北京市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一選擇題（本題共30分，每小題3分）

1（3分）如圖所示，點P到直線I的距離是（）

A線段PA的長度B線段PB的長度C線段PC的長度D線段PD的長度

2（3分）若代數(shù)式一二有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

X-4

Ax=0Bx=4Cx#0DxW4

3（3分）如圖是某個兒何題的展開圖，該兒何體是（）

A三棱柱B圓錐C四棱柱D圓柱

4(3分)實數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是

()

IgI---1--1-4-1--L-?-l---1--1_t_|

-5-4-3-2-1012345

Aa>-4Bbd>0Ca>bDb+c>0

5（3分）「經(jīng)圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（)

6（3分）若正多邊形的一個內(nèi)角是150。，則該正多邊形的邊數(shù)是（）

A6B12C16D18

4a2

7（3分）如果a2+2a?l=0,那么代數(shù)式（a——）?——的值是（）

aa-2

A-3B-1ClD3

8（3分）下面的統(tǒng)計圖反映了我國與〃一帶一路〃沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況

2024-我國叮東南亞地區(qū)和東歐地區(qū)的貿(mào)易額統(tǒng)計圖

個貿(mào)易額億美元

50004803.6

4003.04718.745544T-東南亞地區(qū)

40004436.5

-?…?東歐地區(qū)

30003632.5

20001523.61660.6-

…1368.2

1571.0

10001440.11332.0

0201120122013201420152016

年份

（以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路〃貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2024）》）

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列推理不合理的是（）

A與相比，我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長

B2024-,我‘與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長

躥贊南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4200億美元

C2024-,

D我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多

9（3分）小蘇和小林在如圖1所示的跑道上進行4X50米折返跑在整個過程中，

跑步者距起跑線的距離y（單位：m）與跑步時間t（單位：s）的對應(yīng)關(guān)系如圖

2所示下列敘述正確的是（）

圖1

A兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達終點

B小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程

D小林在跑最后100m的過程中，與小蘇相遇2次

10（3分）如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y(jié)果

/

下面有三個推斷：

①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上〃的次數(shù)是308,所以〃釘尖向上〃

的概率是0616；

②隨著實驗次數(shù)的增加，〃釘尖向上〃的頻率總在0618附近擺動，顯示出?定的

穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上〃的概率是0618；

③若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上〃的概率一定

是0620

其中合理的是（）

A①B②C①②D①③

二填空題（本題共18分，每題3分）

11（3分）寫出一個比3大且比4小的無理數(shù):

12（3分）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其中籃

球的單價比足球的單價多3元,求籃球的單價和足球的單價設(shè)籃球的單價為x元,

足球的單價為y元，依題意，可列方程組為

13（3分）如圖，在AABC中，MN分別為AC,BC的中點若SMMN=1,則S四邊形

14（3分）如圖，AB為。。的直徑，CD為。0上的點，AD二CD若NCAB=40。，則

ZCAD=_______

15（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，ZXAOB可以看作是aOCD經(jīng)過若干

次圖形的變化（平移軸對稱旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一中由aocD得到aAOB的過程：

%

16（3分）圖1是〃作已知直角三角形的外接圓〃的尺規(guī)作圖過程

已知：RtAABC,ZC=90°,求作RtZ\ABC的外接圓

作法：如圖2/

（1）分別以點A和點B為圓心，大于亍/B的長為半徑作弧，兩弧相交于P,Q

兩點；

（2）作直線PQ,交AB于點0；

（3）以。為圓心，0A為半徑作。0。0即為所求作的圓

請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是

三解答題（本題共72分，第17題?26題，每小題5分，第27題7分，第28題

7分，第29題8分）解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟

17（5分）計算：4cos30°+（1-V2）0-V12+-|-2

f2(x+1)>5%-7

18（5分）解不等式組:怛/>2x

19（5分）如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于點D

求證：AD=BC

20（5分）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的〃從長方形對角線

I：任?點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所示）〃

這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用〃出入相補〃原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古

證

（以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)

