高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)微重點(diǎn)10　離心率的范圍問題(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

微重點(diǎn)10離心率的范圍問題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔．知識導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍規(guī)律方法此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．【例1】（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知，，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為M且.若過原點(diǎn)O與點(diǎn)M的直線的斜率不小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】(2023·亳州模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線y＝x有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，則雙曲線離心率的取值范圍為__________．考點(diǎn)二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍規(guī)律方法利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解．【例2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線：，橢圓與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，且四邊形的外接圓直徑為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)P，若為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線，且橢圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點(diǎn)P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A．(1,1＋eq\r(2)) B．(1,1＋eq\r(3))C．(1,1＋eq\r(2)] D．(1,1＋eq\r(3)]考點(diǎn)三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍規(guī)律方法利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．【例3】(2023·無錫模擬)已知點(diǎn)P在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到兩漸近線的距離分別為d1，d2，若d1d2≤eq\f(1,2)|OP|2恒成立，則C的離心率的最大值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)【變式1】（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，直線與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，又直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知兩動點(diǎn)，在橢圓：上，動點(diǎn)P在直線上，若恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·江蘇徐州·期中）設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·貴州黔東南·一模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2023·四川攀枝花·三模）已知雙曲線，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，B為虛軸的上頂點(diǎn)，直線l垂直平分線段，若直線l與C存在公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線，，過點(diǎn)可做2條直線與左支只有一個交點(diǎn)，與右支不相交，同時可以做2條直線與右支只有一個交點(diǎn)，與左支不相交，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題1．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（

）A．的取值范圍是 B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．的最小值為4C．不存在點(diǎn)，使得D．當(dāng)時，以點(diǎn)為中點(diǎn)的橢圓的弦的斜率為13．（2023·廣東汕頭·三模）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．最大時， B．的最小值為2C．橢圓的離心率等于 D．的取值范圍為三、填空題1．（22-23高三上·福建泉州·期中）拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為.2．（2023·廣東·一模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為.3．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為.四、解答題1．（21-22高三上·新疆昌吉·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上（點(diǎn)P不在x軸上），且.(1)用a表示；(2)若是鈍角，求雙曲線離心率e的取值范圍.2．（2023·上海奉賢·三模）已知雙曲線T：離心率為e，圓O：．(1)若e=2，雙曲線T的右焦點(diǎn)為，求雙曲線方程；(2)若圓O過雙曲線T的右焦點(diǎn)F，圓O與雙曲線T的四個交點(diǎn)恰好四等分圓周，求的值；(3)若R=1，不垂直于x軸的直線l：y=kx+m與圓O相切，且l與雙曲線T交于點(diǎn)A，B時總有，求離心率e的取值范圍．3．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與的右支相交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求的離心率的取值范圍；(2)若恒為銳角，求的實(shí)軸長的取值范圍.4．（2023·上海徐匯·一模）已知雙曲線的離心率為．(1)若，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，求雙曲線的方程；(2)若，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，點(diǎn)在第一象限且在雙曲線上，若=8，求的值；(3)設(shè)圓，．若動直線與圓相切，且與雙曲線交于時，總有，求雙曲線離心率的取值范圍．5．（22-23高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面上左、右焦點(diǎn)為，的雙曲線和圓．