2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第27章 圓27.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系3切線(xiàn)第2課時(shí) 切線(xiàn)長(zhǎng)定理與三角形的內(nèi)切圓教學(xué)實(shí)錄 （新版）華東師大版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章圓27.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系3切線(xiàn)第2課時(shí)切線(xiàn)長(zhǎng)定理與三角形的內(nèi)切圓教學(xué)實(shí)錄（新版）華東師大版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章“圓”的27.2節(jié)“與圓有關(guān)的位置關(guān)系3切線(xiàn)”第2課時(shí)，主要圍繞“切線(xiàn)長(zhǎng)定理與三角形的內(nèi)切圓”展開(kāi)。本節(jié)課內(nèi)容與課本緊密相連，旨在讓學(xué)生深入理解切線(xiàn)長(zhǎng)定理，掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，符合教學(xué)實(shí)際，有助于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，通過(guò)切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述和分析問(wèn)題的能力。增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀(guān)，讓學(xué)生通過(guò)直觀(guān)圖形理解三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)。提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。學(xué)情分析九年級(jí)學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的基本性質(zhì)和切線(xiàn)的定義，具備一定的幾何基礎(chǔ)。但在本節(jié)課中，學(xué)生對(duì)切線(xiàn)長(zhǎng)定理的理解可能存在一定的困難，因?yàn)檫@一概念涉及到較為復(fù)雜的推理和證明過(guò)程。學(xué)生層次方面，班級(jí)內(nèi)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，部分學(xué)生可能在幾何推理方面存在不足。在知識(shí)方面，學(xué)生對(duì)圓的半徑、直徑、切線(xiàn)等相關(guān)概念較為熟悉，但對(duì)切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用和證明方法可能缺乏經(jīng)驗(yàn)。

在能力方面，學(xué)生已具備一定的邏輯思維和抽象思維能力，但在解決幾何問(wèn)題時(shí)，可能缺乏靈活運(yùn)用定理和公式的能力。在素質(zhì)方面，學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)較強(qiáng)，但獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力有待提高。行為習(xí)慣上，學(xué)生在課堂上普遍能夠認(rèn)真聽(tīng)講，但在面對(duì)較難的幾何問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)表現(xiàn)出焦慮或放棄的態(tài)度。

這些學(xué)情特點(diǎn)對(duì)課程學(xué)習(xí)有一定的影響。首先，教師在教學(xué)中需要關(guān)注不同層次學(xué)生的需求，提供差異化的教學(xué)支持。其次，教師應(yīng)設(shè)計(jì)豐富的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的困難。此外，教師還需引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高他們面對(duì)挑戰(zhàn)時(shí)的堅(jiān)持和解決問(wèn)題的能力?？傊?，教師需針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，靈活調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）、圓規(guī)、直尺、量角器等。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，用于發(fā)布教學(xué)資料和作業(yè)。

3.信息化資源：圓的幾何性質(zhì)動(dòng)畫(huà)演示、切線(xiàn)長(zhǎng)定理的證明過(guò)程視頻、相關(guān)數(shù)學(xué)軟件。

4.教學(xué)手段：實(shí)物教具（圓形紙板、切線(xiàn)模型）、板書(shū)、小組討論、課堂練習(xí)。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

（1）提問(wèn)：同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的切線(xiàn)及其性質(zhì)，那么今天我們來(lái)探討一下切線(xiàn)長(zhǎng)定理和三角形的內(nèi)切圓。請(qǐng)大家先回顧一下切線(xiàn)的定義，并嘗試用幾何畫(huà)板畫(huà)出一條切線(xiàn)。

（2）學(xué)生回答并演示，教師總結(jié)并引入新課。

二、新課講授

1.切線(xiàn)長(zhǎng)定理的探究

（1）提問(wèn)：已知圓的半徑和切線(xiàn)長(zhǎng)，你能求出切線(xiàn)與半徑的夾角嗎？

（2）學(xué)生思考并嘗試解答，教師引導(dǎo)學(xué)生利用圓的性質(zhì)和三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)。

（3）學(xué)生展示解題過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)切線(xiàn)長(zhǎng)定理：切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半。