泰斗劉徽》）

請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程

證明：S矩形NFGD=SAADC-（SAANF+SAFGC），S矩形EBMF=SAABC-（+）

易知1,SAADC=^AABC>=，=

可得S矩形NFGD=S矩形EBMF

為

21（5分）關(guān)于x的一元二次方程X?-（k+3）x+2k+2=0

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一根小于1,求k的取值范圍

22（5分）如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD〃BC,AD=2BC,Z

ABD=90°,E為AD的中點，連接BE

（1）求證，四邊形BCDE為菱形;

(2)連接AC,若AC平分NBAD,BC=1,求AC的長

k

23(5分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=-(x>0)的圖象與直線y=x

X

-2交于點A(3,m)

(1)求km的值；

(2)已知點P(n,n)(n>0),過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于

點M,過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=-(x>0)的圖象于點N

X

①當n=l時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若PN2P叫合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍

24（5分）如圖，AB是00的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC_L0A于點C,

過點B作00的切線交CE的延長線于點D

（1）求證：DB=DE；

（2）若AB=12,BD=5.求00的半徑

25（5分），板仄甲乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)

技能情況，進行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補充完整

收集數(shù)據(jù)

從甲乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進行了生產(chǎn)技能測試，測試成績（百分

制）如下：

甲78867481757687707590757981707480

86698377

乙93738881728194837783808170817378

82807040

整理描述數(shù)據(jù)

按如下分數(shù)段整理描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：

成績x40Wx<50Wx<60WxW70<xW80<x<90<x

4959697989<100

人數(shù)

部門

甲001117a.

乙_____________

（說明：成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70--79分為生產(chǎn)技能良好，60-

-69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格）

分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)如下表所示:

部門平均數(shù).中位數(shù)眾數(shù)

甲78377575

乙7880581

得出結(jié)論：a估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；b可以推斷出

部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為（至少從兩個不同的角度說明推

斷的合理性）

26（5分）如圖，P是AB所對弦AB上一動點，過點P作PM1AB交AB于點M,

連接MB,過點P作PNJ_MB于點N己知AB=6cm,設(shè)AP兩點間的距離為xcm,

PN兩點間的距高為ycm（當點P與點A或點B重合時，y的值為0）

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究

下面是小東的探究過程，請補充完整:

（1）通過取點畫圖測量，得到了x與y的兒組值，如下表:

x/cm0123456

y/cm0202321—090

-1

（說明:今學(xué)格時相關(guān)數(shù)值保留?位小數(shù)）

（2）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出

該函數(shù)的圖象

（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當aPAN為等腰三角形時，AP的長度約

為cm

27（7分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點AB（點A

在點B的左側(cè)）,與v軸交于點C

（1）求直線BC的表達式；

（2）垂直于y軸的直線I與拋物線交于點P（xi，yi）,Q（x2,y2）,與直線BC

交于點N（X3，丫3），若XiVx2VX3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍

28（7分）在等腰直角4ABC中，ZACB=90°,P是線段BC上一動點（與點BC

不重合），連接AP,延KBC至點Q,使得CQ=CP,過點Q作QH_LAP于點H,

交AB于點M

（1）若NPAC=a,求/AMQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）

（2）用等式四線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

鳧

29（8分）在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若在圖

形M上存在一點Q,使得PQ兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關(guān)

聯(lián)點

（1）當。。的半徑為2時，

__11V35

①在點Pio）,P2（J,-P3（3，o）中，的關(guān)聯(lián)點是

②點P在直線y=-x上，若P為。。的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍

（2）（DC的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+l與x軸y軸交于點AB若線

段AB上的所有點都是OC的關(guān)聯(lián)點，直接寫出II心C的橫坐標的取值范圍

為

北京市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一選擇題（本題共30分，每小題3分）

1（3分）（2024?北京）如圖所示，點P到直線I的距離是（）

A線段PA的長度B線段PB的長度C線段PC的長度D線段PD的長度

【考點】J5：點到直線的距離

【分析】根據(jù)點到直線的距離是垂線段的長度，可得答案

【解答】解；由題意，得

點P到直線I的距離是線段PB的長度，

故選：B

【點評】本題考查了點到直線的距離，利用點到直線的距離是解題關(guān)鍵

X

2（3分）（2024?北京）若代數(shù)式一有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

Ax=0Bx=4CxWODx#4

【考點】6號學(xué)個有意義的條件

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出X的范圍;

