廣東省三校2025屆高三下學(xué)期二月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省三校2025屆高三下學(xué)期二月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因所以，所以.故選：D.2.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】和都是增函數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，，，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.3.已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為的周長為16.若的最大值為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則由題設(shè)得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C.4.某醫(yī)院對(duì)該院歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】因?yàn)?所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且，所以，所以.故選：B.5.若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積.故選：B.6.三棱錐中，，平面，，，則直線和直線所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，將三棱錐放到長方體中，由題意知，∥，所以或其補(bǔ)角是直線和直線所成角，因?yàn)?，，所以，，?故選：C.7.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示．若此正八面體的棱長為，則下列說法正確的是（）A.正八面體的體積為B.正八面體的表面積為C.正八面體的外接球體積為D.正八面體的內(nèi)切球表面積為【答案】D【解析】把正八面體補(bǔ)形為如圖所示正方體，因?yàn)檎嗣骟w棱長為，則正方體的棱長為選項(xiàng)A，正八面體的體積，設(shè)四棱錐的高為，則，所以，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，正八面體的表面積為八個(gè)面面積和，故，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，正八面體的外接球半徑為正方體棱長的一半，故，所以外接球體積，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則根據(jù)正八面體體積相等，，所以所以內(nèi)切球表面積為.D正確.故選：D.8.已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（）A.3，3 B.3，－1C.－1，3 D.－2，－2【答案】D【解析】由題意得，.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則A的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】依題可得，即，則或，因?yàn)?，所以或或．故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.是周期函數(shù)C.D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】易知的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，A正確；由，所以是周期函數(shù)，B正確；由，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，此時(shí)，時(shí)，，且單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C.若方程有實(shí)根，則D.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，且與的圖象共有2022個(gè)交點(diǎn)，記為，則的值為4044【答案】ACD【解析】對(duì)于A:由解析式可知是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B:特殊值法，即，若，則在上不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C:令，分離參數(shù)后，故，C正確；對(duì)于D:由A可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于中心對(duì)稱，且關(guān)于中心對(duì)稱，所以這2022個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則______.【答案】【解析】∵，，，∴由余弦定理可得：，∴解得：.故答案為：.13.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：.14.若圓與軸相切，則實(shí)數(shù)的值是_____.【答案】【解析】由，可得，方程表示圓，則可得圓心為，半徑為，由圓與軸相切，則可得，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取到極值.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明；（3）如果，，滿足，那么稱比更靠近，當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更靠近，并說明理由.（1）解：由，求導(dǎo)，由，則，解得：，的值為1；（2）證明：由題意可知：不等式左邊為，設(shè)，則.，恒成立，∴在單調(diào)遞增；，∴，（3）解：設(shè)，，∵，，∴在上為減函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.在上為增函數(shù)，又，∴時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，∴.①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，∴，∴，∴比更靠近.②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令,則，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，∴，∴，∴比更靠近.綜上，在，時(shí)，比更靠近.16.某運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品公司生產(chǎn)了一款足球，按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)這款足球產(chǎn)品可分為一級(jí)正品?二級(jí)正品?次品共三個(gè)等級(jí).根據(jù)該公司測算：生產(chǎn)出一個(gè)一級(jí)正品可獲利100元，一個(gè)二級(jí)正品可獲利50元，一個(gè)次品虧損80元.該運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品公司試生產(chǎn)這款足球產(chǎn)品2000個(gè)，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，如下表：等級(jí)一級(jí)正品二級(jí)正品次品頻數(shù)1000800200（1）求這2000個(gè)產(chǎn)品的平均利潤是多少；（2）該運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品公司為了解人們對(duì)這款足球產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了100名男性和100名女性，每位對(duì)這款足球產(chǎn)品給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面的列聯(lián)表：滿意不滿意總計(jì)男性3268100女性6139100總計(jì)93107200問：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對(duì)這款足球產(chǎn)品的評(píng)價(jià)有差異？附：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依題意可得平均利潤為（元）.（2）假設(shè)：男性和女性對(duì)這款足球產(chǎn)品的評(píng)價(jià)無差異，依題意可得，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對(duì)這款足球產(chǎn)品的評(píng)價(jià)有差異.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，點(diǎn)在直線上，在（1）的條件下，若不等式對(duì)于但成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）由，得，兩式相減得，即，所以，由及，得，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以只需要，解得，此時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時(shí)，，滿足該式，所以，不等式，即，令，則，兩式相減得，所以，由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的最小值為，所以實(shí)數(shù)的最大值是.18.已知圓的圓心坐標(biāo)為，且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若動(dòng)圓與圓相外切，又與軸相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（3）直線與圓心軌跡位于軸右側(cè)的部分相交于兩點(diǎn)，且，證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).解：（1）設(shè)圓的方程為，，由圓心到直線的距離為，由弦長公式可得，解得，可得圓的方程為；（2）設(shè)的坐標(biāo)為，由動(dòng)圓與圓相外切，又與軸相切，，當(dāng)；當(dāng)，故可得動(dòng)圓圓心的軌跡方程為或；（3）設(shè)代入拋物線，消去得，設(shè)，，則，，∴，令，∴，∴，∴直線過定點(diǎn).19.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：（）左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，經(jīng)過且傾斜角為（）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），且的周長為8.現(xiàn)將平面沿x軸向上折疊，折疊后A，B兩點(diǎn)在新圖象中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為，，且二面角為直二面角，如圖所示.（1）求折疊前C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，折疊后，求平面與平面夾角的余弦值；（3）探究是否存在使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意得：，解得.故折疊前橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，聯(lián)立，解得，，以原來的軸為軸，軸正半軸所在直線為軸，軸負(fù)半軸所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則：，，，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，，故，.平面的一個(gè)法向量為，故.設(shè)平面與平面的夾角為，則.即平面與平面所成角的余弦值為