2.切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用

（1）提問(wèn)：已知一個(gè)圓的半徑和切線(xiàn)長(zhǎng)，你能求出圓的直徑嗎？

（2）學(xué)生根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，嘗試解答問(wèn)題。

（3）學(xué)生展示解題過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)：通過(guò)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，可以求出圓的直徑。

3.三角形的內(nèi)切圓

（1）提問(wèn)：你能找到三角形內(nèi)切圓的圓心嗎？

（2）學(xué)生通過(guò)觀(guān)察和分析，嘗試找到三角形內(nèi)切圓的圓心。

（3）學(xué)生展示解題過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)：三角形內(nèi)切圓的圓心位于三角形三邊的中垂線(xiàn)交點(diǎn)。

4.內(nèi)切圓的性質(zhì)

（1）提問(wèn)：內(nèi)切圓與三角形的三邊有什么關(guān)系？

（2）學(xué)生根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)，嘗試解答問(wèn)題。

（3）學(xué)生展示解題過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)：內(nèi)切圓與三角形的三邊相切，切點(diǎn)分別是三邊的中點(diǎn)。

三、課堂練習(xí)

1.基礎(chǔ)練習(xí)

（1）求切線(xiàn)與半徑的夾角；

（2）求圓的直徑；

（3）找到三角形內(nèi)切圓的圓心；

（4）內(nèi)切圓與三角形的三邊關(guān)系。

2.提高練習(xí)

（1）已知三角形的一邊和內(nèi)切圓的半徑，求其他兩邊的長(zhǎng)度；

（2）已知圓的半徑和切線(xiàn)與半徑的夾角，求切線(xiàn)長(zhǎng)。

四、課堂小結(jié)

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括切線(xiàn)長(zhǎng)定理、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)等。

2.強(qiáng)調(diào)切線(xiàn)長(zhǎng)定理在解決幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，以及內(nèi)切圓與三角形的關(guān)系。

五、布置作業(yè)

1.完成課后練習(xí)題；

2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容，提前復(fù)習(xí)圓的性質(zhì)和切線(xiàn)的定義。

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

1.切線(xiàn)長(zhǎng)定理

（1）切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半；

（2）切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用：求圓的直徑；

2.三角形的內(nèi)切圓

（1）內(nèi)切圓的圓心位于三角形三邊的中垂線(xiàn)交點(diǎn)；

（2）內(nèi)切圓與三角形的三邊關(guān)系：內(nèi)切圓與三角形的三邊相切，切點(diǎn)分別是三邊的中點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)梳理1.切線(xiàn)長(zhǎng)定理

-定理內(nèi)容：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，這兩條切線(xiàn)的長(zhǎng)度相等。

-推導(dǎo)過(guò)程：利用圓的性質(zhì)、三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行推導(dǎo)。

-應(yīng)用：求解圓的直徑、半徑與切線(xiàn)長(zhǎng)之間的關(guān)系。

2.切線(xiàn)與半徑的關(guān)系

-切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

-切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半。

3.三角形的內(nèi)切圓

-內(nèi)切圓的定義：與三角形的三邊都相切的圓。

-內(nèi)切圓圓心的位置：三角形三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。

-內(nèi)切圓半徑與三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系：內(nèi)切圓半徑等于三角形面積除以半周長(zhǎng)。

4.切線(xiàn)長(zhǎng)定理在三角形中的應(yīng)用

-利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理求解三角形的邊長(zhǎng)。

-利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理求解三角形的面積。

5.內(nèi)切圓在三角形中的應(yīng)用

-利用內(nèi)切圓求解三角形的面積。

-利用內(nèi)切圓求解三角形的邊長(zhǎng)。

6.切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)

-切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)在解決幾何問(wèn)題時(shí)相互關(guān)聯(lián)。

-在求解與圓、切線(xiàn)、內(nèi)切圓相關(guān)的幾何問(wèn)題時(shí)，可以靈活運(yùn)用這些性質(zhì)。

7.切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的實(shí)際應(yīng)用

-在建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等領(lǐng)域，切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用。

-在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)具體情境，靈活運(yùn)用切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)。