【解答】解：由意義可知：x-4^0,

，xW4,

故選（D）

【點評】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)犍是正確理解分式有意義的條件,

本題屬于基礎(chǔ)題型

3（3分）（2024?北京）如圖是某個幾何題的展開圖，該幾何體是（）

A三棱柱B圓錐C四棱柱D圓柱

【考點】丘幾何體的展開圖

【分析】側(cè)面為三個長方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱

【解答】解：觀察圖形可知，這個幾何體是三棱柱

故選：A

【點評】本題考查的是三棱柱的展開圖，考法較新穎，需要對三棱柱有充分的理

解

4（3分）（2014?北京）實數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則

,to）

正確的結(jié)論是（)

llglI1?1ifl11g1）

-5-4-3-2-1012345

Aa>-4Bbd>0Ca|>b|Db+c>0

【考點】29：實數(shù)與數(shù)軸

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置關(guān)系，可得a,b,c,d的大小，根據(jù)有理數(shù)的運

算，絕對值的性質(zhì)，可得答案

【解答】解：由數(shù)軸上點的位置，得

a<-4<b<0<c<l<d

Aa<-4,故A不符合題意；

Bbd<0,故B不符合題意；

C|a>4=|d,故C符合題意；

Db+c<0,故D不符合題意；

故選：C

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸上點的位置關(guān)系得處a,b,c,d的

大小是解題關(guān)鍵

5（3分）（2024?北京）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解

【解答】解：A是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項正確；

B是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤

故選A

【點評】本題考杳了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后兩部分重合

6(3分)(2024?北京)若正多邊形的一個內(nèi)角是150。，則該正多邊形的邊數(shù)是

()

A6B12C16D18

【考點】L3：多邊形內(nèi)角與外角

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案

【解答】解：設(shè)多邊形為n邊形，由題意，得

(n-2)?1800=150n,

解得n=12,

故選：B/

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，利用內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵

4

7（3分）（2024?北京）如果a2+2a-1=0,那么彳弋數(shù)式（a—-）?！闹凳牵ǎ?/p>

aa-2

A-3B-1ClD3

【考點】6D：分式的化簡求值

【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以化簡題目中的式子，然后對a2+2a-1=0變

形即可解答本題

4a2

【解答】解：（a--）?--

aa-2

a2-4a2

aa-2

（a+2）（a-2）a2

aa-2

=a（a+2）

=a2+2a,

*.*a2+2a-1=0,

.*.a2+2a=l>

???原式=1,

故選C

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法

8（3分）口及4?J匕京）下面的統(tǒng)計圖反映了我國與“一帶一路〃沿線部分地區(qū)的

貿(mào)易情況

2024-我國與東南亞地區(qū)和東歐地區(qū)的貿(mào)易額統(tǒng)計圖

個貿(mào)易額億美元

5000

T-東南亞地區(qū)

4000

-?…?東歐地區(qū)

3000

200015季...噪。.613682

ma最「

1000

0201120122013201420152016

年份

（以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路〃貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2024）》）

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列推理不合理的是（）

A與相比，我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長

B2024-,我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長

C2024-,我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4200億美元

D我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多

【考點】VD：折線統(tǒng)計圖

【分析】利用折線統(tǒng)計圖結(jié)合相應(yīng)數(shù)據(jù)，分別分析得出符合題意的答案

【解答】解：A由折線統(tǒng)計圖可得：

與相比，我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長，正確，不合題意；

B由折線統(tǒng)計,可得：2024-,我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長，故此選項

錯誤，符合的＞

C2024-,我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值為：

（36325+40030+44365+48036+47187+45544）4-6^4358,

故超過4200億美元，正確，不合題意，

DV45544313682=333,

.??我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多，

故選：B

【點評】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖，利用折線統(tǒng)計圖獲取正確信息是解題關(guān)鍵