(1)若的實(shí)軸恰為的一條直徑，求的方程；(2)若的一條漸近線為，且與恰有兩個公共點(diǎn)，求a的值；(3)設(shè)，若存在上的點(diǎn)，使得直線與恰有一個公共點(diǎn)，求的離心率的取值范圍．微重點(diǎn)10離心率的范圍問題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔．知識導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍規(guī)律方法此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．【例1】（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出，再利用線段和差關(guān)系建立不等式求解即得.【詳解】點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，令半焦距為c，由及，得，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且在線段上時取等號，因此，即，又，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A【變式1】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知，，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線定義，變形后由基本不等式得最小值，從而得，再利用雙曲線中的范圍有，由此結(jié)合可得離心率的范圍．【詳解】，是左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，則，即，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，又點(diǎn)是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以，即，解得，所以雙曲線離心率e的取值范圍是.故選：C．【變式2】（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為M且.若過原點(diǎn)O與點(diǎn)M的直線的斜率不小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：連接，，結(jié)合雙曲線的定義，再由條件列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果；方法二：連接，，可得，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，表示出，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】方法一：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因?yàn)椋?設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以，，，所以，即.設(shè)，則，所以，解得.又，所以，解得，所以，即，所以.故選：B.方法二：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因?yàn)?，所?設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以.設(shè)直線l的方程為，，.由，消去x并整理，得.，因?yàn)橹本€l與雙曲線E的兩支相交，所以，即.由，得.結(jié)合，化簡得①.由，兩式相減，得，即②，②代入①化簡，得，所以，即，所以.故選：B.【變式3】(2023·亳州模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線y＝x有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，則雙曲線離心率的取值范圍為__________．【答案】(eq\r(2)，2)【解析】雙曲線C與直線y＝x有交點(diǎn)，則eq\f(b,a)>1，eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)>1，解得e＝eq\f(c,a)>eq\r(2)，雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，則P點(diǎn)在雙曲線右支上，設(shè)PF1與y軸交于點(diǎn)Q，由對稱性得|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，所以|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，由|QF1|>|OF1|得2a>c，所以e＝eq\f(c,a)<2，又在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°，∠PF1F2<45°，所以eq\f(c,2a)＝cos∠PF1F2>eq\f(\r(2),2)，即e＝eq\f(c,a)>eq\r(2)，綜上，eq\r(2)<e<2.考點(diǎn)二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍規(guī)律方法利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解．【例2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線：，橢圓與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，且四邊形的外接圓直徑為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用橢圓與拋物線的對稱性分析得四邊形的外接圓就是的外接圓，再利用正弦定理求得，再利用橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)得到的取值范圍，從而得到關(guān)于的齊次不等式，解之即可得解.【詳解】如圖，由橢圓與拋物線的對稱性，知點(diǎn)關(guān)于軸對稱，四邊形是等腰梯形，易知四邊形的外接圓就是的外接圓，設(shè)四邊形的外接圓半徑為.在中，由正弦定理，知，記橢圓的上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，易知，又，則，，，即為銳角，，又又，，則，所以，則，即，則橢圓的離心率的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)P，若為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的性質(zhì)及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示構(gòu)造齊次式計算即可.【詳解】解：如圖所示，是與的夾角；設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為，則，∵向量的夾角為鈍角時，，又，兩邊除以得，解得或；又∵，∴．故選：D．【變式2】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線，且橢圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓和拋物線的對稱性可知兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入條件計算，將結(jié)果與橢圓聯(lián)立可求解點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上縱坐標(biāo)的范圍即可求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，則，因?yàn)椋?