8.切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的拓展

-探討切線(xiàn)長(zhǎng)定理在更高維度的空間中的應(yīng)用。

-研究?jī)?nèi)切圓在多邊形中的應(yīng)用，如四邊形、五邊形等。

9.切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的證明

-利用圓的性質(zhì)、三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行證明。

-利用反證法、構(gòu)造法等證明方法進(jìn)行證明。

10.切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的教學(xué)策略

-通過(guò)實(shí)例講解，幫助學(xué)生理解切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)。

-引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。

-鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成課本第127頁(yè)的練習(xí)題1-5題，要求學(xué)生獨(dú)立完成，并嘗試用切線(xiàn)長(zhǎng)定理解決實(shí)際問(wèn)題。

2.選擇一道課本第128頁(yè)的思考題，要求學(xué)生結(jié)合切線(xiàn)長(zhǎng)定理和內(nèi)切圓的性質(zhì)，進(jìn)行拓展思考。

3.設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形，其中包含圓、切線(xiàn)和三角形，要求學(xué)生利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理和內(nèi)切圓的性質(zhì)，求解圖形的相關(guān)幾何量。

作業(yè)反饋：

1.作業(yè)批改：在學(xué)生提交作業(yè)后，及時(shí)進(jìn)行批改，確保作業(yè)的及時(shí)反饋。

2.作業(yè)分析：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行詳細(xì)分析，找出普遍存在的問(wèn)題和個(gè)體差異。

3.問(wèn)題指出：在批改過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，明確指出問(wèn)題所在，如概念理解錯(cuò)誤、公式運(yùn)用不當(dāng)?shù)取?/p>

4.改進(jìn)建議：針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，給出具體的改進(jìn)建議，如如何正確理解概念、如何正確運(yùn)用公式等。

5.個(gè)性化輔導(dǎo)：對(duì)于作業(yè)中表現(xiàn)不佳的學(xué)生，提供個(gè)性化的輔導(dǎo)，幫助他們理解和掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

6.課堂講解：在下一節(jié)課的開(kāi)始，針對(duì)作業(yè)中普遍存在的問(wèn)題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)。

7.反饋交流：鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上分享自己的解題思路和經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)同學(xué)間的交流和學(xué)習(xí)。

8.作業(yè)展示：挑選部分學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行展示，讓學(xué)生互相學(xué)習(xí)，提高整體作業(yè)質(zhì)量。

9.定期評(píng)估：通過(guò)定期評(píng)估學(xué)生的作業(yè)完成情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和效果，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

10.家長(zhǎng)溝通：與家長(zhǎng)保持溝通，共同關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，形成家校共育的良好氛圍。板書(shū)設(shè)計(jì)①切線(xiàn)長(zhǎng)定理

-定理內(nèi)容：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，這兩條切線(xiàn)的長(zhǎng)度相等。

-推導(dǎo)過(guò)程：利用圓的性質(zhì)、三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行推導(dǎo)。

-公式：設(shè)切線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑為R，則L2=d2-R2，其中d為圓外點(diǎn)到圓心的距離。

②切線(xiàn)與半徑的關(guān)系

-切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

-切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半。

③三角形的內(nèi)切圓

-內(nèi)切圓的定義：與三角形的三邊都相切的圓。

-內(nèi)切圓圓心的位置：三角形三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。

-內(nèi)切圓半徑與三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系：內(nèi)切圓半徑r=A/s，其中A為三角形的面積，s為半周長(zhǎng)。

④切線(xiàn)長(zhǎng)定理在三角形中的應(yīng)用

-求解三角形的邊長(zhǎng)。

-求解三角形的面積。

⑤內(nèi)切圓在三角形中的應(yīng)用

-求解三角形的面積。

-求解三角形的邊長(zhǎng)。

⑥切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)

-切線(xiàn)長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓的性質(zhì)在解決幾何問(wèn)題時(shí)相互關(guān)聯(lián)。

-在求解與圓、切線(xiàn)、內(nèi)切圓相關(guān)的幾何問(wèn)題時(shí)，可以靈活運(yùn)用這些性質(zhì)。重點(diǎn)題型整理1.題型一：求圓的切線(xiàn)長(zhǎng)