9（3分）（2024?北京）小蘇和小林在如圖1所示的跑道上進行4X50米折返跑

在整個過程中，跑步者距起跑線的距離y（單位：m）與跑步時間t（單位：s）

的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示下列敘述正確的是（）

諼小林顯

*-------50m-------->

圖1

A兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達終點

B小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程

D小林在跑最后100m的過程中，與小蘇相遇2次

【考點】E6：函數(shù)的圖象

【分析】通過函數(shù)圖象可得，兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達終點，小蘇后

路程

到達終點，小蘇用的時間多，而路程相同，根據(jù)速度二通力根據(jù)行程問題的數(shù)

量關(guān)系可以求出甲乙的速度.所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均

速度，根據(jù)圖象小蘇前15s跑過的路程小于小林前.15s跑過的路程,兩人相遇時，

即實線與虛線相交的地方有兩次，即可解答

【解答】解：由函數(shù)圖象可知：兩人從起跑線同時出發(fā)，先后到達終點，小林先

到達終點，故A錯誤；

根據(jù)圖象兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達終點，小蘇后到達終點，小蘇用的

路程

時間多，而路程相同，根據(jù)速度二誣，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑

全程的平均速度，故B錯誤；

根據(jù)圖象小蘇前15s跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，故C錯誤；

小林在跑最后100m的過程中，兩人相遇時，即實線叮虛線相交的地方，由圖象

可知2次，故D正確；

故選：D

【點評】本題六要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象

上的數(shù)據(jù)?嫄制函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論

10（3分）（2024?北京）如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒?/p>

的結(jié)果

下面有三個推斷：

①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄〃釘尖向上〃的次數(shù)是308,所以“釘尖向上〃

的概率是0616；

②隨著實驗次數(shù)的增加，"釘尖向上〃的頻率總在0618附近擺動，顯示出一定的

穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上〃的概率是0618；

③若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，"釘尖向上〃的概率一定

是0620

其中合理的是（）

A①B②C①②D①③

【考點】X8：利用頻率估計概率

【分析】根據(jù)圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題

【解答】解：當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄"釘尖向上〃的次數(shù)是308,所以

此時“釘尖向上〃的可能性是：308+500=0616,但〃釘尖向上〃的概率不一定是0616,

隨著實驗次數(shù)的增加，〃釘尖向上〃的頻率總在0618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)

定性，可以估計〃釘尖向上〃的概率是0618故②正確，

若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，〃釘尖向上〃的概率可能是

0620,但不一定是0620,故③錯誤，

故選B

【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答

二填空題（本題共18分，每題3分）

11（3分）（2024?北京）寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：幾

【考點】26：無理數(shù)

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可

【解答】解：寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：71,

故答案為：R

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù),

無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)如TI,傷,08080080008”每兩個8之間依次多1個0）

等形式

12（3分）（2024?北京）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435

元，其中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價設(shè)籃球的

儼_y=3

單價為x元，足球的單價為y元，依題意，可列方程組為

(4%+5y=435—

【考點】99：由實際問題抽象出二元一次方程組

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①4個籃球的花費+5個足球的花費=435元，

②籃球的單價?足球的單價=3元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可

【解答】解：設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得：

（x-y=3

[4x+5y=435*

故答案為.p_y=3

取口殺〃.（4x+5y=435

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題

意，找出題目中的等量關(guān)系

13（3分）（2024?北京）如圖,在“BC中,MN分別為AC,BC的中點若SACMN=1，

貝VS四邊形ABNM=3

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KX：三角形中位線定理

【分析】證明MN是AABC的中位線，得出MN〃AB,且MN=：AB,證出△CMN

-△CAB,根據(jù)面積比等于相似比平方求出aCMN與4CAB的比，繼而可得出△

CMN的面積與四邊形ABNM的面積比最后求出結(jié)論

【解答】解：：/M,N分別是邊AC,BC的中點，

AMN是的中位線，

???MN〃AB,且MN』AB,

2

AACMN^ACAB,

?S^CMN/MN1

S^CABAB4

.S^CMN1

??=~,

S四邊形ABNM3

??S四邊影ABNM=3S?XAMN=3X1=3

故答案為：3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)三角形中位線定理；熟練掌握三角

形中位線定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵

14（3分）（2024?北京）如圖，AB為。。的直徑，CD為。。上的點，AD二CD若

ZCAB=40°,則NCAD=25。

【考點】M5：圓周角定理

【分析】先根據(jù)AD二CD得出而二前，再由AB為。。的直徑，NCAB=40。得出尻:

