2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的應(yīng)用第1課時(shí) 增長(zhǎng)（降低）率問題教學(xué)實(shí)錄 （新版）湘教版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章一元二次方程2.5一元二次方程的應(yīng)用第1課時(shí)增長(zhǎng)（降低）率問題教學(xué)實(shí)錄（新版）湘教版課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章一元二次方程2.5一元二次方程的應(yīng)用第1課時(shí)增長(zhǎng)（降低）率問題

本節(jié)課主要講解了如何運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際生活中的增長(zhǎng)（降低）率問題。通過教材例題和課堂練習(xí)，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)如何根據(jù)實(shí)際情況列出一元二次方程，并利用公式求解。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力。

2.提升學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的精確性。

3.增強(qiáng)學(xué)生分析數(shù)據(jù)和提出合理假設(shè)的素養(yǎng)。

4.培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式方程、一元二次方程及其解法等基礎(chǔ)知識(shí)。他們應(yīng)能熟練運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題，并具備一定的邏輯推理能力。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

九年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍持有較高的興趣，尤其是對(duì)實(shí)際問題解決能力的培養(yǎng)。學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力，能夠從具體情境中提取數(shù)學(xué)信息。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好通過圖形直觀理解問題，而另一部分學(xué)生則更傾向于通過公式和代數(shù)推導(dǎo)解決問題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在本節(jié)課中，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，二是如何選擇合適的一元二次方程形式，三是如何求解復(fù)雜的一元二次方程。此外，學(xué)生可能對(duì)增長(zhǎng)（降低）率的概念理解不夠深入，導(dǎo)致在應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)偏差。因此，教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生逐步克服這些困難，提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材，特別是第2章一元二次方程相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與增長(zhǎng)（降低）率問題相關(guān)的圖片、圖表和視頻，以幫助學(xué)生直觀理解概念。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器、黑板或電子白板，以便展示解題過程和方程求解。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，并確保教室環(huán)境安靜，有利于學(xué)生集中注意力。五、教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提前一周，通過班級(jí)微信群發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)，包括一元二次方程的基本概念和增長(zhǎng)（降低）率的基礎(chǔ)知識(shí)，要求學(xué)生閱讀教材相關(guān)章節(jié)，并完成課后練習(xí)題。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：設(shè)計(jì)問題如“如何將增長(zhǎng)率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程？”和“一元二次方程在增長(zhǎng)率問題中的應(yīng)用有哪些？”引導(dǎo)學(xué)生思考。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過學(xué)生提交的預(yù)習(xí)筆記和在線測(cè)試，監(jiān)控預(yù)習(xí)效果，確保學(xué)生基本掌握預(yù)習(xí)內(nèi)容。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)任務(wù)，自主閱讀教材，理解一元二次方程和增長(zhǎng)率的基本概念。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對(duì)預(yù)習(xí)問題進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：通過學(xué)生自主閱讀和思考，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

信息技術(shù)手段：利用微信群進(jìn)行預(yù)習(xí)資料的共享和進(jìn)度監(jiān)控。

作用與目的：

幫助學(xué)生提前了解一元二次方程的應(yīng)用，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過實(shí)際案例，如“某商品銷售量隨時(shí)間增長(zhǎng)的情況”，引出一元二次方程在增長(zhǎng)率問題中的應(yīng)用。

講解知識(shí)點(diǎn)：講解一元二次方程在增長(zhǎng)率問題中的應(yīng)用步驟，如確定初始值、增長(zhǎng)率、時(shí)間等變量。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生根據(jù)給定的案例，小組合作列出方程并求解。

學(xué)生活動(dòng)：

聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，跟隨老師的講解理解增長(zhǎng)率問題的數(shù)學(xué)建模過程。

參與課堂活動(dòng)：學(xué)生積極參與小組討論，共同解決增長(zhǎng)率問題。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過老師的講解，幫助學(xué)生理解增長(zhǎng)率問題的數(shù)學(xué)建模過程。

實(shí)踐活動(dòng)法：通過小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

作用與目的：

幫助學(xué)生深入理解一元二次方程在增長(zhǎng)率問題中的應(yīng)用，掌握解決此類問題的技能。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置與增長(zhǎng)率問題相關(guān)的課后作業(yè)，包括不同難度層次的問題，以鞏固所學(xué)知識(shí)。

提供拓展資源：推薦相關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用網(wǎng)站和書籍，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成課后作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

拓展學(xué)習(xí)：利用推薦資源，進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)和探索。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：通過作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)。