，由，得：，即，點(diǎn)在橢圓上，所以滿足，代入上式可得：，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得：，即，解得：.故選：B【變式3】已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點(diǎn)P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A．(1,1＋eq\r(2)) B．(1,1＋eq\r(3))C．(1,1＋eq\r(2)] D．(1,1＋eq\r(3)]【答案】A【解析】若點(diǎn)P是雙曲線的頂點(diǎn)，eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)無意義，故點(diǎn)P不是雙曲線的頂點(diǎn)，在△PF1F2中，由正弦定理得eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)，又eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)，即|PF1|＝eq\f(c,a)·|PF2|，∴P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，∴eq\f(c,a)|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a2,c－a)，由雙曲線的幾何性質(zhì)，知|PF2|>c－a，∴eq\f(2a2,c－a)>c－a，即c2－2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，解得－eq\r(2)＋1<e<eq\r(2)＋1，又e>1，∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,1＋eq\r(2))．考點(diǎn)三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍規(guī)律方法利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．【例3】(2023·無錫模擬)已知點(diǎn)P在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到兩漸近線的距離分別為d1，d2，若d1d2≤eq\f(1,2)|OP|2恒成立，則C的離心率的最大值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)【答案】A【解析】雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，設(shè)雙曲線上的點(diǎn)P(x0，y0)，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即b2xeq\o\al(2,0)－a2yeq\o\al(2,0)＝a2b2，則P(x0，y0)到兩條漸近線bx±ay＝0的距離分別為d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bx0＋ay0)),\r(a2＋b2))，d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bx0－ay0)),\r(a2＋b2))，所以d1d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,0)－a2y\o\al(2,0))),a2＋b2)＝eq\f(a2b2,a2＋b2)，又|OP|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝a2＋eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b2)＋1))yeq\o\al(2,0)，y0∈R，所以|OP|2≥a2，因?yàn)閐1d2≤eq\f(1,2)|OP|2恒成立，所以eq\f(a2b2,a2＋b2)≤eq\f(1,2)a2，整理得b2≤a2，即eq\f(b2,a2)≤1，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))≤eq\r(2)，則C的離心率的最大值為eq\r(2).【變式1】（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，直線與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理與弦長公式得到關(guān)于的齊次不等式，從而得解.【詳解】聯(lián)立方程，消去，整理得，則，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則，，所以，由，得，整理得，即，即，又，則，故，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．【變式2】（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，又直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意以及雙曲線的有關(guān)知識，找到之間的不等關(guān)系，整理計算即可.【詳解】如圖，可知中，，因?yàn)?，由正弦定理可知，即，所以，得．又因?yàn)橹本€與雙曲線無公共點(diǎn)，則，即，結(jié)合，所以，所以．綜上：，故選：A．【變式3】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知兩動點(diǎn)，在橢圓：上，動點(diǎn)P在直線上，若恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓性質(zhì)和圖像得出橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡為圓，由條件可知直線與圓相離,從而可得出的范圍,進(jìn)而求出離心率的范圍.【詳解】若從圓上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線一定互相垂直.證明如下：設(shè)橢圓的切線方程為，過圓上一點(diǎn)的切線為，，即(1)又在圓上,，即(i)當(dāng)時,(1)式為,由根與系數(shù)關(guān)系知,故兩條切線互相垂直.(ii)當(dāng)時,,此時兩條切線顯然互相重直.故圓上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線一定互相垂直.所以橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓.若恒為銳角,則直線與圓相離故,又,.故選:C.