的度數(shù)，進而可得出祀的度數(shù)，據(jù)此可得出結(jié)論

【解答】解：VAD=CD,

:.Ab=cbJ^\,

TAB為。0的直徑，ZCAB=40°,

.?.比=80°,

：.AC=130°-80°=100°,

：.Ab=CD=S0°,

.*.ZCAD=25O

故答案為：25。

【點評】本題考查的是圓周角定理，弧弦的關(guān)系，根據(jù)題意得出前的度數(shù)是解

答此題的關(guān)鍵

15（3分）（2024?北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，^AOB可以看作是△

OCD經(jīng)過若干次圖形的變化（平移軸對稱旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一中由aOCD得

S0AAOB的過程：AOCD繞C點旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移2個單位得到^AOB

【考點】R7：坐標與圖形變化■旋轉(zhuǎn)；P6：坐標與圖形變化-對稱；Q3：坐標

與圖形變化-平移

【分析】,平移的性質(zhì)即可得到由AOCD得至IJZXAOB的過程

【解答】解：ZXOCD繞C點旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移2個單位得到aAOB（答案不

唯一）

故答案為：AOCD繞C點旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移2個單位得到AAOB

【點評】考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移，對稱，解題時需要注意：平移的

距離等于對應(yīng)點連線的長度，對稱軸為對應(yīng)點連線的垂直平分線，旋轉(zhuǎn)角為對應(yīng)

點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角的大小

16（3分）（2024?北京）圖1是〃作已知直角三角形的外接圓〃的尺規(guī)作圖過程

已知：RtAABC.ZC=90%求作Rt/\ABC的外接圓

作法：如圖2

（1）分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P,Q

兩點；

（2）作直線PQ,交AB于點O；

（3）以0為圓心，0A為半徑作。0。0即為所求作的圓

請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直

平分線上；90。的圓周角所的弦是直徑

【考點】N3：作圖一復(fù)雜作圖；MA：三角形的外接圓與外心

【專題】13:作圖題

【分析】由于90。的圓周角所的弦是直徑，所以RtAABC的外接圓的圓心為AB

的中點，然后作AB的中垂線得到圓心后即可得到RtAABC的外接圓

【解答】解：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂

直平分線上；90。的圓周角所的弦是直徑

故答案為到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；90。的圓周

角所的弦是直徑

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基木作圖的基礎(chǔ)卜進行

作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉

基本兒何圖形的性質(zhì)，結(jié)合兒何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐

步操作

三解答題（本題共72分，第17題?26題，每小題5分，第27題7分，第28題

7分，第29題8分）解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟

17（5分）（2024?北京）計算：4cos30°+（1-V2）0-712+-2|

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)鬲；T5：特殊角的三角函數(shù)值

【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值絕對值的性質(zhì)分別化

簡得出答案

【解答】解：原式=4義~^-+1-2V3+2

=2V3-2V3+3r

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵

2(x+1)>5%-7

分）（?北京）解不等式組:

18（52024”+10

>2%

【考點】CB：解一元一次不等式組

【分析】利用不等式的性質(zhì)，先求出兩個不等式的解集，再求其公共解

2(x+l)>5x-7①

【解答】解:

5

由①式得x<3；

由②式得x<2,

所以不等式組的解為xV2

【點評】此題考查解不等式組；求不等式組的解集，要遵循以下原則：同大取較

大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了

19（5分）（2024?北京）如圖，在4ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC

交AC于點D

求證：AD=BC

A

D

B

【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ABC=C=72。，根據(jù)角平分線的定義得到N

ABD=ZDBC=36°,ZBDC=72°,根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論

【解答】證明：TAB=AC,ZA=36°,

AZABC=C=72°,

,；BD平分NABC交AC于點D,

.e.ZABD=ZDBC=36°,ZBDC=72°,

/.ZA=ZABD,ZBDC=ZC,

/.AD=BD=BC

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵,

注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

20（5分）（2024?北京）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的〃從

長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相

等（如圖所示）〃這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用〃出入相補〃原理復(fù)原了《海

島算經(jīng)》九題古證

（以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)