作用與目的：

鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的增長(zhǎng)率問題的解法，通過拓展學(xué)習(xí)拓寬知識(shí)面，通過反思總結(jié)提升自我學(xué)習(xí)能力。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.理解和掌握一元二次方程的概念：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠深入理解一元二次方程的定義、標(biāo)準(zhǔn)形式以及其實(shí)際應(yīng)用背景。他們能夠識(shí)別一元二次方程，并將其與生活中的實(shí)際問題相聯(lián)系，如增長(zhǎng)（降低）率問題、物理運(yùn)動(dòng)中的加速度問題等。

2.學(xué)會(huì)列出增長(zhǎng)（降低）率問題的一元二次方程：

學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問題，通過分析確定增長(zhǎng)率、初始值、時(shí)間等關(guān)鍵變量，正確列出增長(zhǎng)（降低）率問題的一元二次方程。例如，在計(jì)算商品在一定時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)（降低）量時(shí)，學(xué)生能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程x=x0*(1+r)^t的形式，其中x0為初始量，r為增長(zhǎng)率，t為時(shí)間。

3.解一元二次方程的技能得到提升：

學(xué)生在解決增長(zhǎng)（降低）率問題時(shí)，不僅學(xué)會(huì)了列方程，更重要的是掌握了求解一元二次方程的方法，如配方法、因式分解法、求根公式等。他們能夠在不同的情況下靈活選擇合適的方法求解方程。

4.提高實(shí)際問題解決能力：

學(xué)生通過解決增長(zhǎng)（降低）率問題，鍛煉了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。他們能夠從實(shí)際問題中提取有效信息，建立數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，從而提高了解決實(shí)際問題的能力。

5.培養(yǎng)邏輯思維和推理能力：

在學(xué)習(xí)一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問題的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用邏輯思維分析問題，推導(dǎo)方程，最終求解方程。這種過程培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

6.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：

解一元二次方程涉及大量的代數(shù)運(yùn)算，如乘法、除法、平方根等。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到提升，能夠更熟練地運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算解決數(shù)學(xué)問題。

7.增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力：

在小組討論活動(dòng)中，學(xué)生需要相互協(xié)作，共同解決問題。這種合作學(xué)習(xí)的方式培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力，使他們學(xué)會(huì)了在團(tuán)隊(duì)中發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，共同達(dá)成目標(biāo)。

8.增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)：

通過學(xué)習(xí)一元二次方程在增長(zhǎng)（降低）率問題中的應(yīng)用，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的重要價(jià)值，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力。

9.提高學(xué)習(xí)自信：

學(xué)生在解決增長(zhǎng)（降低）率問題時(shí)，取得了明顯的進(jìn)步，這種成功經(jīng)驗(yàn)有助于增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)自信，使他們更加相信自己能夠掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。

10.培養(yǎng)自我反思和總結(jié)能力：

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，能夠?qū)ψ约旱膶W(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，找出自己的不足之處，并提出改進(jìn)建議，從而提高自我反思和總結(jié)能力。七、教學(xué)反思與總結(jié)哎，這節(jié)課上完之后，我總體感覺還不錯(cuò)，但也有些地方覺得可以改進(jìn)。

首先，我覺得這節(jié)課的教學(xué)效果還是蠻不錯(cuò)的。孩子們對(duì)一元二次方程的應(yīng)用，特別是增長(zhǎng)（降低）率問題，興趣挺高的。我通過一些實(shí)際案例引入，比如商品價(jià)格的變化啊，人口增長(zhǎng)啊，這些孩子們都比較熟悉，所以一下子就抓住了他們的注意力。他們?cè)谡n堂上參與度很高，小組討論的時(shí)候也很積極，這讓我挺欣慰的。

但是，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。比如說，在講解一元二次方程的列法時(shí)，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還是有點(diǎn)吃力。他們對(duì)于如何從實(shí)際問題中提取信息，建立數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過程還是不夠熟練。我注意到有幾個(gè)學(xué)生，他們?cè)诹蟹匠痰臅r(shí)候，總是把增長(zhǎng)率或者時(shí)間給忘記了，這說明我在這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)上可能還需要加強(qiáng)。

另外，我在課堂上發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生對(duì)于一元二次方程的解法選擇不是很明確。有的學(xué)生喜歡用配方法，有的學(xué)生喜歡用求根公式，但是他們?cè)谶x擇的時(shí)候并沒有根據(jù)方程的特點(diǎn)來決定。這可能是因?yàn)槲覜]有在課堂上強(qiáng)調(diào)根據(jù)方程的特點(diǎn)來選擇合適的方法。所以，我打算在下一節(jié)課上，特別強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。

至于教學(xué)管理方面，我覺得我做得還可以。我盡量讓每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與到課堂活動(dòng)中來，特別是那些平時(shí)不太愛發(fā)言的學(xué)生，我也鼓勵(lì)他們多表達(dá)自己的想法。不過，我也注意到，在小組討論的時(shí)候，有些小組的討論氣氛不是很熱烈，可能是因?yàn)槲覜]有很好地引導(dǎo)他們?nèi)绾芜M(jìn)行有效的討論。