強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義得到，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)?，，∴，又，∴．設(shè)，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．2．（23-24高二上·江蘇徐州·期中）設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，.進(jìn)而在中，由余弦定理變形可得，.根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合已知，求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，兩邊同時除以可得，.又，，所以有，所以，.因?yàn)?，所以，所以，所以，，，所以?則，故.故選：C.3．（2023·貴州黔東南·一模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的重心，求得，由直線與的右支交于兩點(diǎn)，得到，求得，再由時，證得四點(diǎn)共線不滿足題意，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由題意，雙曲線的右焦點(diǎn)為，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，即，解得，即，因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，則滿足，整理得，解得或（舍去），當(dāng)離心率為時，即時，可得，此時，設(shè)，可得，又由，兩式相減可得，即直線的斜率為，又因?yàn)?，所以，此時四點(diǎn)共線，此時不滿足題意，綜上可得，雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】知識方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.4．（2023·四川攀枝花·三模）已知雙曲線，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，B為虛軸的上頂點(diǎn)，直線l垂直平分線段，若直線l與C存在公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意求得直線l的斜率，再根據(jù)直線l與C存在公共點(diǎn)，只需直線l的斜率大于漸近線的斜率即可求解.【詳解】依題意，可得，則，又因?yàn)橹本€l垂直平分線段，所以，因?yàn)橹本€l與C存在公共點(diǎn)，所以，即，則，即，解得，所以雙曲線C的離心率的取值范圍是.故選：B5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線，，過點(diǎn)可做2條直線與左支只有一個交點(diǎn)，與右支不相交，同時可以做2條直線與右支只有一個交點(diǎn)，與左支不相交，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出草圖，利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合圖形分類討論計算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為，由已知易知，若在雙曲線內(nèi)部（如位置），顯然作任何直線均與雙曲線右支有交點(diǎn)，無法滿足題意；若在雙曲線與漸近線之間（如位置），過P所作直線若與雙曲線左支相交則必與右支也相交，也無法滿足題意；故P只能在雙曲線的漸近線上方，此時過P可做唯一一條與右支相切的直線，也可以作一條與漸近線平行的直線，該兩條直線均與左支無交點(diǎn)；同理也可作出唯一一條與左支相切的直線，及一條與漸近線平行的直線符合要求；即，故，故選：B6．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合橢圓的定義可求出，再由可求出離心率的范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以離心率的范圍，故選：D.7．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出雙曲線的解析式，根據(jù)與的內(nèi)心求出的關(guān)系式和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)出直線的傾斜角，得到的表達(dá)式，即可求出的取值范圍【詳解】由題意，在中，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距可得，離心率為2，∴，解得：，∴∴雙曲線的方程為.

記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線與的右支交于兩點(diǎn)，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)、三角恒等變換，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，以及角度的取值范圍，具有極強(qiáng)的綜合性.8．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由橢圓定義和勾股定理得到，換元后得到，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出，得到離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時，取得最小值；或4時，取得最大值.即有，得.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出，代入公式；②根據(jù)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍；③由題目條件得到離心率關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.二、多選題1．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（

）A．的取值范圍是 B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號即可判斷A,B項(xiàng)，計算易得C項(xiàng)，先算出離心率的表達(dá)式，再根據(jù)的范圍，即可確定的范圍.【詳解】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對于B，由A項(xiàng)可得，故，的焦點(diǎn)只能在軸上，故B錯誤；對于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；對于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯誤．故選：AC.2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．的最小值為4C．不存在點(diǎn)，使得D．當(dāng)時，以點(diǎn)為中點(diǎn)的橢圓的弦的斜率為1【答案】AC【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部求b的范圍，然后可得離心率范圍，可判斷A；利用橢圓定義和基本不等式判斷B；當(dāng)點(diǎn)Q為短軸端點(diǎn)時最大，然后利用余弦定理判斷的最大值，然后可判斷C；利用點(diǎn)差法求解即可判斷D.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，有最大值4，B錯誤；由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)Q為短軸端點(diǎn)時最大，此時，，因?yàn)?，所以，即的最大值為銳角，故不存在點(diǎn)，使得，C正確；當(dāng)時，有，得，所以，易知，當(dāng)點(diǎn)為弦中點(diǎn)時斜率存在，記直線斜率為k，與橢圓的交點(diǎn)為，則，由點(diǎn)差法得，又，所以，即，D錯誤.