泰斗劉徽》）

請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程

證明：S矩形NFGD=SZ\ADC-（SAANF+SAFGC），S矩形EBMF=S^ABC-（SMEF+S^FCM）

易知，SAADC=5/ABC，ShANF=S/.AEF，S.,FGC=S/JMC

可得S知形NFGD=s如杉EBMF

【考點】LB：矩形的性質(zhì)

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)：矩形的對角線把矩形分成面積相等的兩部分，由此即

可證明結(jié)論

【解答】證明：S矩形NFG)=SMDC-(SAANF十SAFGC)，S矩形EBMF=S&ABC-(S△ANF+SAF:M)

易知，SZ.ADC=SAABC?SAANF=SAAEF，SAFGC=SAFMC>

可得s矩形NFGD=s中形EBMF

故答案分別為SaAEF，SAFCM?SAANF，SAAEF，SAFGC，SAFMC

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的對角線把矩形分成

面積相等的兩部分這個性質(zhì)，屬于中考?？碱}型

21（5分）三（2024?北京）關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0

（1）求證，商喂總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一根小于1,求k的取值范圍

【考點】AA：根的判別式

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得△:(k-1)220,由此可

證出方程總有兩個實數(shù)根；

(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出x】=2x2=k+l,根據(jù)方程有一根小

于1,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍

【解答】(1)證明：,在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中，△=[-(k+3)]2-4X1

X(2k+2)=k2-2k+l=(k-1)2^0,

???方程總有兩個實數(shù)根

(2)解：Vx2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,

??Xi=2,X2=k+1

??,方程有一根小于1,

Ak+l<l,解得：k<0,

???k的取值范圍為kVO

【點評】本題考查了根的判別式因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等

式，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當△》()時，方程有兩個實數(shù)根〃；(2)利用因式

分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于1,找H關(guān)于k的一元一次方程

22(5分)(2024?北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD〃BC,

AD=2BC,ZABD=90°,E為AD的中點,連接BE

(1)求證：向邊形BCDE為菱形；

(2)連接AC,若AC平分NBAD,BC=1,求AC的長

【考點】LA：菱形的判定與性質(zhì)；KP：直角三角形斜邊上的中線

【分析】(1)由DE=BC,DE〃BC,推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE

即可解次問題；

(2)在Rt△只要證明NADC=60。,AD=2即可解決問題;

【解答】(1)證明：?.?AD=2BC,E為AD的中點，

ADE=BC,

VAD//BC,

???四邊形BCDE是平行四邊形,

VZABD=90°,AE=DE,

ABE=DE,

???四邊形BCDE是菱形

(2)解：連接AC

VAD/7BC,AC平分NBAD,

為

AZBAC=ZDAC=ZBCA,

AAB=BC=1,

VAD=2BC=2,

1

.*.sinZADB~,

2

.?.ZADB=30°,

AZDAC=30°,ZADC=60°,

在RtZXACD中，VAD=2,

ACD-I,AC-V3

【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)銳角三角函數(shù)等

知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考?？碱}型

k

23(5分)(2024?北京)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y:一(x>0)的

x

圖象與直線y=x-2交于點A(3,m)

(1)求km的值；

(2)已知字J*n,n)(n>0),過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于

k

點M,過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=-(x>0)的圖象于點N

X

①當n=l時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若PN2PM,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】(1)將A點代入y=x-2中即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比

例函數(shù)中即可求出k的值

(2)①當n=l時，分別求出MN兩點的坐標即可求出PM與PN的關(guān)系；

②由題意可知：P的坐標為(n,n),由于PN>PM,從而可知PN22,根據(jù)圖象

可求出n的范圍

【解答】解：(1)將A(3,m)代入y=x-2,

m=3-2=1,

.,.A(3,1),

k

將A(3,1)代入丫=二，

??.k=3X1=3

(2)

令y=l,代入y=x-2,

x-2=1,

??X—3,

AM(3,1),

.*.PM=2,

3

令代入"

x=ly=x?

??y=3?

