165°的值[提示：對(duì)于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα=sin?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值1．（2020·湖北荊州·中考真題）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C均在網(wǎng)格交點(diǎn)上，⊙O是△ABC的外接圓，則cos∠BAC的值是（

）A．55 B．255 C．12．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．333．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)A、B、C、D、O均在格點(diǎn)上，其中A、B、D又在⊙O上，點(diǎn)E是線段CD與⊙O的交點(diǎn)．則∠BAE的正切值為．4．（2024茅箭區(qū)二模）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的4×4網(wǎng)格，則tan∠BAC=5．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6×7的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)求sinD(2)操作與計(jì)算：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，并直接寫出CE的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．52．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點(diǎn)，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21143．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，DE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE與BC交于點(diǎn)F．若AB=3，BC=4，則點(diǎn)F到BD的距離為．4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點(diǎn)D在⊙O上．連接CD，交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，CA，兩線相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BP于點(diǎn)G．(1)求證：AG∥CD；(2)求證：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A4,2在函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：asin證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則：在RtΔBCD中，CD=asinB，在RtΔACD中，CD=b(1)如圖2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：b(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，2．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）知識(shí)再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．∵sinA=ac，sinB=bc(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．請(qǐng)?zhí)骄縜sinA，bsin(2)解決問(wèn)題：如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．3．（2022·江蘇蘇州·一模）【理解概念】定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且∠C>90°．①若∠A=60°，則∠B=______°；②若∠A=40°，則∠B=______°；【鞏固新知】(2)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=2，點(diǎn)D在AC【解決問(wèn)題】(3)如圖②，在四邊形ABCD中，CD=CB，∠ABD=∠BCD，AB=5，4．（2023·安徽·二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，AB=10，AC=6，點(diǎn)C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點(diǎn)．(1)求△ABC的面積；(2)求CE的長(zhǎng)．5（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線W1：y=ax2+bx?2與x軸交于A，D兩點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)A在直線(1)求拋物線W1(2)將拋物線W1沿x軸翻折后得到拋物線W2，W2與直線l交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線W2上A，B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），PM⊥AB于M，PN∥y軸交6．（2024·湖北武漢·一模）【問(wèn)題提出】在等腰△ABC中，AB=AC,BC=4,D為BC中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)E,F，連接EF，試探究點(diǎn)D到線段EF的距離．【問(wèn)題探究】（1）先將問(wèn)題特殊化，如圖2，當(dāng)點(diǎn)E和A重合時(shí)，直接寫出D到線段EF的距離（用含sina（2）再探究一般情形，如圖1，證明（1）中的結(jié)論仍然成立；【問(wèn)題拓展】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的兩邊分別交直線AB,AC于點(diǎn)E,F，連接EF．若EF⊥AB，直接寫出ACCF的值（用含tanQUOTE?題型03運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題1）實(shí)際問(wèn)題中已知視角的度數(shù)求邊長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，求出這個(gè)角的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的定義求得相應(yīng)邊長(zhǎng).2）利用三角函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中視角的度數(shù)時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，并根據(jù)已知條件求出這個(gè)角的三角函數(shù)值，再求出角的度數(shù).1．（2024·河北·中考真題）中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ=2.6m，AC的延長(zhǎng)線交(1)求β的大小及tanα(2)求CP的長(zhǎng)及sin∠APC2．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)∠APB為最大視角．(1)請(qǐng)僅就圖2的情形證明∠APB>∠ADB．(2)經(jīng)測(cè)量，最大視角∠APB為30°，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角∠APE為60°，點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：3．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)．于是小組成員開展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，已知一風(fēng)電塔筒AH垂直于地面，測(cè)角儀CD，EF在AH兩側(cè)，CD=EF=1.6m，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距182m（點(diǎn)C，H，E在同一條直線上），在D處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)A的仰角為45°，在F處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為53°．求風(fēng)電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈454．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度．如圖，無(wú)人機(jī)在離地面40米的D處，測(cè)得操控者A的俯角為30°，測(cè)得樓BC樓頂C處的俯角為45°，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量得到操控者A和大樓BC之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點(diǎn)A，B，?題型04運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題方向角問(wèn)題應(yīng)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個(gè)三角形中或者在同一個(gè)斜三角形中，需要添加輔助線.在解題的過(guò)程中，有時(shí)需要設(shè)未知數(shù)，通過(guò)構(gòu)造方程(組)來(lái)求解.1．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽、D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．2．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島C，某漁船在海中的A點(diǎn)測(cè)得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得小島C位于北偏西30°方向上，再沿北偏東60°方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離（計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．3．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

?題型05運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題解決這類問(wèn)題時(shí)，要利用已知角度構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中求解.1．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為45°，在E處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為(1)求點(diǎn)B離水平地面的高度AB．(2)求電線塔CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．2．（2023·湖北恩施·中考真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過(guò)觀察廣場(chǎng)的臺(tái)階與信號(hào)塔之間的相對(duì)位置，他認(rèn)為利用臺(tái)階的可測(cè)數(shù)據(jù)與在點(diǎn)A，B處測(cè)出點(diǎn)D的仰角度數(shù)，可以求出信號(hào)塔DE的高．如圖，AB的長(zhǎng)為5m，高BC為3m．他在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為38.7°，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號(hào)塔DE的高嗎？若能，請(qǐng)求出信號(hào)塔3．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測(cè)量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

4．（2023·四川自貢·中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過(guò)程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡AB，BC，如圖2，同學(xué)們將兩根直桿MN，MP的一端放在坡面起始端A處，直桿MP沿坡面AB方向放置，在直桿MN另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角α的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角β的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡AB，BC，CD的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為24°，30°，45°；為求BH，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含24°角的(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)MN與鉛垂線NG重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿NP，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得∠MNP的度數(shù)，從而得到山頂仰角β1，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角β2；畫一個(gè)含β1的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a1厘米，b1厘米，再畫一個(gè)含β2的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a2厘米，b2厘米．已知桿高?題型06運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題1．（2024·福建·中考真題）無(wú)動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對(duì)帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識(shí)，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動(dòng)桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿AD處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度α，且tanα=34（α3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）城市軌道交通發(fā)展迅猛，為市民出行帶來(lái)極大方便，某?！熬C合實(shí)踐”小組想測(cè)得輕軌高架站的相關(guān)距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)得到了如下記錄表：綜合實(shí)踐活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量輕軌高架站的相關(guān)距離測(cè)量工具測(cè)傾器，紅外測(cè)距儀等過(guò)程資料相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)明：圖中點(diǎn)A,B,C,D，E,F在同平面內(nèi)，房頂AB，吊頂CF和地面DE所在的直線都平行，點(diǎn)F在與地面垂直的中軸線AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m成果梳理……請(qǐng)根據(jù)記錄表提供的信息完成下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)C到地面DE的距離；(2)求頂部線段BC的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan4．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，