題目：已知圓的半徑為5cm，圓外一點(diǎn)到圓心的距離為10cm，求該點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)。

解答：設(shè)切線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，L2=d2-R2，其中d為圓外點(diǎn)到圓心的距離，R為圓的半徑。

解得：L2=102-52=100-25=75，所以L(fǎng)=√75=5√3cm。

2.題型二：求三角形的內(nèi)切圓半徑

題目：已知三角形的邊長(zhǎng)分別為6cm、8cm、10cm，求該三角形的內(nèi)切圓半徑。

解答：首先求出三角形的面積S和半周長(zhǎng)s，S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，s=(a+b+c)/2。

解得：S=√[15×(15-6)×(15-8)×(15-10)]=√[15×9×7×5]=15√35cm2，s=15cm。

內(nèi)切圓半徑r=S/s=(15√35)/15=√35cm。

3.題型三：求三角形的高

題目：已知圓的半徑為6cm，切線(xiàn)長(zhǎng)為8cm，求三角形的高。

解答：根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半，設(shè)圓心角為θ，則θ=2×arctan(L/2R)。

解得：θ=2×arctan(8/2×6)≈1.107radians。

三角形的高h(yuǎn)=R×sin(θ)=6×sin(1.107)≈5.7cm。

4.題型四：求三角形的面積

題目：已知圓的半徑為4cm，切線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，求三角形的面積。

解答：根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半，設(shè)圓心角為θ，則θ=2×arctan(L/2R)。

解得：θ=2×arctan(6/2×4)≈0.927radians。

三角形的面積S=(1/2)×R2×sin(θ)=(1/2)×42×sin(0.927)≈11.31cm2。

5.題型五：求三角形的周長(zhǎng)

題目：已知圓的半徑為5cm，切線(xiàn)長(zhǎng)為10cm，求三角形的周長(zhǎng)。

解答：根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切線(xiàn)與半徑的夾角等于圓心角的一半，設(shè)圓心角為θ，則θ=2×arctan(L/2R)。

解得：θ=2×arctan(10/2×5)≈1.107radians。

設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為a、b、c，則三角形的周長(zhǎng)P=a+b+c。

根據(jù)圓的性質(zhì)，a2+b2=c2，且c=2R×sin(θ/2)=2×5×sin(1.107/2)≈7.07cm。

由勾股定理，a2+b2=7.072，即a2+b2=50.49。

因?yàn)閍、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，所以a+b+c>c，即a+b+c>7.07。

由于a2+b2=50.49，且a+b+c>7.07，可以假設(shè)a=b，則a2+a2=50.49，即2a2=50.49，解得a≈5.24cm。

因此，三角形的周長(zhǎng)P≈2a+c≈2×5.24+7.07≈18.58cm。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.多媒體輔助教學(xué)：在課堂上，我嘗試?yán)枚嗝襟w展示圓的幾何性質(zhì)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理的證明過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)直觀(guān)的圖形和動(dòng)畫(huà)更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

2.實(shí)物教具應(yīng)用：我引入了圓形紙板和切線(xiàn)模型等實(shí)物教具，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，親身體驗(yàn)切線(xiàn)與圓的關(guān)系，增強(qiáng)了學(xué)生的幾何直觀(guān)能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生基礎(chǔ)差異較大：在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)存在較大差異，部分學(xué)生對(duì)幾何概念的理解和掌握程度有限，這導(dǎo)致他們?cè)诮鉀Q幾何問(wèn)題時(shí)遇到困難。

2.課堂互動(dòng)不足：在課堂討論環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的參與度不高，可能是由于學(xué)生對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)的不理解或者缺乏自信，導(dǎo)致他們?cè)谟懻撝胁桓野l(fā)言。

3.評(píng)價(jià)方式單一：目前我主要依靠作業(yè)和考試來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，這種評(píng)價(jià)方式可能無(wú)法全面反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，尤其是在學(xué)生的幾何思維和創(chuàng)新能力方面。

反思改進(jìn)措施（三）

1.個(gè)性化教學(xué)：針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差異較大的問(wèn)題，我將嘗試采用分層教學(xué)的方法，為不同層次的學(xué)生提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)支