???N(1,3),

APM=2

.?.PM=PN,

②P(n,n),

點P在直線y=x上，

過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2F點M,

M(n+2,n),

.\PM=2,

VPN^PM,

即PN22,

AO<n^l或n23

心

1y

i

【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出反比例

函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，本題屬于基礎(chǔ)題型

24（5分）（2024?北京）如圖，AB是。。的一條弦，E是AB的中點，過點E作

EC1OA于點C,過點B作。O的切線交CE的延長線于點D

（1）求證：DB=DE；

（2）若AB=12,BD=5.求。。的半徑

【考點】MC：切線的性質(zhì)；KQ：勾股定理；M2：垂徑定理

【分析】（1）欲證明DB=DE,只要證明NDEB二NDBE；

(2)作DFlyXB于F,連接OE只要證明NAOE=NDEF,可得sinZDEF=sinZ

AOE嗡1.用此求出AE即可解決問題

【解答】(1)證明：VAO=OB,

AZOAB=ZOBA,

VBD是切線,

A0B1BD,

.*.Z0BD=90o,

/.Z0BE+ZEBD=90o,

EC_LOA,

AZCAE+ZCEA=90°,

VZCEA=ZDEB,

AZEBD=ZBED,

ADB=DE

(2)作DFJLAB于F,連接OE

VDB=DE,AE=EB=6,

1

AEF=-BE=3,OE1AB,

2

在RtZ\EDF中，DE=BD=5,EF=3,

ADF=j52-32=4,

VZAOE+ZA=90°,ZDEF+ZA=90°,

/

.\ZAOE=ZQF，

4E4

/.sinZDEF=sinZAOE=—=-,

AO5

VAE=6,

15

.\AO=—

2

【點評】本題考查切線的性質(zhì)勾股定理垂徑定理銳角三角函數(shù)等腰三角形的性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于

中考常考題型

25（5分）（2024?北京）某工廠甲乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部

門員工的生產(chǎn)技能情況，進行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補充完整

收集數(shù)據(jù)

從甲乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進行了生產(chǎn)技能測試,測試成績（百分

制）如下:

甲78867481757687707590757981707480

86698377

乙81728194837783808170817378

82

整理描述數(shù)據(jù)

按如下分數(shù)段整理描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：

成績X40WxW50WxW60WxW70WxW80WxW90Wx

4959697989^100

人數(shù)

部門

甲0011171

乙1007102

（說明：成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70--79分為生產(chǎn)技能良好，60-

-69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格）

分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)如下表所示：

部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲78377575

乙7880581

得出結(jié)論：a估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為qg；b可以推斷出甲

或乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高,理由為①甲部門生產(chǎn)技能測試中，平均

分較高，表示甲部門員工的生產(chǎn)技能水平較高；

②甲部門生產(chǎn)技能測試中，沒有技能不合格的員工，表示甲部門員工的生產(chǎn)技能

水平較高

或①甲部門生/技能測試中，中位數(shù)較高，表示乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高;

②甲部門目上能測試中，眾數(shù)較高，表示乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高（至

少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

【考點】W5：眾數(shù)；V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表；W2：加權(quán)

平均數(shù)；W4：中位數(shù)

【分析】根據(jù)收集數(shù)據(jù)填寫表格即可求解；

用乙部門優(yōu)秀員工人數(shù)除以20乘以400即可得出答案，根據(jù)情況進行討論分析，

理由合理即可

【解答】解：填表如下：

成績X40<x<60Wx<80WxW90Wx

4959697989<100

人數(shù)

部門

甲0011171

乙1007102

a—X400=240（人）

20

故估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為200；

b答案不唯一，理由合理即可

可以推斷出甲部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為：

①甲部門生產(chǎn)技能測試中，平均分較高，表示甲部門員工的生產(chǎn)技能水平較高；

②甲部門生產(chǎn)技能測試中，沒有技能不合格的員工，表示甲部門員工的生產(chǎn)技能

水平較高

或可以推呼曲部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為：

①甲部門生產(chǎn)技能測試中，中位數(shù)較高，表示乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高;

②甲部門生產(chǎn)技能測試中，眾數(shù)較高，表示乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高