當(dāng)然，我也看到了不足。比如，對(duì)于一些基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠扎實(shí)的學(xué)生，我在課堂上可能沒有給予足夠的關(guān)注。接下來，我打算在課后進(jìn)行一些個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。

嗯，就這樣吧。希望我的反思和總結(jié)能對(duì)今后的教學(xué)有所幫助。謝謝大家！八、重點(diǎn)題型整理1.題型一：求增長(zhǎng)率問題中的增長(zhǎng)量

例題：某商品原價(jià)為100元，連續(xù)兩年價(jià)格上漲，第一年上漲10%，第二年上漲15%，求這兩年的總增長(zhǎng)量和平均增長(zhǎng)率。

解答：第一年增長(zhǎng)量=100元*10%=10元，第二年增長(zhǎng)量=100元*15%=15元，總增長(zhǎng)量=10元+15元=25元，平均增長(zhǎng)率=(總增長(zhǎng)量/原價(jià))*100%=(25元/100元)*100%=25%。

2.題型二：求增長(zhǎng)（降低）率問題中的時(shí)間

例題：某城市人口以每年1.5%的速度增長(zhǎng)，若要使人口從30萬增長(zhǎng)到40萬，需要多少年？

解答：設(shè)需要x年，則40萬=30萬*(1+1.5%)^x，通過求解方程可得x≈15.9年。

3.題型三：求增長(zhǎng)（降低）率問題中的初始值

例題：某商品連續(xù)降價(jià)，第一周降價(jià)10%，第二周降價(jià)15%，如果現(xiàn)在商品價(jià)格為100元，求商品的原價(jià)。

解答：設(shè)商品原價(jià)為x元，則100元=x*(1-10%)*(1-15%)，通過求解方程可得x≈155.56元。

4.題型四：復(fù)合增長(zhǎng)（降低）率問題

例題：某銀行存款每年按復(fù)利計(jì)算，年利率為5%，若要使存款在5年內(nèi)增長(zhǎng)到10000元，求初始存款金額。

解答：設(shè)初始存款金額為x元，則10000元=x*(1+5%)^5，通過求解方程可得x≈7839.47元。

5.題型五：增長(zhǎng)（降低）率問題中的最大值和最小值

例題：某商品銷售量Q與價(jià)格P的關(guān)系為Q=100-P^2，求商品銷售量達(dá)到最大值時(shí)的價(jià)格。

解答：銷售量Q關(guān)于價(jià)格P的函數(shù)為Q=-P^2+100，求導(dǎo)得Q'=-2P，令Q'=0，解得P=0。由于P=0不符合題意（價(jià)格不能為0），故商品銷售量最大值時(shí)，價(jià)格P=10元。板書設(shè)計(jì)①一元二次方程的應(yīng)用

-增長(zhǎng)（降低）率問題

-關(guān)鍵變量：初始值、增長(zhǎng)率、時(shí)間

-方程形式：x=x0*(1+r)^t或x=x0*(1-r)^t

②列方程步驟

-確定增長(zhǎng)率（r）和初始值（x0）

-確定時(shí)間（t）

-根據(jù)公式列出方程

③解方程方法

-配方法

-因式分解法

-求根公式

-選擇合適的方法求解方程

④實(shí)際問題分析

-提取信息

-建立數(shù)學(xué)模型

-應(yīng)用一元二次方程解決問題課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了如何運(yùn)用一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問題。首先，我們明確了增長(zhǎng)率問題中的關(guān)鍵變量：初始值、增長(zhǎng)率和時(shí)間。通過這些變量，我們可以列出相應(yīng)的方程，如x=x0*(1+r)^t或x=x0*(1-r)^t。

在列方程的過程中，我們強(qiáng)調(diào)了三個(gè)步驟：確定增長(zhǎng)率、確定初始值和確定時(shí)間。這些步驟對(duì)于解決實(shí)際問題至關(guān)重要。

在解方程方面，我們介紹了三種方法：配方法、因式分解法和求根公式。學(xué)生需要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求解。

為了鞏固今天所學(xué)的知識(shí)，我們將進(jìn)行以下當(dāng)堂檢測(cè)：

1.簡(jiǎn)答題：

-請(qǐng)簡(jiǎn)述一元二次方程在增長(zhǎng)（降低）率問題中的應(yīng)用。

-列舉三個(gè)增長(zhǎng)（降低）率問題的實(shí)際例子，并說明如何列出方程。

2.計(jì)算題：

-某商品原價(jià)為200元，連續(xù)兩年降價(jià)，第一年降價(jià)10%，第