故選：AC3．（2023·廣東汕頭·三模）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．最大時， B．的最小值為2C．橢圓的離心率等于 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時，取得最大，且最大值為，再根據(jù)，代入進(jìn)而即可求解；對于B，根據(jù)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義與基本不等式即可求解；對于C，運(yùn)用角平分線定理即可求解；對于D，由正弦定理可得，再又結(jié)合A可得，從而得到，再根據(jù)題意得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】對于A，設(shè)，，則，且，所以，則當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時，取得最大，且最大值為，又，所以當(dāng)最大時，，即，故A正確；對于B，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)G，又點(diǎn)為外接圓的圓心，即為三條邊的中垂線的交點(diǎn)，則點(diǎn)G為的中點(diǎn)，由，又，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為2，故B正確；對于C，由內(nèi)切圓的圓心為，則，分別是，的角平分線，則由角平分線定理可得，即，故C錯誤；對于D，設(shè)，，，由正弦定理可得，即，則，即，因?yàn)?，又結(jié)合A有，所以，即，所以，又因?yàn)楫?dāng)在短軸的端點(diǎn)時，最大，此時，，所以，即，所以，故，故D正確．故選：ABD．

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義以及幾何性質(zhì)，明確外心的位置和內(nèi)角平分線性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦定理和等面積法是解答本題關(guān)鍵，考查了推理能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題．三、填空題1．（22-23高三上·福建泉州·期中）拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為.【答案】【分析】焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義得到，設(shè)橢圓和拋物線的交點(diǎn)為，根據(jù)拋物線性質(zhì)得到，得到離心率的最大值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意，.設(shè)橢圓和拋物線的交點(diǎn)為，到拋物線準(zhǔn)線的距離為，離心率最大，即最小，，當(dāng)與準(zhǔn)線垂直時等號成立，此時.故答案為：2．（2023·廣東·一模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)及余弦定理計算即可.【詳解】因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，可知直線的傾斜角大于雙曲線的一條漸近線的傾斜角，即，設(shè)，則，根據(jù)可知，在中，由余弦定理可知，即，則，故故答案為：3．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】首先，故，其次由題意由點(diǎn)差法得①，同理②，由三點(diǎn)共線，所以，代入得，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】由題意，，故，設(shè)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，則，兩式相減，得，化簡得，所以，所以①，同理②，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，所以，將①②代入得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用點(diǎn)差法來得到①，同理②，結(jié)合三點(diǎn)共線以及離心率公式即可順利得解.四、解答題1．（21-22高三上·新疆昌吉·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上（點(diǎn)P不在x軸上），且.(1)用a表示；(2)若是鈍角，求雙曲線離心率e的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用雙曲線的定義結(jié)合條件求得；（2）由余弦定理得到，利用是鈍角，則，解得離心率e的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以，又，聯(lián)立解得.（2）在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所?2．（2023·上海奉賢·三模）已知雙曲線T：離心率為e，圓O：．(1)若e=2，雙曲線T的右焦點(diǎn)為，求雙曲線方程；(2)若圓O過雙曲線T的右焦點(diǎn)F，圓O與雙曲線T的四個交點(diǎn)恰好四等分圓周，求的值；(3)若R=1，不垂直于x軸的直線l：y=kx+m與圓O相切，且l與雙曲線T交于點(diǎn)A，B時總有，求離心率e的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)離心率和右焦點(diǎn)即可求出答案.（2）根據(jù)對稱性分析，，則，代入曲線方程即可求得結(jié)果.（3）根據(jù)已知，利用圓心到直線距離為，得出，再由，可得，然后聯(lián)立，得出，，上式聯(lián)立化簡可得，進(jìn)而利用關(guān)系，得出的范圍.【詳解】（1）因，雙曲線T的右焦點(diǎn)為，則，，，，則雙曲線方程為.（2）如圖所示，

因?yàn)閳AO與雙曲線T的四個交點(diǎn)恰好四等分圓周，則，，則，代入雙曲線方程，可得，令，則，解得，即.（3）由題知，作圖如下，

因?yàn)橹本€l：y=kx+m與圓O相切，且，則圓心到直線距離為，化簡得，①又，設(shè)，則，即，則，②聯(lián)立得，則，，③聯(lián)立①②③，得，則，又，則，則，即離心率e的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，計算量較大，屬于中檔題.3．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與的右支相交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求的離心率的取值范圍；(2)若恒為銳角，求的實(shí)軸長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件代入離心率公式計算取值范圍即可；（2）設(shè)直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，以雙曲線的實(shí)半軸長a和m表示A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)恒為銳角，轉(zhuǎn)化為，代入坐標(biāo)計算，由關(guān)于m的不等式恒成立，求得a的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?/p>