故答案為：1,0,0,7,10,2；

200；甲或乙，①甲部門生產(chǎn)技能測試中，平均分較高，表示甲部門員工的生產(chǎn)

技能水平較高；

②甲部門生產(chǎn)技能測試中，沒有技能不合格的員工，表示甲部門員工的生產(chǎn)技能

水平較高；

或①甲部門生產(chǎn)技能測試中，中位數(shù)較高，表示乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高;

②甲部門生產(chǎn)技能測試中，眾數(shù)較高，表示乙部門員工的生產(chǎn)技能水平較高

【點評】本題考查了眾數(shù)中位數(shù)以及平均數(shù)，掌握眾數(shù)中位數(shù)以及平均數(shù)的定義

以及用樣本估計總體是解題的關(guān)鍵

26（5分）（2024?北京）如圖，P是AB所對弦AB上一動點，過點P作PM_LAB

交AB于點M,連接MB,過點P作PN_LMB于點N已知AB=6cm,設(shè)AP兩點間

的距離為xcm,PN兩點間的距離為ycm（當點P與點A或點B重合時，y的值為

0）

小東根據(jù)學(xué)習(xí),數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究

下面是小東1彘吮過程，請補充完整:

（1）通過取點畫圖測量，得到了x與y的兒組值，如下表:

x/cm0123456

y/cm020232116090

（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）

（2）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出

該函數(shù)的圖象

（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當4PAN為等腰三角形時，AP的長度約

為22cm

【考點】MR：圓的綜合題

【分析】（1）利用取點，測量的方法，即可解決問題；

（2）利用描點法，畫出函數(shù)圖象即可；

（3）作出直線y=x與圖象的交點，交點的橫坐標即可AP的長

【解答】解：（1）通過取點畫圖測量可得x-4時，y=16cm,

故答案為16

（2）利用描點法，圖象如圖所示

（3）當APAN為等腰三角形時，x=y,作出直線y=x與圖象的交點坐標為（22,

22）,

???△PAN為等腰三角形時，PA=22cm

2.2

故答案為22

【點評】本題考查圓綜合題坐標與圖形的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意,

學(xué)會用測量法圖象法解決實際問題，屬于中考壓軸題

27（7分）（2024?北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸交

于點AB（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C

（1）求直線BC的表達式；

（2）垂直于y軸的直線I與拋物線交于點P（xi，yi）,Q（x2,y2），與直線BC

交于點N（X3,V3），若X1〈X2〈X3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍

【考點】HA：拋物線與x軸的交點

【分析】（1）利用拋物線解析式求得點BC的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線BC

的表達式即可/

（2）由儂瀛琳斤式得到對稱軸和頂點坐標，結(jié)合圖形解答

【解答】解：(1)由y=x2-4x+3得到：y=(x-3)(x-1),C(0,3)

所以A(1,0),B(3,0),

設(shè)直線BC的表達式為：y=kx+b(kWO),

o

T

解得=

=3

所以直線BC的表達式為y=-x+3：

(2)由y=x2-4x+3得到：y=(x-2)2-1,

所以拋物線y=x2-4x+3的對稱軸是x=2,頂點坐標是(2,-1)

Vyi=y2?

/.XI+X2=4

令y=-1,y=-x+3,x=4

VXi<X2<X3,

A3<X3<4,HP7<xi+x2+x3<8

【點評】套了拋物線與x軸的交點解答(2)題時，利用了〃數(shù)形結(jié)合〃的

數(shù)學(xué)思想，降低了解題的難度

28（7分）（2024?北京）在等腰直角AABC中，ZACB=90°,P是線段BC上一動

點（與點BC不重合），連接AP,延長BC至點Q,使得CQ二CP,過點Q作QH_L

AP于點H,交AB于點M

（1）若NPAC二a,求/AMQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）

（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NBAC=NB=45°,ZPAB=45°-a,由

直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）連接AQ,作ME_LQB,由AAS證明^APC組△QME,得出PC二ME,AAEB

是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論

【解答】解:（1）ZAMQ=45°+a；理由如下:

???ZPAC=a,AACB是等腰直角三角形，

工ZBAC=Z